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Chapitre 13 — Dénombrement

Semestre 2

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Cours

Plan du chapitre. I. Ensembles finis et cardinal — II. Principe fondamental du dénombrement — III. Arrangements et permutations — IV. Combinaisons — V. Cardinal d’un produit cartésien et de l’ensemble des parties — VI. Modèles de tirages — Résumé.

Prérequis. Ensembles et applications (Ch. 02), raisonnement par récurrence (Ch. 01), sommes $\sum$ .

I. Ensembles finis et cardinal

1) Activité d’introduction

Activité 1

Une classe compte $30$ élèves ; $18$ pratiquent le football, $12$ le basket et $5$ les deux sports.

Combien d’élèves pratiquent au moins un des deux sports ?
Combien d’élèves ne pratiquent aucun de ces deux sports ?

Voir la solution

En additionnant $18+12$ , les $5$ élèves qui pratiquent les deux sports sont comptés deux fois : $18+12-5=25$ élèves.
$30-25=5$ élèves.

2) Cardinal d’un ensemble fini

Définition 1

Soit $E$ un ensemble non vide. On dit que $E$ est fini s’il existe $n\in\N^*$ et une bijection de $[\![1;n]\!]$ sur $E$ . L’entier $n$ est unique : c’est le cardinal de $E$ , noté $\card(E)$ (ou $|E|$ ). Par convention $\card(\emptyset)=0$ .

Exemple 1

Pour $n,m\in\N$ avec $n\le m$ , déterminer $\card\left([\![ n;m]\!]\right)$ , puis calculer $\card\left([\![ 3;10]\!]\right)$ .

Voir la solution

$\card\left([\![ n;m]\!]\right)=m-n+1$ pour $n,m\in\N$ , $n\le m$ . Par exemple $\card\left([\![ 3;10]\!]\right)=8$ .

3) Propriétés

Propriété 1 (admise)

Soient $A$ et $B$ deux parties d’un ensemble fini $E$ , et $\overline{A}=E\setminus A$ le complémentaire de $A$ dans $E$ .

Si $A\cap B=\emptyset$ (parties disjointes) : $\card(A\cup B)=\card(A)+\card(B)$ .
En général : $\card(A\cup B)=\card(A)+\card(B)-\card(A\cap B)$ .
$\card\left(\overline A\right)=\card(E)-\card(A)$ .
Si $A\subset B$ alors $\card(A)\le\card(B)$ .
Si $A_1,\dots,A_p$ sont deux à deux disjointes : $\card(A_1\cup\dots\cup A_p)=\card(A_1)+\dots+\card(A_p)$ .

Remarque 2

La règle du complémentaire est très utile pour les événements « au moins un … » : on compte le contraire « aucun … » et on soustrait du total.

II. Principe fondamental du dénombrement

1) Arbre des choix

Activité 2

Un menu propose $3$ entrées, $4$ plats et $2$ desserts. Un repas se compose d’une entrée, d’un plat et d’un dessert. Combien de repas différents peut-on composer ?

Voir la solution

On construit un arbre : $3$ branches pour l’entrée, puis $4$ pour le plat à partir de chaque entrée, puis $2$ pour le dessert. Le nombre de chemins est $3\times4\times2=24$ .

2) Principe multiplicatif

Propriété 2 : principe fondamental du dénombrement

Si une situation comporte $p$ choix successifs ( $p\in\N^*$ ) tels que le premier choix peut se faire de $n_1$ façons, le deuxième de $n_2$ façons (quel que soit le premier), …, le $p$ -ième de $n_p$ façons, alors le nombre total de possibilités est $n_1\times n_2\times\dots\times n_p$ .

Exemple 2

Combien de plaques peut-on former avec $2$ lettres (parmi $26$ ) suivies de $3$ chiffres ?

Voir la solution

Nombre de plaques formées de $2$ lettres (parmi $26$ ) suivies de $3$ chiffres : $26^2\times10^3=676\,000$ .

III. Arrangements et permutations

1) Arrangements avec répétition ( $p$ -listes)

Définition 2

Soient $E$ un ensemble à $n$ éléments et $p\in\N^*$ . Une $p$ -liste (ou arrangement avec répétition) d’éléments de $E$ est un élément $(x_1;\dots;x_p)$ de $E^p$ .

Propriété 3

Le nombre de $p$ -listes d’un ensemble à $n$ éléments est $n^p$ .

2) Arrangements sans répétition

Définition 3

Soient $n,p\in\N$ avec $1\le p\le n$ . Un arrangement de $p$ éléments d’un ensemble $E$ à $n$ éléments est une $p$ -liste d’éléments deux à deux distincts de $E$ .

Propriété 4

Le nombre d’arrangements de $p$ éléments parmi $n$ est $A_n^p=n(n-1)(n-2)\cdots(n-p+1)=\frac{n!}{(n-p)!}\quad(p\text{ facteurs}),$ où $n!=1\times2\times\dots\times n$ pour $n\in\N^*$ et $0!=1$ .

Voir la solution

Preuve (principe multiplicatif). Le premier élément se choisit de $n$ façons, le deuxième de $n-1$ façons (il doit être différent du premier), …, le $p$ -ième de $n-(p-1)$ façons.

3) Permutations

Définition 4

Une permutation d’un ensemble $E$ à $n$ éléments est un arrangement des $n$ éléments de $E$ . Leur nombre est $A_n^n=n!$ .

Exemple 3

De combien de façons peut-on asseoir $5$ personnes sur $5$ chaises alignées ? Combien de mots de $3$ lettres distinctes peut-on former avec $A,B,C,D,E$ ?

Voir la solution

Nombre de façons d’asseoir $5$ personnes sur $5$ chaises alignées : $5!=120$ . Nombre de mots de $3$ lettres distinctes formés avec $A,B,C,D,E$ : $A_5^3=60$ .

4) Applications injectives et bijectives

Propriété 5

Soient $E$ et $F$ deux ensembles finis avec $\card(E)=p$ et $\card(F)=n$ .

Le nombre d’applications de $E$ dans $F$ est $n^p$ .
Si $p\le n$ , le nombre d’applications injectives de $E$ dans $F$ est $A_n^p$ .
Si $p=n$ , le nombre de bijections de $E$ sur $F$ est $n!$ .

5) Permutations avec répétition

Propriété 6

Le nombre de mots (anagrammes) que l’on peut former avec $n$ lettres dont une lettre est répétée $k_1$ fois, une autre $k_2$ fois, …, une autre $k_r$ fois ( $k_1+\dots+k_r=n$ ) est $\dfrac{n!}{k_1!\,k_2!\cdots k_r!}$ .

Exemple 4

Combien d’anagrammes le mot « RADAR » possède-t-il ?

Voir la solution

Anagrammes de « RADAR » : $\frac{5!}{2!\,2!\,1!}=30$ .

IV. Combinaisons

1) Définition et nombre de combinaisons

Définition 5

Soient $n,p\in\N$ avec $p\le n$ . Une combinaison de $p$ éléments d’un ensemble $E$ à $n$ éléments est une partie de $E$ ayant $p$ éléments (l’ordre ne compte pas).

Propriété 7

Le nombre de combinaisons de $p$ éléments parmi $n$ est $C_n^p=\frac{A_n^p}{p!}=\frac{n!}{p!\,(n-p)!}.$

Voir la solution

Preuve. À chaque partie à $p$ éléments correspondent exactement $p!$ arrangements (ses permutations) ; donc $A_n^p=p!\,C_n^p$ .

2) Propriétés des $C_n^p$

Propriété 8

Pour $n\in\N$ et $p\in\N$ :

$C_n^0=C_n^n=1$ , $C_n^1=n$ ;
si $p\le n$ : $C_n^p=C_n^{n-p}$ (symétrie) ;
si $1\le p\le n-1$ : $C_n^p=C_{n-1}^{p-1}+C_{n-1}^p$ (formule de Pascal).

Théorème 1 : formule du binôme de Newton

Pour tous $a,b\in\R$ et tout $n\in\N$ : $\displaystyle(a+b)^n=\sum_{k=0}^nC_n^k\,a^{n-k}b^k$ .

Voir la solution

Preuve (raisonnement par récurrence). Initialisation : pour $n=0$ , on a $(a+b)^0=1=C_0^0a^0b^0$ . Hérédité : soit $n\in\N$ , on suppose que $(a+b)^n=\sum_{k=0}^nC_n^ka^{n-k}b^k$ . Alors $(a+b)^{n+1}=(a+b)(a+b)^n=\sum_{k=0}^nC_n^ka^{n+1-k}b^k+\sum_{k=1}^{n+1}C_n^{k-1}a^{n+1-k}b^k$ et, d’après la formule de Pascal, cette somme vaut $\sum_{k=0}^{n+1}C_{n+1}^ka^{n+1-k}b^k$ . Conclusion : d’après le principe du raisonnement par récurrence, la formule est vraie pour tout $n\in\N$ .

Exemple 5

Calculer $\displaystyle\sum_{k=0}^nC_n^k$ et, pour $n\ge1$ , $\displaystyle\sum_{k=0}^n(-1)^kC_n^k$ .

Voir la solution

$\displaystyle\sum_{k=0}^nC_n^k=(1+1)^n=2^n$ et, pour $n\ge1$ , $\displaystyle\sum_{k=0}^n(-1)^kC_n^k=(1-1)^n=0$ .

V. Cardinal d’un produit cartésien et de l’ensemble des parties

1) Produit cartésien

Propriété 9

Si $E_1,\dots,E_p$ sont finis : $\card(E_1\times\dots\times E_p)=\card(E_1)\times\dots\times\card(E_p)$ . En particulier $\card(E^p)=\card(E)^p$ .

2) Ensemble des parties

Propriété 10

Si $\card(E)=n$ , l’ensemble $\mathcal P(E)$ des parties de $E$ a pour cardinal $\displaystyle\sum_{p=0}^nC_n^p=2^n$ .

VI. Modèles de tirages

1) Trois types de tirages

Propriété 11 : tirage de $p$ objets parmi $n$

Type de tirage	L’ordre compte ?	Répétition ?	Nombre de tirages
Successif avec remise	oui	oui	$n^p$
Successif sans remise	oui	non	$A_n^p$
Simultané	non	non	$C_n^p$

2) Exemple type

Exemple 6

Une urne contient $5$ boules rouges et $3$ vertes. On tire simultanément $3$ boules. Déterminer le nombre de tirages possibles, le nombre de tirages avec exactement $2$ rouges, et le nombre de tirages avec au moins une verte.

Voir la solution

Une urne contient $5$ boules rouges et $3$ vertes. On tire simultanément $3$ boules. Nombre de tirages : $C_8^3=56$ . Tirages avec exactement $2$ rouges : $C_5^2C_3^1=30$ . Tirages avec au moins une verte : $56-C_5^3=46$ .

Remarque 3 : tirage successif et ordre des couleurs

Pour un tirage successif sans remise donnant $2$ rouges et $1$ verte, il faut multiplier par le nombre de places possibles de la verte : $3\times A_5^2\times A_3^1=180$ .

Résumé

Remarque — l’essentiel

$\card(A\cup B)=\card A+\card B-\card(A\cap B)$ ; $\card\overline A=\card E-\card A$ .
Principe multiplicatif : $n_1\times\dots\times n_p$ .
$n^p$ (ordre, répétition) ; $A_n^p=\frac{n!}{(n-p)!}$ (ordre, sans répétition) ; $n!$ (permutations) ; $C_n^p=\frac{n!}{p!(n-p)!}$ (parties).
$C_n^p=C_n^{n-p}$ , $C_n^p=C_{n-1}^{p-1}+C_{n-1}^p$ , $(a+b)^n=\sum C_n^ka^{n-k}b^k$ , $\card\mathcal P(E)=2^n$ .

Série d’exercices

Remarque — méthode générale

Pour chaque question : 1) on identifie le type de tirage ; 2) on se demande si l’ordre compte et si les répétitions sont possibles ; 3) on applique le modèle : successif avec remise $\to n^p$ ; successif sans remise $\to A_n^p$ ; simultané $\to C_n^p$ ; on utilise le principe multiplicatif (« et ») et le principe additif pour des cas disjoints (« ou »), ou le complémentaire pour « au moins ». Tous les résultats ont été contrôlés par Python/sympy, par énumération exhaustive (build/verif_lot3.py).

Cadre. Toute réponse doit être justifiée : préciser le type de tirage (successif avec ou sans remise, simultané), dire si l’ordre compte, puis utiliser le modèle adapté ( $n^p$ , $A_n^p$ , $C_n^p$ , $n!$ ). Dans toute la série, les boules sont indiscernables au toucher, mais on les considère comme des objets distincts (on peut imaginer qu’elles sont numérotées) pour compter les tirages. Difficulté : de $\bigstar$ à $\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar$ .

Exercice 1 — Tirage successif sans remise Facile ★☆☆☆☆

Un sac contient $4$ boules blanches, $3$ boules jaunes et $1$ boule noire, indiscernables au toucher. On extrait du sac, l’une après l’autre et sans les remettre, $3$ boules. Combien de tirages différents peut-on obtenir ?

Voir la solution

Le sac contient $4+3+1=8$ boules. Tirage successif sans remise de $3$ boules : l’ordre compte, pas de répétition. Le nombre de tirages est $A_8^3=8\times7\times6=336$ .

Exercice 2 — Tirage simultané Facile ★☆☆☆☆

Un sac contient $4$ boules rouges et $3$ boules vertes. On prend en même temps $3$ boules.

Combien y a-t-il de tirages possibles ?
Combien de tirages comportent exactement une boule rouge ?
Combien de tirages comportent au moins une boule verte ?

Voir la solution

$7$ boules, tirage simultané : on compte des parties.

1. $C_7^3=\frac{7\times6\times5}{3!}=35$ .

2. « exactement une rouge » $=$ « une rouge et deux vertes » : $C_4^1\times C_3^2=4\times3=12$ .

3. Raisonnement par le complémentaire : le contraire de « au moins une verte » est « aucune verte », c’est-à-dire « trois rouges » : $C_4^3=4$ tirages. Donc $35-4=31$ tirages.

Exercice 3 — Tirage successif avec remise Facile ★☆☆☆☆

On reprend le sac de l’exercice 1 ( $4$ blanches, $3$ jaunes, $1$ noire). On tire successivement $3$ boules en remettant chaque boule tirée avant le tirage suivant. Combien de tirages différents peut-on obtenir ?

Voir la solution

Successif avec remise : $3$ -listes de l’ensemble des $8$ boules : $8^3=512$ .

Exercice 4 — Arbre des choix ; avec ou sans remise Facile ★★☆☆☆

Une urne contient $5$ boules noires et $12$ boules blanches. On tire successivement et sans remise $2$ boules.

Représenter la situation par un arbre des choix (couleurs) et donner le nombre total de tirages.
Combien de tirages donnent $2$ boules de même couleur ?
Combien de tirages donnent $2$ boules de couleurs différentes ?
Reprendre les questions 1, 2 et 3 lorsque le tirage est successif avec remise.

Voir la solution

$17$ boules ( $5$ N, $12$ B).

1. Arbre : premier tirage N ou B, puis second tirage N ou B ; les quatre branches sont NN, NB, BN, BB. Nombre total (sans remise) : $A_{17}^2=17\times16=272$ .

2. Même couleur $=$ NN ou BB (cas disjoints) : $A_5^2+A_{12}^2=20+132=152$ .

3. Couleurs différentes $=$ NB ou BN : $5\times12+12\times5=120$ . Contrôle : $152+120=272$ .

4. Avec remise : total $17^2=289$ ; même couleur : $5^2+12^2=169$ ; couleurs différentes : $2\times5\times12=120$ (contrôle : $169+120=289$ ).

Exercice 5 — Mots Facile ★☆☆☆☆

Combien de mots de trois lettres deux à deux distinctes (ayant un sens ou non) peut-on écrire avec les lettres $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ ?

Voir la solution

Mots de $3$ lettres distinctes, l’ordre compte : $A_6^3=6\times5\times4=120$ .

Exercice 6 — Parking Facile ★☆☆☆☆

Un parking possède sept places libres numérotées de $1$ à $7$ . De combien de façons peut-on y garer :

une voiture ?
trois voitures (distinctes) ?
sept voitures (distinctes) ?

Voir la solution

Les voitures sont distinctes et chacune occupe une place différente : l’ordre compte, pas de répétition.

1. $7$ façons. 2. $A_7^3=7\times6\times5=210$ . 3. $7!=5040$ .

Exercice 7 — Placement autour d’une table Facile ★★☆☆☆

Une table est entourée de douze chaises numérotées de $1$ à $12$ .

De combien de façons peut-on y installer six personnes (une personne par chaise) ?
De combien de façons peut-on y installer douze personnes ?

Voir la solution

1. On associe à chaque personne une chaise, deux personnes n’ayant pas la même chaise : $A_{12}^6=12\times11\times10\times9\times8\times7=665\,280$ .

2. C’est une permutation des $12$ chaises : $12!=479\,001\,600$ .

Exercice 8 — Constitution de groupes Facile ★★☆☆☆

Une classe compte $4$ filles et $6$ garçons. Le professeur choisit $3$ élèves pour préparer un exposé.

Combien de groupes différents peut-il former ?
Combien de groupes ne contiennent que des garçons ?
Combien de groupes contiennent exactement deux filles ?
Combien de groupes contiennent au moins un garçon ?
Combien de groupes contiennent au plus une fille ?

Voir la solution

Un groupe est une partie à $3$ élèves parmi $10$ : l’ordre ne compte pas.

1. $C_{10}^3=120$ . 2. $C_6^3=20$ . 3. Deux filles et un garçon : $C_4^2\times C_6^1=6\times6=36$ .

4. Complémentaire : « aucun garçon » $=$ « trois filles » : $C_4^3=4$ . Donc $120-4=116$ .

5. « au plus une fille » $=$ « zéro fille » ou « une fille » (cas disjoints) : $C_6^3+C_4^1C_6^2=20+60=80$ .

Exercice 9 — Codes Facile ★★☆☆☆

On dispose des chiffres $1$ , $3$ , $4$ , $5$ , $7$ et $8$ .

Combien de codes de $3$ chiffres deux à deux distincts peut-on former avec ces chiffres ?
Combien de codes pairs de $4$ chiffres (répétitions permises) peut-on former ?
Combien de codes pairs de $3$ chiffres deux à deux distincts peut-on former ?

Voir la solution

1. L’ordre compte, chiffres distincts : $A_6^3=120$ .

2. Un code est pair si et seulement si son dernier chiffre est pair, donc égal à $4$ ou $8$ : $2$ choix pour le dernier chiffre et $6$ choix pour chacun des trois autres : $6^3\times2=432$ .

3. Dernier chiffre : $2$ choix ( $4$ ou $8$ ) ; puis les deux premiers chiffres, distincts entre eux et du dernier, parmi les $5$ restants : $A_5^2=20$ . Total : $2\times20=40$ .

Exercice 10 — Principe multiplicatif Facile ★☆☆☆☆

Une personne possède trois chemises, deux cravates et trois pantalons. Une tenue est formée d’une chemise, d’une cravate et d’un pantalon. Combien de tenues différentes peut-elle porter ?

Voir la solution

Principe multiplicatif : $3\times2\times3=18$ tenues.

Exercice 11 — Principe multiplicatif Facile ★☆☆☆☆

Dans un restaurant d’entreprise, un repas se compose d’un plat et d’un dessert. Le menu propose deux plats et trois desserts. Combien de repas différents peut-on composer ?

Voir la solution

$2\times3=6$ repas.

Exercice 12 — Tirage simultané : événements Moyen ★★★☆☆

Un sac contient $6$ boules blanches, $3$ boules rouges et $4$ boules noires. On tire simultanément $3$ boules.

Déterminer le nombre de tirages possibles.
Déterminer le nombre de tirages réalisant chacun des événements suivants :
- $A$ : « obtenir une boule de chaque couleur » ;
- $B$ : « obtenir deux boules blanches et une boule noire » ;
- $C$ : « obtenir trois boules noires » ;
- $D$ : « obtenir trois boules blanches » ;
- $E$ : « obtenir exactement une boule rouge » ;
- $F$ : « n’obtenir aucune boule rouge » ;
- $G$ : « obtenir au moins une boule rouge » ;
- $H$ : « obtenir au moins deux boules blanches » ;
- $I$ : « obtenir au plus deux boules blanches » ;
- $K$ : « les trois boules sont de la même couleur » ;
- $L$ : « les boules tirées présentent exactement deux couleurs » ;
- $M$ : « les trois boules ne sont pas toutes de la même couleur » ;
- $N$ : « obtenir exactement deux boules noires » ;
- $R$ : « obtenir au moins une boule blanche et au moins une boule noire » ;
- $S$ : « les boules tirées présentent au plus deux couleurs ».

Voir la solution

$13$ boules ( $6$ B, $3$ R, $4$ N), tirage simultané.

1. $C_{13}^3=286$ .

$A$ : $C_6^1C_3^1C_4^1=72$ .
$B$ : $C_6^2C_4^1=15\times4=60$ .
$C$ : $C_4^3=4$ . $D$ : $C_6^3=20$ .
$E$ : une rouge et deux non rouges : $C_3^1C_{10}^2=3\times45=135$ .
$F$ : trois non rouges : $C_{10}^3=120$ . $G$ est le contraire de $F$ : $286-120=166$ .
$H$ : deux blanches et une non blanche, ou trois blanches : $C_6^2C_7^1+C_6^3=105+20=125$ .
$I$ est le contraire de $D$ : $286-20=266$ .
$K$ : trois B ou trois R ou trois N : $20+1+4=25$ .
$L$ : on retire les tirages unicolores ( $K$ ) et tricolores ( $A$ ) : $286-25-72=189$ .
$M$ est le contraire de $K$ : $286-25=261$ .
$N$ : $C_4^2C_9^1=6\times9=54$ .
$R$ : on utilise $\card(\overline{X}\cup\overline{Y})=\card\overline X+\card\overline Y-\card(\overline X\cap\overline Y)$ avec $X$ « au moins une blanche », $Y$ « au moins une noire ». Sans blanche : $C_7^3=35$ ; sans noire : $C_9^3=84$ ; ni blanche ni noire : $C_3^3=1$ . Donc $\card R=286-(35+84-1)=168$ .
$S$ est le contraire de $A$ : $286-72=214$ .

Exercice 13 — Podium Facile ★☆☆☆☆

Vingt athlètes prennent le départ d’un $1500$ m ; seules les trois premières places sont récompensées (or, argent, bronze). En supposant qu’il n’y a pas d’ex æquo, combien de podiums différents sont possibles ?

Voir la solution

Un podium est une liste ordonnée de $3$ athlètes distincts : $A_{20}^3=20\times19\times18=6840$ .

Exercice 14 — Boules numérotées Facile ★☆☆☆☆

Une urne contient cinq boules numérotées de $1$ à $5$ . On tire successivement trois boules et on note la suite des numéros obtenus. Combien de résultats sont possibles :

si le tirage est effectué avec remise ?
si le tirage est effectué sans remise ?

Voir la solution

1. Avec remise : $5^3=125$ . 2. Sans remise : $A_5^3=60$ .

Exercice 15 — Salle d’attente Facile ★☆☆☆☆

Quatre patients entrent dans une salle d’attente contenant dix chaises numérotées. De combien de façons peuvent-ils s’asseoir (une personne par chaise) ?

Voir la solution

À chaque patient on associe une chaise, deux patients ayant des chaises différentes : $A_{10}^4=5040$ .

Exercice 16 — Applications, permutations Facile ★★☆☆☆

De combien de façons peut-on distribuer $4$ romans différents à $4$ lecteurs, sachant qu’un lecteur peut recevoir plusieurs romans (ou aucun) ?
Combien de mots (ayant un sens ou non) peut-on écrire en utilisant une et une seule fois chacune des lettres du mot « MAISON » ?
Soit $n\in\N^*$ . Une urne contient $n$ boules numérotées de $1$ à $n$ ; on les tire toutes, l’une après l’autre, sans remise. Combien de résultats (suites de numéros) sont possibles ?

Voir la solution

1. Une distribution est une application de l’ensemble des $4$ romans dans l’ensemble des $4$ lecteurs : $4^4=256$ .

2. Les $6$ lettres de « MAISON » sont distinctes : $6!=720$ mots.

3. Un résultat est une permutation de $\{1;\dots;n\}$ : $n!$ résultats.

Exercice 17 — Anagrammes Facile ★★☆☆☆

Combien d’anagrammes (mots ayant un sens ou non obtenus en permutant les lettres) possède le mot « ANANAS » ? Même question pour le mot « CELLULE ».

Voir la solution

« ANANAS » : $6$ lettres dont A trois fois, N deux fois, S une fois : $\frac{6!}{3!\,2!\,1!}=60$ .

« CELLULE » : $7$ lettres dont L trois fois, E deux fois, C et U une fois : $\frac{7!}{3!\,2!}=420$ .

Exercice 18 — Sommes de coefficients binomiaux Difficile ★★★★☆

Soit $n\in\N^*$ et $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=(1+x)^n$ .

En utilisant $f$ , calculer les sommes $\displaystyle S_1=\sum_{k=0}^nC_n^k$ , $\displaystyle S_2=\sum_{k=0}^n(-1)^kC_n^k$ et $\displaystyle S_3=\sum_{k=0}^nk\,C_n^k$ .
En déduire la valeur de $\displaystyle S_4=\sum_{k=0}^n(k+1)C_n^k$ .

Voir la solution

1. D’après la formule du binôme, pour tout $x\in\R$ : $f(x)=\sum_{k=0}^nC_n^kx^k$ .

$S_1=f(1)=2^n$ .
$S_2=f(-1)=0^n=0$ (car $n\ge1$ ).
$f$ est dérivable sur $\R$ (Ch. 11) : d’une part $f'(x)=n(1+x)^{n-1}$ , d’autre part $f'(x)=\sum_{k=1}^nk\,C_n^kx^{k-1}$ . Pour $x=1$ : $S_3=\sum_{k=0}^nk\,C_n^k=f'(1)=n\,2^{n-1}$ .

2. Par linéarité : $S_4=S_3+S_1=n2^{n-1}+2^n=(n+2)\,2^{n-1}$ .

Exercice 19 — Anagrammes avec contraintes Moyen ★★★☆☆

On forme des anagrammes du mot « PORTABLE » (mots ayant un sens ou non utilisant chacune des $8$ lettres une fois).

Combien y a-t-il d’anagrammes ?
Combien se terminent par la lettre E ?
Dans combien d’anagrammes la lettre T est-elle immédiatement suivie de la lettre A ?
Combien ne commencent pas par la lettre B ?
Dans combien d’anagrammes les lettres P et L sont-elles séparées par exactement deux lettres ?

Voir la solution

Les $8$ lettres de « PORTABLE » sont distinctes.

1. $8!=40\,320$ . 2. La dernière lettre est imposée, on permute les $7$ autres : $7!=5040$ .

3. On colle le bloc « TA », qu’on traite comme une seule lettre : on permute $7$ objets : $7!=5040$ .

4. Complémentaire : $8!-7!=40\,320-5040=35\,280$ .

5. Si P et L sont séparées par exactement deux lettres, leurs positions sont $i$ et $i+3$ avec $1\le i\le5$ : $5$ paires de positions, $2$ ordres (P avant L ou L avant P), puis $6!$ façons de placer les $6$ autres lettres : $5\times2\times720=7200$ .

Exercice 20 — Équipes Moyen ★★★☆☆

Ilias et Rabab font partie d’une classe de $18$ élèves qui doit désigner une équipe de cinq élèves pour une compétition locale.

Combien d’équipes sont possibles ?
Combien d’équipes contiennent Ilias ?
Ilias et Rabab refusent de faire partie de la même équipe : combien d’équipes sont alors possibles ?
Combien d’équipes ne contiennent ni Ilias ni Rabab ?

Voir la solution

1. $C_{18}^5=8568$ . 2. Ilias est choisi ; on complète avec $4$ élèves parmi les $17$ autres : $C_{17}^4=2380$ .

3. Complémentaire : équipes contenant Ilias et Rabab : $C_{16}^3=560$ . Donc $8568-560=8008$ .

4. $5$ élèves parmi les $16$ autres : $C_{16}^5=4368$ .

Exercice 21 — Deux urnes Moyen ★★★☆☆

L’urne $U$ contient trois boules rouges et une boule noire ; l’urne $V$ contient deux boules rouges et deux boules noires. On tire simultanément deux boules de $U$ , puis une boule de $V$ .

Quel est le nombre de résultats possibles ?
Déterminer le nombre de résultats permettant d’obtenir : a. trois boules de la même couleur ; b. exactement deux boules rouges.

Voir la solution

1. Principe multiplicatif : $C_4^2\times C_4^1=6\times4=24$ .

2. a. Trois noires est impossible ( $U$ ne contient qu’une noire). Trois rouges : $C_3^2\times C_2^1=3\times2=6$ . Donc $6$ résultats.

2. b. Cas 1 : deux rouges de $U$ et une noire de $V$ : $C_3^2\times2=6$ . Cas 2 : une rouge et la noire de $U$ , une rouge de $V$ : $3\times1\times2=6$ . Les cas sont disjoints : $6+6=12$ .

Exercice 22 — Partie entière et cardinal Difficile ★★★★☆

On note $E(x)$ la partie entière d’un réel $x$ .

a. Soit $n\in\N^*$ . Montrer que si $n>12$ alors $E\left(\dfrac{12}n\right)=0$ . b. Déterminer le cardinal de l’ensemble $\left\{E\left(\dfrac{12}n\right)\ ;\ n\in\N^*\right\}$ .
Soit $n\in\N$ . Déterminer le cardinal de l’ensemble $E_n=\left\{(p;q)\in\N^2\ /\ p+q=n\right\}$ .

Voir la solution

1. a. Raisonnement direct. Soit $n\in\N^*$ tel que $n>12$ . Alors $n>12>0\Longrightarrow0<\frac{12}n<1\Longrightarrow E\left(\frac{12}n\right)=0$ .

1. b. Pour $n\in\{1;\dots;12\}$ , $E\left(\frac{12}n\right)$ prend les valeurs $12,6,4,3,2,2,1,1,1,1,1,1$ et, d’après a., la valeur $0$ pour $n>12$ . L’ensemble est donc $\{0;1;2;3;4;6;12\}$ , de cardinal $7$ .

2. L’application $\varphi:\{0;1;\dots;n\}\to E_n$ , $p\mapsto(p;n-p)$ est bien définie (si $0\le p\le n$ , alors $n-p\in\N$ ) et bijective : si $(p;q)\in E_n$ , alors $p\le n$ et $q=n-p$ , donc $(p;q)=\varphi(p)$ , et $p$ est unique. Ainsi $\card(E_n)=n+1$ .

Quiz — testez-vous

20 questions tirées au hasard parmi 37.

Ton prénom (facultatif)

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Chapitre 13 — Dénombrement

Cours

I. Ensembles finis et cardinal

1) Activité d’introduction

2) Cardinal d’un ensemble fini

3) Propriétés

II. Principe fondamental du dénombrement

1) Arbre des choix

2) Principe multiplicatif

III. Arrangements et permutations

1) Arrangements avec répétition (ppp-listes)

2) Arrangements sans répétition

3) Permutations

4) Applications injectives et bijectives

5) Permutations avec répétition

IV. Combinaisons

1) Définition et nombre de combinaisons

2) Propriétés des CnpC_n^pCnp​

V. Cardinal d’un produit cartésien et de l’ensemble des parties

1) Produit cartésien

2) Ensemble des parties

VI. Modèles de tirages

1) Trois types de tirages

2) Exemple type

Résumé

Série d’exercices

Exercice 1 — Tirage successif sans remise Facile ★☆☆☆☆

Exercice 2 — Tirage simultané Facile ★☆☆☆☆

Exercice 3 — Tirage successif avec remise Facile ★☆☆☆☆

Exercice 4 — Arbre des choix ; avec ou sans remise Facile ★★☆☆☆

Exercice 5 — Mots Facile ★☆☆☆☆

Exercice 6 — Parking Facile ★☆☆☆☆

Exercice 7 — Placement autour d’une table Facile ★★☆☆☆

Exercice 8 — Constitution de groupes Facile ★★☆☆☆

Exercice 9 — Codes Facile ★★☆☆☆

Exercice 10 — Principe multiplicatif Facile ★☆☆☆☆

Exercice 11 — Principe multiplicatif Facile ★☆☆☆☆

Exercice 12 — Tirage simultané : événements Moyen ★★★☆☆

Exercice 13 — Podium Facile ★☆☆☆☆

Exercice 14 — Boules numérotées Facile ★☆☆☆☆

Exercice 15 — Salle d’attente Facile ★☆☆☆☆

Exercice 16 — Applications, permutations Facile ★★☆☆☆

Exercice 17 — Anagrammes Facile ★★☆☆☆

Exercice 18 — Sommes de coefficients binomiaux Difficile ★★★★☆

Exercice 19 — Anagrammes avec contraintes Moyen ★★★☆☆

Exercice 20 — Équipes Moyen ★★★☆☆

Exercice 21 — Deux urnes Moyen ★★★☆☆

Exercice 22 — Partie entière et cardinal Difficile ★★★★☆

Quiz — testez-vous

1) Arrangements avec répétition ( $p$ -listes)

2) Propriétés des $C_n^p$