Plan du chapitre. I. Généralités sur les polynômes — II. Racine d’un polynôme et division par x−a — III. Factorisation d’un polynôme.
I. Généralités sur les polynômes
1. Définitions
Définition 1 : Polynôme
On considère un entier naturel n et des réels a0, a1, …, an avec an=0. La fonction P définie sur R par
P(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0
est un polynôme de degrén ; on note degP=n.
Les réels a0, …, an sont les coefficients de P ; akxk est un monôme.
Le polynôme dont tous les coefficients sont nuls est le polynôme nul ; il n’a pas de degré.
Un polynôme de degré 1, 2 ou 3 est dit respectivement du premier degré, trinôme du second degré, polynôme du troisième degré.
Exemple 1
Parmi les expressions suivantes, lesquelles sont des polynômes ? Préciser alors leur degré : P(x)=4x3−x+2, Q(x)=(x−1)2−x2, R(x)=x2+x1 et S(x)=x+1.
Voir la solution
P(x)=4x3−x+2 est un polynôme de degré 3 ; Q(x)=(x−1)2−x2=−2x+1 est de degré 1.
R(x)=x2+x1 et S(x)=x+1 ne sont pas des polynômes.
2. Égalité de deux polynômes
Propriété 1
Deux polynômes sont égaux (c’est-à-dire prennent la même valeur pour tout réel x) si et seulement s’ils ont le même degré et les mêmes coefficients pour les monômes de même degré.
Application 1
On considère les polynômes P(x)=2x2+7x−4 et Q(x)=(x+4)(ax+b), où a et b sont des réels. Déterminer a et b pour que P=Q.
Voir la solution
Q(x)=ax2+(4a+b)x+4b. Par identification : a=2, 4a+b=7 et 4b=−4, soit a=2 et b=−1 (et 4×2−1=7 est bien vérifié).
3. Opérations
Propriété 2
On considère deux polynômes non nuls P et Q. La somme P+Q et le produit PQ sont des polynômes ; si P+Q n’est pas nul, deg(P+Q)≤ le plus grand des degrés de P et Q, et deg(PQ)=degP+degQ.
Exemple 2
On considère les polynômes P(x)=x2−3x+1 et Q(x)=2x3+x. Déterminer P+Q, puis le degré et le coefficient du terme de plus haut degré de PQ.
Voir la solution
(P+Q)(x)=2x3+x2−2x+1, de degré 3. Le produit PQ est de degré 2+3=5 ; son terme de plus haut degré est x2×2x3=2x5, de coefficient 2.
II. Racine d’un polynôme et division par x−a
1. Racine d’un polynôme
Définition 2
On considère un polynôme P et un réel a. On dit que a est une racine (ou un zéro) de P lorsque P(a)=0.
Exemple 3
On considère le polynôme P(x)=x3−2x2−5x+6. Calculer P(1) et P(2). Les nombres 1 et 2 sont-ils des racines de P ?
Voir la solution
P(x)=x3−2x2−5x+6 : P(1)=1−2−5+6=0, donc 1 est une racine de P ; P(2)=8−8−10+6=−4=0.
2. Divisibilité par x−a
Théorème 1
On considère un polynôme P de degré n≥1 et un réel a. Le réel a est une racine de P si et seulement s’il existe un polynôme Q de degré n−1 tel que, pour tout réel x,
P(x)=(x−a)Q(x).
On dit alors que P est divisible par x−a.
Propriété 3 : Division euclidienne par x−a
Pour tout polynôme P de degré n≥1 et tout réel a, il existe un unique polynôme Q de degré n−1 tel que, pour tout réel x,
P(x)=(x−a)Q(x)+P(a).Q est le quotient et P(a) le reste de la division euclidienne de P par x−a.
3. Méthodes de calcul du quotient
Méthode
Identification. On écrit Q(x)=bx2+cx+d (pour degP=3), on développe (x−a)Q(x) et on identifie les coefficients avec ceux de P.
Méthode de Horner. On dispose les coefficients de P sur une ligne ; on abaisse le premier, puis chaque nouveau coefficient s’obtient en ajoutant au coefficient de P le produit de a par le résultat précédent. Le dernier nombre est le reste P(a).
Exemple 4
Diviser P(x)=2x3−3x2−11x+6 par x−3.
Voir la solution
Schéma de Horner avec a=3 :
2
−3
−11
6
3
6
9
−6
2
3
−2
0
Le reste est nul : P(x)=(x−3)(2x2+3x−2).
Application 2
On considère le polynôme P(x)=x3+x2−4x+m, où m est un réel.
Déterminer m pour que P soit divisible par x+2.
Pour cette valeur de m, déterminer le quotient Q par identification.
Voir la solution
P(−2)=−8+4+8+m=m+4 ; P est divisible par x+2 si et seulement si m=−4.
P(x)=x3+x2−4x−4=(x+2)(bx2+cx+d)=bx3+(2b+c)x2+(2c+d)x+2d. Par identification : b=1, c=−1, d=−2. Donc Q(x)=x2−x−2.
III. Factorisation d’un polynôme
1. Principe
Propriété 4
Si a et b sont deux racines distinctes de P, alors P est divisible par (x−a)(x−b).
Méthode
Pour factoriser un polynôme : on cherche une racine « évidente » (parmi 0, 1, −1, 2, −2, 21…), on divise par x−a, puis on recommence avec le quotient, ou on utilise les identités remarquables.
2. Exemple complet
Application 3
On considère le polynôme P(x)=x3−2x2−5x+6.
Vérifier que 1 et −2 sont des racines de P.
En déduire une factorisation de P(x) en produit de trois binômes.
Voir la solution
P(1)=0 (exemple 3) et P(−2)=−8−8+10+6=0.
P est divisible par (x−1)(x+2)=x2+x−2 ; comme degP=3, P(x)=(x2+x−2)(ax+b). Les coefficients de x3 donnent a=1, les termes constants donnent −2b=6, b=−3. Donc
P(x)=(x−1)(x+2)(x−3).
Exemple 5
Factoriser le polynôme P(x)=x3−7x−6.
Voir la solution
P(−1)=−1+7−6=0 : −1 est une racine évidente. Horner avec a=−1 : 1 ; 0−1=−1 ; −7+1=−6 ; −6+6=0, donc P(x)=(x+1)(x2−x−6). Le quotient admet la racine 3 (9−3−6=0), et x2−x−6=(x−3)(x+2). Ainsi P(x)=(x+1)(x+2)(x−3).
À retenir — l’essentiel du chapitre
Deux polynômes sont égaux si et seulement s’ils ont les mêmes coefficients.
a est racine de P⟺P(a)=0⟺P(x)=(x−a)Q(x) avec degQ=degP−1.
Le reste de la division de P par x−a est P(a) ; quotient par identification ou par Horner.
Série d’exercices
Exercice 1 — Reconnaître un polynôme Facile★☆☆☆☆
On considère les fonctions définies sur R (ou sur R∗, ou sur R+ lorsque c’est nécessaire) par :
A(x)=2x4−5x+1;B(x)=x2+x3;C(x)=(2−x)3;D(x)=x3+∣x∣;E(x)=πx2−2x;F(x)=x−x.
Déterminer celles qui sont des polynômes, en précisant leur degré.
Voir la solution
A est un polynôme de degré 4.
C(x)=−x3+6x2−12x+8 est un polynôme de degré 3.
E est un polynôme de degré 2 (coefficients π et −21).
B, D et F ne sont pas des polynômes (présence de x1, de ∣x∣ et de x).
Exercice 2 — Égalité de polynômes Facile★☆☆☆☆
On considère les polynômes P(x)=3x3−4x2−5x+2 et Q(x)=(x+1)(x−2)(ax+b), où a et b sont des réels. Déterminer a et b pour que P=Q.
Voir la solution
(x+1)(x−2)=x2−x−2, donc Q(x)=(x2−x−2)(ax+b)=ax3+(b−a)x2+(−2a−b)x−2b.
Par identification : a=3 ; b−a=−4 donc b=−1 ; on vérifie −2a−b=−6+1=−5 et −2b=2. Donc a=3 et b=−1.
Exercice 3 — Racine et factorisation Facile★☆☆☆☆
On considère le polynôme P(x)=3x2+5x−2.
Vérifier que 31 est une racine de P.
Déterminer le polynôme Q tel que P(x)=(x−31)Q(x).
En déduire l’autre racine de P.
Voir la solution
1)P(31)=31+35−2=0.
2)Q est de degré 1 : Q(x)=ax+b, et (x−31)(ax+b)=ax2+(b−3a)x−3b. Par identification : a=3, −3b=−2 donc b=6 (et 6−1=5). Q(x)=3x+6.
3)P(x)=(x−31)(3x+6) ; l’autre racine est −2.
Exercice 4 — Divisibilité Facile★☆☆☆☆
On considère le polynôme Q(x)=x3−4x+3.
Calculer Q(1). Le polynôme Q est-il divisible par x−1 ?
Déterminer, par identification, le quotient et le reste de la division euclidienne de P(x) par x−a dans chacun des cas :
a) P(x)=x3+2x2−x+5 et a=−2.
b) P(x)=2x3−x2+4x−1 et a=21.
c) P(x)=x3−5x+1 et a=2.
À l’aide de la méthode de Horner, déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de P(x) par x−a dans chacun des cas :
a) P(x)=3x3−4x2+x−5 et a=2.
b) P(x)=x4−2x3+3x−10 et a=−2.
c) P(x)=2x4+x3−3x+7 et a=−1.
Voir la solution
1) On écrit P(x)=(x−a)(x2+px+q)+r (avec le coefficient dominant convenable) et on identifie.
a)P(x)=(x+2)(x2−1)+7 : quotient x2−1, reste 7=P(−2).
b)P(x)=(x−21)(2x2+4)+1 : quotient 2x2+4, reste 1.
c)P(x)=(x−2)(x2+2x−1)−1 : quotient x2+2x−1, reste −1.
2) a)
3
−4
1
−5
2
6
4
10
3
2
5
5
Quotient 3x2+2x+5, reste 5.
b)
1
−2
0
3
−10
−2
−2
8
−16
26
1
−4
8
−13
16
Quotient x3−4x2+8x−13, reste 16.
c)
2
1
0
−3
7
−1
−2
1
−1
4
2
−1
1
−4
11
Quotient 2x3−x2+x−4, reste 11.
Exercice 7 — Polynôme à paramètre Moyen★★★☆☆
On considère le polynôme P(x)=x3−x2+(m−5)x+3, où m est un réel.
Déterminer m pour que −1 soit une racine de P.
Déterminer m pour que P soit divisible par x−1.
On suppose que m=2.
a) Déterminer le polynôme Q tel que P(x)=(x−1)Q(x).
b) Vérifier que 3 est une racine de Q, puis factoriser P(x).
Voir la solution
1)P(−1)=−1−1−(m−5)+3=6−m : −1 est racine si et seulement si m=6.
2)P(1)=1−1+m−5+3=m−2 : P est divisible par x−1 si et seulement si m=2.
3) a)P(x)=x3−x2−3x+3=x2(x−1)−3(x−1)=(x−1)(x2−3), donc Q(x)=x2−3.
b)Q(3)=3−3=0. P(x)=(x−1)(x−3)(x+3).
Exercice 8 — Factorisation Facile★★☆☆☆
On considère le polynôme P(x)=2x3+3x2−11x−6.
Montrer que −3 est une racine de P.
Déterminer le polynôme Q tel que P(x)=(x+3)Q(x).
Montrer que Q est divisible par x−2.
Factoriser Q(x).
En déduire une factorisation de P(x) en produit de trois binômes.
Voir la solution
1)P(−3)=−54+27+33−6=0.
2) Horner avec a=−3 : coefficients 2 ; 3−6=−3 ; −11+9=−2 ; −6+6=0. Donc Q(x)=2x2−3x−2.
3)Q(2)=8−6−2=0 : Q est divisible par x−2.
4)Q(x)=(x−2)(2x+1) (identification : (x−2)(2x+c)=2x2+(c−4)x−2c avec c=1).
5)P(x)=(x+3)(x−2)(2x+1).
Exercice 9 — Polynôme symétrique Difficile★★★★☆
On considère le polynôme P(x)=6x4−35x3+62x2−35x+6.
Montrer que 0 n’est pas une racine de P.
Montrer que, pour tout réel non nul α : P(α1)=α4P(α). En déduire que, si α est une racine de P, alors α1 est aussi une racine de P.
a) Montrer que 2 est une racine de P.
b) Déterminer le polynôme Q tel que P(x)=(x−2)Q(x).
c) En déduire que Q(21)=0.
a) Déterminer, par deux méthodes, les réels a, b et c tels que Q(x)=(x−21)(ax2+bx+c).
b) En déduire une factorisation de P(x) en produit de quatre binômes.
Voir la solution
1)P(0)=6=0.
2) Pour α=0 :
P(α1)=α46−α335+α262−α35+6=α46−35α+62α2−35α3+6α4=α4P(α).
Si α est une racine (α=0 d’après 1)), alors P(α1)=0.
3) a)P(2)=96−280+248−70+6=0.
b) Horner avec a=2 : 6 ; −35+12=−23 ; 62−46=16 ; −35+32=−3 ; 6−6=0. Donc Q(x)=6x3−23x2+16x−3.
c)21 est racine de P d’après 2), et P(21)=(21−2)Q(21) avec 21−2=0 : donc Q(21)=0.
Horner avec a=21 : 6 ; −23+3=−20 ; 16−10=6 ; −3+3=0. Même résultat : a=6, b=−20, c=6.
b)6x2−20x+6=2(3x2−10x+3) ; 3 en est une racine (27−30+3=0), et 3x2−10x+3=(x−3)(3x−1). Ainsi
P(x)=(x−2)(x−21)×2(x−3)(3x−1)=(x−2)(2x−1)(x−3)(3x−1).
Exercice 10 — Sommes télescopiques Difficile★★★★☆
On considère un polynôme P et un entier naturel non nul n.
Vérifier que (P(2)−P(1))+(P(3)−P(2))+⋯+(P(n+1)−P(n))=P(n+1)−P(1).
a) Déterminer le polynôme Q de degré 2 tel que Q(0)=0 et, pour tout réel x, Q(x+1)−Q(x)=x.
b) En déduire que 1+2+⋯+n=Q(n+1)−Q(1)=2n(n+1).
c) En déduire la valeur de 1+2+⋯+100.
Voir la solution
1) Dans la somme, chaque terme P(k) pour 2≤k≤n apparaît une fois avec le signe + et une fois avec le signe − ; il reste P(n+1)−P(1).
2) a)Q(0)=0 et degQ=2 : Q(x)=ax2+bx. Alors Q(x+1)−Q(x)=a(2x+1)+b=2ax+a+b. Par identification avec x : 2a=1 et a+b=0, soit a=21, b=−21 : Q(x)=2x2−x=2x(x−1).
On admet que, si un polynôme P de degré 3 et de coefficient dominant 1 admet trois racines distinctes α, β et γ, alors P(x)=(x−α)(x−β)(x−γ) pour tout réel x.
On considère le polynôme P(x)=x3−6x2+11x−6, dont on admet qu’il a trois racines distinctes α, β, γ. Sans calculer ces racines, montrer que α+β+γ=6, αβ+βγ+γα=11 et αβγ=6, puis en déduire la valeur de α2+β2+γ2.
Voir la solution
Pour tout réel x :
(x−α)(x−β)(x−γ)=x3−(α+β+γ)x2+(αβ+βγ+γα)x−αβγ.
Ce polynôme est égal à P(x)=x3−6x2+11x−6 ; par identification des coefficients : α+β+γ=6, αβ+βγ+γα=11 et αβγ=6.