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Chapitre 8 — Fonctions exponentielles

Semestre 2

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Cours

Plan du chapitre. I. La fonction exponentielle népérienne — II. Propriétés algébriques — III. Équations et inéquations — IV. Limites et courbe — V. Dérivée de $e^u$ et primitives de $u'e^u$ — VI. Fonction exponentielle de base $a$ — Résumé.

I. La fonction exponentielle népérienne

1. Définition

Définition 1 — fonction exponentielle

La fonction $\ln$ est continue et strictement croissante sur $]0;+\infty[$ , et $\ln(]0;+\infty[)=\mathbb{R}$ . Elle admet donc une fonction réciproque, définie sur $\mathbb{R}$ et à valeurs dans $]0;+\infty[$ : on l’appelle fonction exponentielle népérienne et on la note $\exp$ .

Pour tout $x\in\mathbb{R}$ et tout $y\in]0;+\infty[$ : $\quad\exp(x)=y\iff x=\ln y$ .

Propriété 1 — notation $e^x$

Pour tout rationnel $r$ : $\ln\left(e^r\right)=r\ln e=r$ , donc $\exp(r)=e^r$ . On prolonge cette écriture à tout réel $x$ en posant $e^x=\exp(x)$ .

2. Premières propriétés

Propriété 2

La fonction $x\mapsto e^x$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$ , et $e^x>0$ pour tout $x\in\mathbb{R}$ .
$e^0=1$ , $e^1=e$ ; pour tout $x\in\mathbb{R}$ : $\ln\left(e^x\right)=x$ ; pour tout $x\in]0;+\infty[$ : $e^{\ln x}=x$ .
Pour tous réels $a$ et $b$ : $e^a=e^b\iff a=b$ et $e^a<e^b\iff a<b$ .

Exemple 1

Simplifier $e^{\ln 5}$ et $\ln\left(e^{-3}\right)$ . Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $e^{2x-1}>1$ .

Voir la solution

$e^{\ln 5}=5$ ; $\ln\left(e^{-3}\right)=-3$ ; $e^{2x-1}>1\iff e^{2x-1}>e^0\iff2x-1>0\iff x>\dfrac12$ .

II. Propriétés algébriques

Propriété 3

Pour tous réels $x$ et $y$ et tout rationnel $r$ : $e^{x+y}=e^xe^y\ ;\qquad e^{-x}=\frac1{e^x}\ ;\qquad e^{x-y}=\frac{e^x}{e^y}\ ;\qquad\left(e^x\right)^r=e^{rx}.$

Remarque

Ces règles se démontrent en appliquant $\ln$ : par exemple $\ln\left(e^xe^y\right)=\ln e^x+\ln e^y=x+y=\ln\left(e^{x+y}\right)$ , puis on utilise l’injectivité de $\ln$ .

Application 1

Simplifier $A=\dfrac{e^{3x+1}}{e^{x-1}}$ et $B=\left(e^{x}\right)^2\times e^{-2x+3}$ pour $x\in\mathbb{R}$ .

Voir la solution

$A=e^{(3x+1)-(x-1)}=e^{2x+2}$ ; $\quad B=e^{2x}\times e^{-2x+3}=e^{3}$ .

III. Équations et inéquations

Méthode — résoudre une équation ou une inéquation avec $e^x$

Se ramener à $e^{A}=e^{B}$ ou $e^A<e^B$ (et utiliser $A=B$ ou $A<B$ ), ou à $e^A=k$ avec $k>0$ (alors $A=\ln k$ ) ; si $k\le0$ , l’équation $e^A=k$ n’a pas de solution.
Pour une expression en $e^{2x}$ et $e^x$ : on pose $X=e^x$ (avec $X>0$ ) et on résout une équation du second degré.

Application 2

Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $(E)$ : $e^{2x}-4e^x+3=0$ et $(I)$ : $e^{2x}-e^x-2>0$ .

Voir la solution

$(E)$ : on pose $X=e^x>0$ : $X^2-4X+3=(X-1)(X-3)=0\iff X=1$ ou $X=3$ . Donc $e^x=1$ ou $e^x=3$ , soit $x=0$ ou $x=\ln3$ . $S=\{0;\ln3\}$ .

$(I)$ : $X^2-X-2=(X-2)(X+1)>0$ . Comme $X+1>0$ , cela équivaut à $X>2$ , soit $e^x>2\iff x>\ln2$ . $S=]\ln2;+\infty[$ .

Application 3 — système

Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système $\begin{cases}e^x+2e^y=5\\ 3e^x-e^y=1\end{cases}$ .

Voir la solution

On pose $X=e^x>0$ et $Y=e^y>0$ : $X+2Y=5$ et $3X-Y=1$ . La seconde donne $Y=3X-1$ , puis $7X-2=5$ : $X=1$ , $Y=2$ . Donc $x=0$ et $y=\ln2$ : $S=\{(0;\ln2)\}$ .

IV. Limites et courbe

Propriété 4 — limites de référence

$\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty,\qquad\lim_{x\to-\infty}e^x=0,\qquad\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}x=1,$ $\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}x=+\infty,\qquad\lim_{x\to-\infty}xe^x=0.$ Plus généralement, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ : $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to-\infty}x^ne^x=0$ .

Remarque — interprétation graphique

La droite d’équation $y=0$ est une asymptote horizontale à $(C_{\exp})$ au voisinage de $-\infty$ .
$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}x=+\infty$ : $(C_{\exp})$ admet une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées au voisinage de $+\infty$ .
$(C_{\exp})$ et $(C_{\ln})$ sont symétriques par rapport à la droite d’équation $y=x$ . La tangente à $(C_{\exp})$ au point d’abscisse $0$ a pour équation $y=x+1$ , et $e^x\ge x+1$ pour tout réel $x$ .

Exemple 2

Calculer $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(e^x-x\right)$ , $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{3x}-1}x$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}xe^{-x}$ .

Voir la solution

$\lim\limits_{x\to+\infty}\left(e^x-x\right)=\lim\limits_{x\to+\infty}x\left(\dfrac{e^x}x-1\right)=+\infty$ .
$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{3x}-1}x=\lim\limits_{x\to0}3\times\dfrac{e^{3x}-1}{3x}=3$ (on pose $X=3x$ ).
$\lim\limits_{x\to+\infty}xe^{-x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{e^x}=0$ .

Application 4

Calculer $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^{2x}-x}{e^{2x}+1}$ et $\lim\limits_{x\to-\infty}\left(x^2+x\right)e^x$ .

Voir la solution

En $+\infty$ : $\dfrac{e^{2x}-x}{e^{2x}+1}=\dfrac{1-xe^{-2x}}{1+e^{-2x}}$ . Or $xe^{-2x}=\dfrac12\times2xe^{-2x}\to0$ (on pose $X=2x$ ) et $e^{-2x}\to0$ : la limite vaut $1$ .

En $-\infty$ : $\left(x^2+x\right)e^x=x^2e^x+xe^x\to0+0=0$ .

V. Dérivée de $e^u$ et primitives de $u'e^u$

Propriété 5

La fonction $x\mapsto e^x$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $\left(e^x\right)'=e^x$ .
Si $u$ est dérivable sur un intervalle $I$ , alors $x\mapsto e^{u(x)}$ est dérivable sur $I$ et $\left(e^{u}\right)'=u'e^{u}$ .
Par conséquent, les primitives de $x\mapsto u'(x)e^{u(x)}$ sur $I$ sont les fonctions $x\mapsto e^{u(x)}+C$ , $C\in\mathbb{R}$ .

Exemple 3

Calculer $\left(e^{x^2-3x}\right)'$ et $\left(xe^{-x}\right)'$ . Déterminer une primitive de $x\mapsto e^{2x}$ , de $x\mapsto xe^{x^2}$ et de $x\mapsto\dfrac{e^x}{e^x+1}$ sur $\mathbb{R}$ .

Voir la solution

$\left(e^{x^2-3x}\right)'=(2x-3)e^{x^2-3x}$ ; $\quad\left(xe^{-x}\right)'=e^{-x}-xe^{-x}=(1-x)e^{-x}$ .
Une primitive de $x\mapsto e^{2x}$ sur $\mathbb{R}$ est $x\mapsto\dfrac12e^{2x}$ ; une primitive de $x\mapsto xe^{x^2}$ est $x\mapsto\dfrac12e^{x^2}$ .
Une primitive de $x\mapsto\dfrac{e^x}{e^x+1}$ sur $\mathbb{R}$ est $x\mapsto\ln\left(e^x+1\right)$ (forme $\frac{u'}u$ avec $u>0$ ).

Application 5 — étude de fonction

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x-1)e^x$ . Étudier ses variations et ses limites.

Voir la solution

$f'(x)=e^x+(x-1)e^x=xe^x$ , du signe de $x$ : $f$ est décroissante sur $]-\infty;0]$ , croissante sur $[0;+\infty[$ , de minimum $f(0)=-1$ .

En $-\infty$ : $f(x)=xe^x-e^x\to0$ (asymptote horizontale $y=0$ ). En $+\infty$ : $f(x)\to+\infty$ et $\dfrac{f(x)}x=\left(1-\dfrac1x\right)e^x\to+\infty$ (branche parabolique de direction $(Oy)$ ).

VI. Fonction exponentielle de base $a$

Définition 2

Soit $a$ un réel strictement positif. Pour tout réel $x$ , on pose $a^x=e^{x\ln a}$ . La fonction $x\mapsto a^x$ est la fonction exponentielle de base $a$ ; c’est la réciproque de $\log_a$ lorsque $a\neq1$ .

Propriété 6

Pour tous réels $x,y$ : $a^{x+y}=a^xa^y$ , $a^{-x}=\dfrac1{a^x}$ , $\left(a^x\right)^y=a^{xy}$ , $(ab)^x=a^xb^x$ , et $\ln\left(a^x\right)=x\ln a$ .
$x\mapsto a^x$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $\left(a^x\right)'=(\ln a)\,a^x$ .
Si $a>1$ : strictement croissante, $\lim\limits_{x\to+\infty}a^x=+\infty$ , $\lim\limits_{x\to-\infty}a^x=0$ . Si $0<a<1$ : strictement décroissante, $\lim\limits_{x\to+\infty}a^x=0$ , $\lim\limits_{x\to-\infty}a^x=+\infty$ .

Application 6

Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $2^{x+1}=24$ et $\left(\dfrac13\right)^x\ge9$ . Calculer la dérivée de $g:x\mapsto5^{x^2}$ .

Voir la solution

$2^{x+1}=24\iff(x+1)\ln2=\ln24\iff x=\dfrac{\ln24}{\ln2}-1=\dfrac{\ln12}{\ln2}$ (car $\ln24-\ln2=\ln12$ ).

$\left(\frac13\right)^x\ge9\iff-x\ln3\ge2\ln3\iff x\le-2$ : $S=]-\infty;-2]$ .

$g(x)=e^{x^2\ln5}$ , donc $g'(x)=2x\ln5\;e^{x^2\ln5}=2x\ln5\times5^{x^2}$ .

Résumé

À retenir

Notion	À retenir
Définition	$e^x=y\iff x=\ln y$ ( $x\in\mathbb{R}$ , $y>0$ ) ; $e^x>0$
Algèbre	$e^{x+y}=e^xe^y$ , $e^{-x}=\frac1{e^x}$ , $\left(e^x\right)^r=e^{rx}$
Limites	$e^x\xrightarrow[-\infty]{}0$ ; $\frac{e^x}{x^n}\xrightarrow[+\infty]{}+\infty$ ; $x^ne^x\xrightarrow[-\infty]{}0$ ; $\frac{e^x-1}x\xrightarrow[0]{}1$
Dérivée, primitive	$\left(e^u\right)'=u'e^u$ ; primitives de $u'e^u$ : $e^u+C$
Base $a$	$a^x=e^{x\ln a}$ ; $\left(a^x\right)'=(\ln a)a^x$

Série d’exercices

Exercice 1 — Équations et inéquations Facile ★★☆☆☆

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes : $e^{2x-1}=3$ ; $\quad e^{x^2+x}=e^2$ ; $\quad e^{2x}-5e^x+6=0$ ; $\quad e^{x^2}=\dfrac14$ .
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes : $e^{x^2}>e^{2x+3}$ ; $\quad e^{2x}-4e^x+3\le0$ ; $\quad e^{3x}-5e^{2x}+6e^x>0$ ; $\quad\ln\left(e^x-3e^{-x}\right)<0$ .

Voir la solution

$e^{2x-1}=3\iff2x-1=\ln3\iff x=\dfrac{1+\ln3}2$ . $S=\left\{\dfrac{1+\ln3}2\right\}$ .
$e^{x^2+x}=e^2\iff x^2+x-2=0\iff(x-1)(x+2)=0$ . $S=\{-2;1\}$ .
On pose $X=e^x>0$ : $X^2-5X+6=(X-2)(X-3)=0\iff X=2$ ou $X=3$ . $S=\{\ln2;\ln3\}$ .
$e^{x^2}\ge e^0=1>\dfrac14$ pour tout réel $x$ : $S=\varnothing$ .

$e^{x^2}>e^{2x+3}\iff x^2-2x-3>0\iff(x+1)(x-3)>0$ . $S=]-\infty;-1[\cup]3;+\infty[$ .
$X=e^x$ : $X^2-4X+3=(X-1)(X-3)\le0\iff1\le X\le3\iff0\le x\le\ln3$ . $S=[0;\ln3]$ .
$e^{3x}-5e^{2x}+6e^x=X(X-2)(X-3)$ avec $X>0$ : elle est strictement positive si et seulement si $X<2$ ou $X>3$ . $S=]-\infty;\ln2[\cup]\ln3;+\infty[$ .
Domaine : $e^x-3e^{-x}>0\iff e^{2x}>3\iff x>\dfrac{\ln3}2=\ln\sqrt3$ . Sur ce domaine : $\ln\left(e^x-3e^{-x}\right)<0\iff e^x-3e^{-x}<1\iff X^2-X-3<0$ (en multipliant par $X>0$ ) $\iff X<\dfrac{1+\sqrt{13}}2$ (car $X>0$ ). $S=\left]\ln\sqrt3\,;\,\ln\dfrac{1+\sqrt{13}}2\right[$ .

Exercice 2 — Domaines de définition Facile ★☆☆☆☆

Déterminer l’ensemble de définition $D_f$ de la fonction $f$ dans chacun des cas suivants : $f(x)=\frac{x}{e^x-2}\ ;\qquad f(x)=\frac{e^x}{e^{2x}-9}\ ;\qquad f(x)=\sqrt{1-e^{-x}}\ ;\qquad f(x)=\ln\left(\frac{e^x-3}{e^x+1}\right).$

Voir la solution

$e^x-2\neq0\iff x\neq\ln2$ : $D_f=\mathbb{R}\setminus\{\ln2\}$ .
$e^{2x}\neq9\iff2x\neq\ln9\iff x\neq\ln3$ : $D_f=\mathbb{R}\setminus\{\ln3\}$ .
$1-e^{-x}\ge0\iff e^{-x}\le1\iff-x\le0\iff x\ge0$ : $D_f=[0;+\infty[$ .
$e^x+1>0$ , donc $\dfrac{e^x-3}{e^x+1}>0\iff e^x>3\iff x>\ln3$ : $D_f=]\ln3;+\infty[$ .

Exercice 3 — Simplifications Facile ★☆☆☆☆

Simplifier les nombres suivants, où $x$ est un réel (strictement positif pour $D$ ) : $A=\frac{e^{2x+3}}{e^{2x-1}}\ ;\quad B=\left(e^x\right)^3\times\left(e^{-x}\right)^2\ ;\quad C=\frac{e^{3x}\times e^{x+1}}{e^{2x+1}\times\sqrt{e^{4x}}}\ ;\quad D=e^{\ln(2x+3)}-e^{2\ln x}.$

Voir la solution

$A=e^{(2x+3)-(2x-1)}=e^4$ ; $\quad B=e^{3x}\times e^{-2x}=e^x$ ; $\quad C=\dfrac{e^{4x+1}}{e^{2x+1}\times e^{2x}}=1$ ; $\quad D=(2x+3)-x^2=-x^2+2x+3$ (car $e^{2\ln x}=e^{\ln x^2}=x^2$ ).

Exercice 4 — Limites Moyen ★★★☆☆

Calculer les limites suivantes :

$\lim\limits_{x\to+\infty}\left(e^x-3x^2\right)$ ; $\quad\lim\limits_{x\to-\infty}\left(e^{-x}+x^3\right)$ ; $\quad\lim\limits_{x\to+\infty}\left(e^x-e^{2x}\right)$ ; $\quad\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^{2x}+3e^x-1}{2e^{2x}+5}$ ;
$\lim\limits_{x\to+\infty}e^{\frac{2x+1}{x-3}}$ ; $\quad\lim\limits_{x\to1^-}e^{\frac1{x-1}}$ ; $\quad\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{3x}-e^x}x$ ; $\quad\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{\sin x}-1}x$ ;
$\lim\limits_{x\to0^+}xe^{\frac1x}$ ; $\quad\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{e^x}$ ; $\quad\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\ln\left(e^{2x}+e^x+1\right)-2x\right)$ ; $\quad\lim\limits_{x\to+\infty}e^x\left(\sqrt{e^{2x}+4}-e^x\right)$ ;
$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-\cos x}{3x}$ ; $\quad\lim\limits_{x\to-\infty}e^{\frac{x^2+1}x}$ ; $\quad\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^x+x}{e^x-x^2}$ ; $\quad\lim\limits_{x\to+\infty}x\left(e^{\frac1x}-1\right)$ .

Voir la solution

$e^x-3x^2=x^2\left(\dfrac{e^x}{x^2}-3\right)\to+\infty$ .
On pose $X=-x\to+\infty$ : $e^{-x}+x^3=e^X-X^3=X^3\left(\dfrac{e^X}{X^3}-1\right)\to+\infty$ .
$e^x-e^{2x}=e^{2x}\left(e^{-x}-1\right)\to-\infty$ .
$\dfrac{e^{2x}+3e^x-1}{2e^{2x}+5}=\dfrac{1+3e^{-x}-e^{-2x}}{2+5e^{-2x}}\to\dfrac12$ .

$\dfrac{2x+1}{x-3}\to2$ , donc la limite vaut $e^2$ .
$\dfrac1{x-1}\to-\infty$ quand $x\to1^-$ , donc la limite vaut $0$ .
$\dfrac{e^{3x}-e^x}x=3\times\dfrac{e^{3x}-1}{3x}-\dfrac{e^x-1}x\to3-1=2$ .
$\dfrac{e^{\sin x}-1}x=\dfrac{e^{\sin x}-1}{\sin x}\times\dfrac{\sin x}x\to1\times1=1$ (avec $X=\sin x\to0$ ).

On pose $X=\frac1x\to+\infty$ : $xe^{\frac1x}=\dfrac{e^X}X\to+\infty$ .
$\dfrac{\ln x}{e^x}=\dfrac{\ln x}x\times\dfrac x{e^x}\to0\times0=0$ .
$\ln\left(e^{2x}+e^x+1\right)-2x=\ln\left(1+e^{-x}+e^{-2x}\right)\to\ln1=0$ .
$e^x\left(\sqrt{e^{2x}+4}-e^x\right)=\dfrac{4e^x}{\sqrt{e^{2x}+4}+e^x}=\dfrac4{\sqrt{1+4e^{-2x}}+1}\to2$ .

$\dfrac{e^x-\cos x}{3x}=\dfrac13\left(\dfrac{e^x-1}x+x\times\dfrac{1-\cos x}{x^2}\right)\to\dfrac13\left(1+0\times\dfrac12\right)=\dfrac13$ .
$\dfrac{x^2+1}x=x+\dfrac1x\to-\infty$ en $-\infty$ , donc la limite vaut $0$ .
$\dfrac{e^x+x}{e^x-x^2}=\dfrac{1+xe^{-x}}{1-x^2e^{-x}}\to1$ .
On pose $X=\frac1x\to0^+$ : $x\left(e^{\frac1x}-1\right)=\dfrac{e^X-1}X\to1$ .

Exercice 5 — Dérivées Facile ★★☆☆☆

Calculer $f'(x)$ dans chacun des cas suivants (on précisera l’intervalle de dérivabilité) : $f(x)=e^{-x^2+2x-1}\ ;\quad f(x)=e^{\sqrt{2x-1}}\ ;\quad f(x)=(2x+1)e^{-3x}\ ;\quad f(x)=\sin(x)\,e^{\cos x}\ ;\quad f(x)=\ln\left(2+e^{3x}\right)\ ;$ $f(x)=e^{\frac{x+1}{x-1}}\ ;\quad f(x)=\frac{e^x-1}{e^x+1}\ ;\quad f(x)=\sqrt[3]{e^{2x}}\ ;\quad f(x)=\left(x^2+1\right)e^{\frac1x}.$

Voir la solution

Sur $\mathbb{R}$ : $f'(x)=(-2x+2)e^{-x^2+2x-1}$ .
Sur $\left]\frac12;+\infty\right[$ : $f'(x)=\dfrac{2}{2\sqrt{2x-1}}e^{\sqrt{2x-1}}=\dfrac{e^{\sqrt{2x-1}}}{\sqrt{2x-1}}$ .
Sur $\mathbb{R}$ : $f'(x)=2e^{-3x}-3(2x+1)e^{-3x}=(-6x-1)e^{-3x}$ .
Sur $\mathbb{R}$ : $f'(x)=\cos x\,e^{\cos x}-\sin^2x\,e^{\cos x}=\left(\cos x-\sin^2x\right)e^{\cos x}$ .
Sur $\mathbb{R}$ ( $2+e^{3x}>0$ ) : $f'(x)=\dfrac{3e^{3x}}{2+e^{3x}}$ .
Sur $]-\infty;1[$ et sur $]1;+\infty[$ : $\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)'=\dfrac{-2}{(x-1)^2}$ , donc $f'(x)=\dfrac{-2}{(x-1)^2}e^{\frac{x+1}{x-1}}$ .
Sur $\mathbb{R}$ : $f'(x)=\dfrac{e^x\left(e^x+1\right)-e^x\left(e^x-1\right)}{\left(e^x+1\right)^2}=\dfrac{2e^x}{\left(e^x+1\right)^2}$ .
$f(x)=e^{\frac{2x}3}$ , donc sur $\mathbb{R}$ : $f'(x)=\dfrac23e^{\frac{2x}3}$ .
Sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$ : $f'(x)=2xe^{\frac1x}+\left(x^2+1\right)\left(-\dfrac1{x^2}\right)e^{\frac1x}=\dfrac{2x^3-x^2-1}{x^2}e^{\frac1x}$ .

Exercice 6 — Primitives Facile ★★☆☆☆

Déterminer une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ dans chacun des cas suivants : $f(x)=e^{-2x+3}+\sqrt{e^x}\ ;\quad f(x)=xe^{x^2-1}\ ;\quad f(x)=e^{-x}+2x+1\ ;$ $f(x)=\frac{e^x}{\sqrt{e^x+3}}\ ;\quad f(x)=e^{2x}+\frac1{1+e^{-x}}\ ;\quad f(x)=\frac{e^{2x}}{e^{2x}+1}.$

Voir la solution

$F(x)=-\dfrac12e^{-2x+3}+2e^{\frac x2}$ (car $\sqrt{e^x}=e^{\frac x2}$ ).
$F(x)=\dfrac12e^{x^2-1}$ (forme $\frac12u'e^u$ avec $u=x^2-1$ ).
$F(x)=-e^{-x}+x^2+x$ .
$F(x)=2\sqrt{e^x+3}$ (forme $\frac{u'}{\sqrt u}$ ).
$\dfrac1{1+e^{-x}}=\dfrac{e^x}{e^x+1}$ , donc $F(x)=\dfrac12e^{2x}+\ln\left(e^x+1\right)$ .
$F(x)=\dfrac12\ln\left(e^{2x}+1\right)$ (forme $\frac12\frac{u'}u$ avec $u>0$ ).

Exercice 7 — Étude d’une fonction composée Moyen ★★★☆☆

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\ln\left(e^x+4e^{-x}\right)$ , et $(C_f)$ sa courbe dans un repère orthonormé $(O;\vec\imath,\vec\jmath)$ .

Calculer $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ .
a. Montrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}$ , $f'(x)=\dfrac{\left(e^x-2\right)\left(e^x+2\right)}{e^{2x}+4}$ . b. Étudier le signe de $f'(x)$ , puis dresser le tableau de variations de $f$ .
a. Montrer que la droite $(\Delta)$ d’équation $y=x$ est une asymptote oblique à $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$ . b. Montrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}$ , $f(x)=\ln\left(e^{2x}+4\right)-x$ . c. En déduire une équation de l’asymptote oblique à $(C_f)$ au voisinage de $-\infty$ .
Déterminer le point d’intersection de $(C_f)$ avec l’axe des ordonnées, et montrer que $(C_f)$ ne coupe pas l’axe des abscisses.
Tracer la courbe $(C_f)$ dans le repère $(O;\vec\imath,\vec\jmath)$ .
On considère l’équation $(E)$ : $f(x)=m$ , où $m$ est un paramètre réel. a. Discuter graphiquement, selon les valeurs de $m$ , le nombre de solutions de $(E)$ . b. Résoudre algébriquement l’équation $(E)$ .

Voir la solution

1. En $+\infty$ : $e^x\to+\infty$ et $4e^{-x}\to0$ , donc $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ . En $-\infty$ : $4e^{-x}\to+\infty$ , donc $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$ .

2. a. $f'(x)=\dfrac{e^x-4e^{-x}}{e^x+4e^{-x}}=\dfrac{e^{2x}-4}{e^{2x}+4}=\dfrac{\left(e^x-2\right)\left(e^x+2\right)}{e^{2x}+4}$ (en multipliant par $e^x$ ).

2. b. $f'(x)$ a le signe de $e^x-2$ : négatif sur $]-\infty;\ln2[$ , positif sur $]\ln2;+\infty[$ . Minimum : $f(\ln2)=\ln(2+2)=\ln4$ .

3. a. $f(x)-x=\ln\left(e^x+4e^{-x}\right)-\ln e^x=\ln\left(1+4e^{-2x}\right)\xrightarrow[x\to+\infty]{}0$ : $(\Delta)$ est asymptote oblique en $+\infty$ . De plus $f(x)-x>0$ : $(C_f)$ est au-dessus de $(\Delta)$ .

3. b. $e^x+4e^{-x}=e^{-x}\left(e^{2x}+4\right)$ , donc $f(x)=-x+\ln\left(e^{2x}+4\right)$ .

3. c. $f(x)-(-x+\ln4)=\ln\dfrac{e^{2x}+4}4\xrightarrow[x\to-\infty]{}\ln1=0$ : la droite d’équation $y=-x+\ln4$ est asymptote oblique en $-\infty$ .

4. $f(0)=\ln5$ : $(C_f)$ coupe l’axe des ordonnées au point $(0;\ln5)$ . Pour tout réel $x$ , $f(x)\ge\ln4>0$ : $(C_f)$ ne coupe pas l’axe des abscisses.

6. a. D’après le tableau de variations : si $m<\ln4$ , $(E)$ n’a pas de solution ; si $m=\ln4$ , une seule solution ( $x=\ln2$ ) ; si $m>\ln4$ , deux solutions.

6. b. $f(x)=m\iff e^x+4e^{-x}=e^m\iff X^2-e^mX+4=0$ avec $X=e^x>0$ . Discriminant : $\Delta=e^{2m}-16$ , positif ou nul si et seulement si $e^m\ge4$ , c’est-à-dire $m\ge\ln4$ .

Si $m<\ln4$ : $S=\varnothing$ .
Si $m=\ln4$ : $X=2$ , $S=\{\ln2\}$ .
Si $m>\ln4$ : deux racines de produit $4>0$ et de somme $e^m>0$ , donc toutes deux strictement positives : $S=\left\{\ln\dfrac{e^m-\sqrt{e^{2m}-16}}2\,;\,\ln\dfrac{e^m+\sqrt{e^{2m}-16}}2\right\}$ .

Exercice 8 — Inégalités Facile ★★☆☆☆

Montrer que, pour tout réel $x$ , $e^x\ge x+1$ .
Montrer que, pour tous réels $a$ et $b$ , $e^a+e^b\ge2e^{\frac{a+b}2}$ (on pourra développer $\left(e^{\frac a2}-e^{\frac b2}\right)^2$ ).

Voir la solution

1. On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=e^x-x-1$ . $g'(x)=e^x-1$ est négatif sur $]-\infty;0]$ et positif sur $[0;+\infty[$ : $g$ admet un minimum en $0$ , égal à $g(0)=0$ . Donc $g(x)\ge0$ , c’est-à-dire $e^x\ge x+1$ pour tout réel $x$ .

2. $\left(e^{\frac a2}-e^{\frac b2}\right)^2=e^a-2e^{\frac a2}e^{\frac b2}+e^b=e^a+e^b-2e^{\frac{a+b}2}$ . Un carré étant positif, on obtient $e^a+e^b\ge2e^{\frac{a+b}2}$ .

Exercice 9 — Exponentielle de base $a$ Facile ★★☆☆☆

Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $\left(\dfrac13\right)^x\ge\dfrac1{27}$ ; $\quad2^x<8^x$ ; $\quad4^x-3\times2^x-4\le0$ .
Calculer la dérivée des fonctions $f$ et $g$ définies par $f(x)=3^{x^2-x}$ sur $\mathbb{R}$ et $g(x)=x^x$ sur $]0;+\infty[$ .
Calculer les limites suivantes : $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac23\right)^x$ ; $\quad\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{5^x-3^x}{4^x}$ ; $\quad\lim\limits_{x\to0}\dfrac{3^x-2^x}x$ ; $\quad\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1+\dfrac2x\right)^x$ .

Voir la solution

$\left(\frac13\right)^x\ge\frac1{27}\iff-x\ln3\ge-3\ln3\iff x\le3$ : $S=]-\infty;3]$ .
$2^x<8^x\iff x\ln2<3x\ln2\iff2x\ln2>0\iff x>0$ : $S=]0;+\infty[$ .
Avec $X=2^x>0$ : $X^2-3X-4=(X-4)(X+1)\le0\iff X\le4\iff x\le2$ : $S=]-\infty;2]$ .

2. $f(x)=e^{\left(x^2-x\right)\ln3}$ , donc $f'(x)=(2x-1)\ln3\times3^{x^2-x}$ . $\quad g(x)=e^{x\ln x}$ , donc $g'(x)=(\ln x+1)\,x^x$ .

$0<\frac23<1$ , donc $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\frac23\right)^x=0$ .
$\dfrac{5^x-3^x}{4^x}=\left(\dfrac54\right)^x-\left(\dfrac34\right)^x\to+\infty-0=+\infty$ .
Pour $a>0$ : $\dfrac{a^x-1}x=\dfrac{e^{x\ln a}-1}{x\ln a}\times\ln a\to\ln a$ . Donc $\dfrac{3^x-2^x}x=\dfrac{3^x-1}x-\dfrac{2^x-1}x\to\ln3-\ln2=\ln\dfrac32$ .
$\left(1+\frac2x\right)^x=e^{x\ln\left(1+\frac2x\right)}$ et, avec $X=\frac2x\to0$ , $x\ln\left(1+\frac2x\right)=2\times\dfrac{\ln(1+X)}X\to2$ : la limite vaut $e^2$ .

Exercice 10 — Équations, système, simplification Facile ★★☆☆☆

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes : $2^{1-x}=3^x$ ; $\quad4^{x+1}=\dfrac{12}{3^x}$ ; $\quad4^x-2^{x+1}-8=0$ ; $\quad3\times9^x-10\times3^x+3=0$ ; $\quad2^x-5\sqrt{2^x}+4=0$ .
Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système $\begin{cases}2e^x+\ln y=7\\ e^x-3\ln y=0\end{cases}$ .
Simplifier les nombres $A=4^{\frac1{\ln2}}$ et $B=5^{-\frac1{\ln25}}$ .

Voir la solution

$(1-x)\ln2=x\ln3\iff\ln2=x(\ln2+\ln3)\iff x=\dfrac{\ln2}{\ln6}$ .
$4^{x+1}\times3^x=12\iff4\times12^x=12\iff12^x=3\iff x=\dfrac{\ln3}{\ln12}$ .
$X=2^x$ : $X^2-2X-8=(X-4)(X+2)=0\iff X=4$ (car $X>0$ ) $\iff x=2$ .
$X=3^x$ : $3X^2-10X+3=(3X-1)(X-3)=0\iff X=\frac13$ ou $X=3\iff x=-1$ ou $x=1$ .
$Y=\sqrt{2^x}>0$ : $Y^2-5Y+4=(Y-1)(Y-4)=0\iff2^x=1$ ou $2^x=16\iff x=0$ ou $x=4$ .

2. Avec $X=e^x>0$ et $Y=\ln y$ ( $y>0$ ) : $2X+Y=7$ et $X=3Y$ , d’où $7Y=7$ , $Y=1$ , $X=3$ . Donc $x=\ln3$ , $y=e$ : $S=\{(\ln3;e)\}$ .

3. $A=e^{\frac{\ln4}{\ln2}}=e^{\frac{2\ln2}{\ln2}}=e^2$ ; $\quad B=e^{-\frac{\ln5}{\ln25}}=e^{-\frac{\ln5}{2\ln5}}=e^{-\frac12}=\dfrac1{\sqrt e}$ .

Exercice 11 — Étude de fonction et équation $f(x)=0$ Moyen ★★★☆☆

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x+1+\dfrac4{e^x+1}$ , et $(C_f)$ sa courbe dans un repère orthonormé $(O;\vec\imath,\vec\jmath)$ .

Calculer $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ .
a. Montrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}$ , $f'(x)=\left(\dfrac{e^x-1}{e^x+1}\right)^2$ . b. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ . c. Montrer que le point $I(0;3)$ est un point d’inflexion de $(C_f)$ .
Calculer $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(f(x)-(x+1)\right)$ , puis interpréter graphiquement le résultat.
Montrer que la droite $(D)$ d’équation $y=x+5$ est une asymptote à $(C_f)$ au voisinage de $-\infty$ .
Étudier la position relative de $(C_f)$ et de $(D)$ .
Montrer que l’équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ dans $\mathbb{R}$ , et que $-5<\alpha<-4$ .
En déduire que $e^\alpha=-1-\dfrac4{\alpha+1}$ .
Tracer la courbe $(C_f)$ dans le repère $(O;\vec\imath,\vec\jmath)$ .

Voir la solution

1. En $-\infty$ : $\frac4{e^x+1}\to4$ et $x+1\to-\infty$ , donc $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ . En $+\infty$ : $\frac4{e^x+1}\to0$ , donc $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ .

2. a. $f'(x)=1-\dfrac{4e^x}{\left(e^x+1\right)^2}=\dfrac{\left(e^x+1\right)^2-4e^x}{\left(e^x+1\right)^2}=\dfrac{\left(e^x-1\right)^2}{\left(e^x+1\right)^2}$ .

2. b. $f'(x)\ge0$ et $f'$ ne s’annule qu’en $0$ : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

2. c. $f''(x)=2\times\dfrac{e^x-1}{e^x+1}\times\dfrac{2e^x}{\left(e^x+1\right)^2}=\dfrac{4e^x\left(e^x-1\right)}{\left(e^x+1\right)^3}$ , du signe de $e^x-1$ : elle s’annule en $0$ en changeant de signe. Comme $f(0)=1+2=3$ , $I(0;3)$ est un point d’inflexion (à tangente horizontale).

3. $f(x)-(x+1)=\dfrac4{e^x+1}\to0$ : la droite d’équation $y=x+1$ est asymptote oblique à $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$ .

4. $f(x)-(x+5)=\dfrac4{e^x+1}-4=\dfrac{-4e^x}{e^x+1}\xrightarrow[x\to-\infty]{}0$ : $(D)$ est asymptote à $(C_f)$ au voisinage de $-\infty$ .

5. $f(x)-(x+5)=\dfrac{-4e^x}{e^x+1}<0$ : $(C_f)$ est strictement en dessous de $(D)$ sur $\mathbb{R}$ .

6. $f$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$ , et $f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$ : l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ . De plus $f(-5)=\dfrac{-4e^{-5}}{e^{-5}+1}<0$ et $f(-4)=-3+\dfrac4{e^{-4}+1}>0$ (car $e^{-4}<\frac13$ ) : $-5<\alpha<-4$ .

7. $f(\alpha)=0\iff\dfrac4{e^\alpha+1}=-(\alpha+1)\iff e^\alpha+1=-\dfrac4{\alpha+1}$ (avec $\alpha+1\neq0$ ), d’où $e^\alpha=-1-\dfrac4{\alpha+1}$ .

Exercice 12 — Fonction et réciproque Moyen ★★★☆☆

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\left(e^x-2\right)^2$ , et $(C_f)$ sa courbe dans un repère orthonormé $(O;\vec\imath,\vec\jmath)$ (unité : $2$ cm).

Calculer $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)$ et interpréter graphiquement le résultat.
Montrer que $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées au voisinage de $+\infty$ .
a. Montrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}$ , $f'(x)=2e^x\left(e^x-2\right)$ . b. Dresser le tableau de variations de $f$ .
Montrer que $(C_f)$ admet un point d’inflexion que l’on déterminera.
On considère la restriction $g$ de $f$ à l’intervalle $[\ln2;+\infty[$ . a. Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ à déterminer. b. Montrer que, pour tout $x\in J$ , $g^{-1}(x)=\ln\left(2+\sqrt x\right)$ .
Tracer $(C_f)$ et $(C_{g^{-1}})$ dans le même repère.

Voir la solution

1. $\lim\limits_{x\to-\infty}e^x=0$ , donc $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=4$ : la droite d’équation $y=4$ est asymptote horizontale en $-\infty$ .

2. $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ et $\dfrac{f(x)}x=\dfrac{e^{2x}}x\left(1-2e^{-x}\right)^2\to+\infty$ : branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.

3. a. $f'(x)=2e^x\left(e^x-2\right)$ .

3. b. Du signe de $e^x-2$ ; minimum $f(\ln2)=0$ .

4. $f''(x)=2e^x\left(e^x-2\right)+2e^{2x}=4e^x\left(e^x-1\right)$ s’annule en $0$ en changeant de signe : le point $(0;1)$ est un point d’inflexion de $(C_f)$ .

5. a. $g$ est continue et strictement croissante sur $[\ln2;+\infty[$ : elle admet une réciproque définie sur $J=g([\ln2;+\infty[)=[0;+\infty[$ .

5. b. Pour $x\in J$ et $y\in[\ln2;+\infty[$ : $g(y)=x\iff\left(e^y-2\right)^2=x\iff e^y-2=\sqrt x$ (car $e^y-2\ge0$ ) $\iff y=\ln\left(2+\sqrt x\right)$ . Donc $g^{-1}(x)=\ln\left(2+\sqrt x\right)$ .

Exercice 13 — Problème : fonction et suite Difficile ★★★★★

Première partie. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x)=1+4\left(\dfrac{x-1}x\right)^2e^{x-2}$ , et $(C_f)$ sa courbe dans un repère orthonormé $(O;\vec\imath,\vec\jmath)$ (unité : $2$ cm).

a. Calculer $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)$ et interpréter graphiquement le résultat. b. Calculer $\lim\limits_{x\to0}f(x)$ et interpréter graphiquement le résultat.
a. Calculer $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ . b. Montrer que $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées au voisinage de $+\infty$ .
a. Montrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}^*$ , $f'(x)=\dfrac{4(x-1)\left(x^2-x+2\right)e^{x-2}}{x^3}$ . b. Vérifier que, pour tout $x\in\mathbb{R}$ , $x^2-x+2>0$ . c. Montrer que $f$ est strictement décroissante sur $]0;1]$ et strictement croissante sur $]-\infty;0[$ et sur $[1;+\infty[$ . d. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}^*$ .
Tracer $(C_f)$ dans le repère $(O;\vec\imath,\vec\jmath)$ .
Vérifier que la fonction $H:x\mapsto\dfrac1xe^{x-2}$ est une primitive de la fonction $h:x\mapsto\dfrac{x-1}{x^2}e^{x-2}$ sur $[1;2]$ .

Deuxième partie.

On considère la fonction $g$ définie sur $[1;2]$ par $g(x)=4(x-1)e^{x-2}-x^2$ . a. Calculer $g(2)$ . b. Vérifier que, pour tout $x\in[1;2]$ , $g(x)=-(x-2)^2e^{x-2}+x^2\left(e^{x-2}-1\right)$ . c. Vérifier que, pour tout $x\in[1;2]$ , $e^{x-2}-1\le0$ , puis en déduire que $g(x)\le0$ pour tout $x\in[1;2]$ .
a. Vérifier que, pour tout $x\in[1;2]$ , $f(x)-x=\dfrac{x-1}{x^2}\,g(x)$ . b. En déduire que $f(x)\le x$ pour tout $x\in[1;2]$ .
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=\dfrac32$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ . a. Montrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $1\le u_n\le2$ . b. Déterminer la monotonie de la suite $(u_n)$ , puis en déduire qu’elle est convergente. c. Calculer la limite de la suite $(u_n)$ .

Voir la solution

Première partie.

1. a. $\left(\dfrac{x-1}x\right)^2\to1$ et $e^{x-2}\to0$ , donc $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=1$ : asymptote horizontale $y=1$ au voisinage de $-\infty$ .

1. b. $(x-1)^2\to1$ , $x^2\to0^+$ et $e^{x-2}\to e^{-2}>0$ , donc $\lim\limits_{x\to0}f(x)=+\infty$ : la droite d’équation $x=0$ est asymptote verticale.

2. a. $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ .

2. b. $\dfrac{f(x)}x=\dfrac1x+4\left(\dfrac{x-1}x\right)^2\dfrac{e^{x-2}}x\to+\infty$ : branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.

3. a. $f(x)=1+4\left(1-\frac1x\right)^2e^{x-2}$ , donc $f'(x)=4\left[2\left(1-\frac1x\right)\frac1{x^2}+\left(1-\frac1x\right)^2\right]e^{x-2}=4\,\frac{x-1}x\cdot\frac{x^2-x+2}{x^2}\,e^{x-2}=\frac{4(x-1)\left(x^2-x+2\right)e^{x-2}}{x^3}.$

3. b. Discriminant $1-8=-7<0$ et coefficient de $x^2$ positif : $x^2-x+2>0$ .

3. c. $f'(x)$ a le signe de $\dfrac{x-1}{x^3}$ : positif sur $]-\infty;0[$ , négatif sur $]0;1[$ , positif sur $]1;+\infty[$ .

3. d. $f(1)=1$ .

5. $H'(x)=-\dfrac1{x^2}e^{x-2}+\dfrac1xe^{x-2}=\dfrac{x-1}{x^2}e^{x-2}=h(x)$ .

Deuxième partie.

1. a. $g(2)=4\times1\times1-4=0$ .

1. b. $-(x-2)^2e^{x-2}+x^2e^{x-2}-x^2=e^{x-2}\left(x^2-(x-2)^2\right)-x^2=e^{x-2}(4x-4)-x^2=g(x)$ .

1. c. Pour $x\le2$ : $x-2\le0$ , donc $e^{x-2}\le1$ . Les deux termes de 1.b sont alors négatifs : $g(x)\le0$ sur $[1;2]$ (et même $g(x)<0$ sur $[1;2[$ , car $e^{x-2}-1<0$ ).

2. a. $x^2(f(x)-x)=x^2-x^3+4(x-1)^2e^{x-2}=(x-1)\left(4(x-1)e^{x-2}-x^2\right)=(x-1)g(x)$ .

2. b. Sur $[1;2]$ : $x-1\ge0$ et $g(x)\le0$ , donc $f(x)-x\le0$ .

3. a. Montrons par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $1\le u_n\le2$ .

Initialisation : $u_0=\frac32\in[1;2]$ .
Hérédité : soit $n\in\mathbb{N}$ tel que $1\le u_n\le2$ . $f$ est croissante sur $[1;2]$ , donc $f(1)\le f(u_n)\le f(2)$ , soit $1\le u_{n+1}\le2$ (car $f(1)=1$ et $f(2)=1+4\times\frac14=2$ ).

D’après le principe du raisonnement par récurrence, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $1\le u_n\le2$ .

3. b. $u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n\le0$ (2.b) : $(u_n)$ est décroissante ; minorée par $1$ , elle converge.

3. c. Sa limite $\ell\in[1;2]$ vérifie $f(\ell)=\ell$ ( $f$ continue et $f([1;2])\subset[1;2]$ ), soit $(\ell-1)g(\ell)=0$ : $\ell=1$ , ou $g(\ell)=0$ c’est-à-dire $\ell=2$ (1.c). Comme $(u_n)$ est décroissante, $\ell\le u_0=\frac32<2$ , donc $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=1$ .

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Chapitre 8 — Fonctions exponentielles

Cours

I. La fonction exponentielle népérienne

1. Définition

2. Premières propriétés

II. Propriétés algébriques

III. Équations et inéquations

IV. Limites et courbe

V. Dérivée de eue^ueu et primitives de u′euu'e^uu′eu

VI. Fonction exponentielle de base aaa

Résumé

Série d’exercices

Exercice 1 — Équations et inéquations Facile ★★☆☆☆

Exercice 2 — Domaines de définition Facile ★☆☆☆☆

Exercice 3 — Simplifications Facile ★☆☆☆☆

Exercice 4 — Limites Moyen ★★★☆☆

Exercice 5 — Dérivées Facile ★★☆☆☆

Exercice 6 — Primitives Facile ★★☆☆☆

Exercice 7 — Étude d’une fonction composée Moyen ★★★☆☆

Exercice 8 — Inégalités Facile ★★☆☆☆

Exercice 9 — Exponentielle de base aaa Facile ★★☆☆☆

Exercice 10 — Équations, système, simplification Facile ★★☆☆☆

Exercice 11 — Étude de fonction et équation f(x)=0f(x)=0f(x)=0 Moyen ★★★☆☆

Exercice 12 — Fonction et réciproque Moyen ★★★☆☆

Exercice 13 — Problème : fonction et suite Difficile ★★★★★

V. Dérivée de $e^u$ et primitives de $u'e^u$

VI. Fonction exponentielle de base $a$

Exercice 9 — Exponentielle de base $a$ Facile ★★☆☆☆

Exercice 11 — Étude de fonction et équation $f(x)=0$ Moyen ★★★☆☆