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Chapitre 4 — Ensembles de nombres

Semestre 1

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Cours

Plan du chapitre. I. Les ensembles de nombres — II. Opérations dans $\mathbb{R}$ — III. Puissances et écriture scientifique — IV. Racines carrées.

I. Les ensembles de nombres

1. Les entiers naturels et les entiers relatifs

Définition 1 : $\mathbb{N}$ et $\mathbb{Z}$

L’ensemble des entiers naturels est $\mathbb{N}=\{0;1;2;3;\ldots\}$ (chapitre 01).
Les entiers naturels et leurs opposés forment l’ensemble des entiers relatifs, noté $\mathbb{Z}$ : $\mathbb{Z}=\{\ldots;-3;-2;-1;0;1;2;3;\ldots\}.$
On note $\mathbb{Z}^*$ l’ensemble des entiers relatifs non nuls.

Exemple 1

Préciser si chacun des nombres $-7$ , $\dfrac{-18}{6}$ et $\dfrac52$ appartient à $\mathbb{N}$ et à $\mathbb{Z}$ .

Voir la solution

$-7\in\mathbb{Z}$ mais $-7\notin\mathbb{N}$ ; $\ \dfrac{-18}{6}=-3\in\mathbb{Z}$ ; $\ \dfrac52\notin\mathbb{Z}$ .

2. Les nombres décimaux

Définition 2 : $\mathbb{D}$

Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire sous la forme $\dfrac{a}{10^n}$ , où $a\in\mathbb{Z}$ et $n\in\mathbb{N}$ . L’ensemble des nombres décimaux est noté $\mathbb{D}$ .

Exemple 2

Montrer que $-3{,}25$ et $\dfrac38$ sont des nombres décimaux, et justifier que $\dfrac13\notin\mathbb{D}$ .

Voir la solution

$-3{,}25=\dfrac{-325}{10^2}\in\mathbb{D}$ ; $\ \dfrac38=\dfrac{375}{1000}=\dfrac{375}{10^3}\in\mathbb{D}$ .
$\dfrac13\notin\mathbb{D}$ : son écriture décimale $0{,}333\ldots$ ne s’arrête pas.

Remarque

Une fraction irréductible $\dfrac ab$ (avec $a\in\mathbb{Z}$ et $b\in\mathbb{N}^*$ ) est un nombre décimal si et seulement si la décomposition de $b$ en facteurs premiers ne contient que des $2$ et des $5$ . Par exemple $\dfrac{7}{40}=\dfrac{7}{2^3\times5}\in\mathbb{D}$ , mais $\dfrac{5}{12}=\dfrac{5}{2^2\times3}\notin\mathbb{D}$ .

3. Les nombres rationnels

Définition 3 : $\mathbb{Q}$

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme $\dfrac ab$ , où $a\in\mathbb{Z}$ et $b\in\mathbb{Z}^*$ . L’ensemble des nombres rationnels est noté $\mathbb{Q}$ .

Exemple 3

Montrer que les nombres $\dfrac{-2}{7}$ , $0{,}6$ , $4$ et $\sqrt{\dfrac{9}{16}}$ sont rationnels.

Voir la solution

$\dfrac{-2}{7}\in\mathbb{Q}$ ; $\ 0{,}6=\dfrac35\in\mathbb{Q}$ ; $\ 4=\dfrac41\in\mathbb{Q}$ ; $\ \sqrt{\dfrac{9}{16}}=\dfrac34\in\mathbb{Q}$ .

4. Les nombres réels

Définition 4 : $\mathbb{R}$

Tous les nombres rencontrés jusqu’ici (abscisses des points d’une droite graduée) forment l’ensemble des nombres réels, noté $\mathbb{R}$ . Un réel qui n’est pas rationnel est dit irrationnel.

Exemple 4

On admet que $\sqrt2$ , $\sqrt3$ , $\sqrt5$ et $\pi$ sont des nombres irrationnels : $\sqrt2\in\mathbb{R}$ mais $\sqrt2\notin\mathbb{Q}$ .

5. Inclusions entre ces ensembles

Définition 5 : Inclusion

On considère deux ensembles $E$ et $F$ . On dit que $E$ est inclus dans $F$ , et on note $E\subset F$ , si tout élément de $E$ est un élément de $F$ . Sinon, on note $E\not\subset F$ .

Propriété 1

$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}.$

Remarque

Ces inclusions sont strictes : $-1\in\mathbb{Z}$ et $-1\notin\mathbb{N}$ ; $\ 0{,}5\in\mathbb{D}$ et $0{,}5\notin\mathbb{Z}$ ; $\ \frac13\in\mathbb{Q}$ et $\frac13\notin\mathbb{D}$ ; $\ \sqrt2\in\mathbb{R}$ et $\sqrt2\notin\mathbb{Q}$ .
On note $\mathbb{R}^*$ l’ensemble des réels non nuls, $\mathbb{R}_+$ celui des réels positifs ou nuls et $\mathbb{R}_+^*$ celui des réels strictement positifs.

Application 1

Compléter par $\in$ ou $\notin$ : $\ -4\ \ldots\ \mathbb{N}$ ; $\ \dfrac{21}{7}\ \ldots\ \mathbb{N}$ ; $\ \dfrac{1}{4}\ \ldots\ \mathbb{D}$ ; $\ \dfrac{2}{3}\ \ldots\ \mathbb{D}$ ; $\ \sqrt{25}\ \ldots\ \mathbb{Z}$ ; $\ \pi\ \ldots\ \mathbb{Q}$ .

Voir la solution

$-4\notin\mathbb{N}$ ; $\ \dfrac{21}{7}=3\in\mathbb{N}$ ; $\ \dfrac14=0{,}25\in\mathbb{D}$ ; $\ \dfrac23\notin\mathbb{D}$ (dénominateur $3$ ) ; $\ \sqrt{25}=5\in\mathbb{Z}$ ; $\ \pi\notin\mathbb{Q}$ .

II. Opérations dans $\mathbb{R}$

1. Propriétés de l’addition et de la multiplication

Propriété 2

Pour tous réels $a$ , $b$ et $c$ :

$a+b=b+a$ et $ab=ba$ (commutativité) ;
$(a+b)+c=a+(b+c)$ et $(ab)c=a(bc)$ (associativité) ;
$a+0=a$ , $\ a\times1=a$ , $\ a+(-a)=0$ et, si $a\neq0$ , $a\times\dfrac1a=1$ ;
$a(b+c)=ab+ac$ (distributivité) ;
$ab=0$ si et seulement si $a=0$ ou $b=0$ .

2. Calculs sur les fractions

Propriété 3

Pour tous réels $a$ , $c$ et tous réels non nuls $b$ , $d$ : $\frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd}\ ;\qquad\frac ab\times\frac cd=\frac{ac}{bd}\ ;\qquad\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\iff ad=bc.$ Si de plus $c\neq0$ : $\ \dfrac{\;\frac ab\;}{\;\frac cd\;}=\dfrac ab\times\dfrac dc=\dfrac{ad}{bc}$ .

Exemple 5

Calculer $A=\dfrac56-\dfrac34\times\dfrac{2}{9}$ et $B=\dfrac{\;1-\frac25\;}{\;\frac{3}{10}\;}$ .

Voir la solution

$A=\dfrac56-\dfrac{6}{36}=\dfrac56-\dfrac16=\dfrac46=\dfrac23$ .

$B=\dfrac{3}{5}\times\dfrac{10}{3}=2$ .

3. Identités remarquables

Propriété 4

Pour tous réels $a$ et $b$ :

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ ; $\ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ ; $\ (a-b)(a+b)=a^2-b^2$ ;
$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ ; $\ (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$ ;
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ ; $\ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ .

Voir la solution

Démonstration de la quatrième identité. $(a+b)^3=(a+b)(a+b)^2=(a+b)(a^2+2ab+b^2)=a^3+2a^2b+ab^2+a^2b+2ab^2+b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.$

Exemple 6

On considère un réel $x$ .

Développer $(2x-3)^2$ et $(x+2)^3$ .
Factoriser $9x^2-25$ et $x^3-8$ .

Voir la solution

$(2x-3)^2=4x^2-12x+9$ ; $\ (x+2)^3=x^3+6x^2+12x+8$ .
$9x^2-25=(3x-5)(3x+5)$ ; $\ x^3-8=x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4)$ .

Application 2

On considère deux réels $a$ et $b$ tels que $a+b=5$ et $ab=3$ . Calculer $a^2+b^2$ et $a^3+b^3$ .

Voir la solution

$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=25-6=19$ .

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=5\times(19-3)=80$ .

III. Puissances et écriture scientifique

1. Puissance d’un réel

Définition 6

On considère un réel $a$ et un entier naturel non nul $n$ .

$a^n=\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{n\ \text{facteurs}}$ , et $a^0=1$ si $a\neq0$ .
Si $a\neq0$ : $\ a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$ .

Propriété 5

Pour tous réels non nuls $a$ , $b$ et tous entiers relatifs $m$ , $n$ : $a^m\times a^n=a^{m+n}\ ;\quad\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\ ;\quad(a^m)^n=a^{mn}\ ;\quad(ab)^n=a^nb^n\ ;\quad\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}.$

Remarque

$(-1)^n=1$ si $n$ est pair et $(-1)^n=-1$ si $n$ est impair.
En général, $(a+b)^n\neq a^n+b^n$ : par exemple $(1+1)^2=4$ et $1^2+1^2=2$ .

Exemple 7

Simplifier $A=\dfrac{2^5\times3^{-2}\times6^3}{4^3\times3}$ .

Voir la solution

$6^3=2^3\times3^3$ et $4^3=2^6$ , donc $A=\dfrac{2^{5+3}\times3^{-2+3}}{2^6\times3}=2^{8-6}\times3^{1-1}=2^2=4$ .

2. Écriture scientifique

Définition 7

Tout nombre décimal non nul $x$ s’écrit de manière unique sous la forme $x=a\times10^p,$ où $p\in\mathbb{Z}$ et $a$ est un nombre décimal ayant un seul chiffre non nul avant la virgule (au signe près). Cette écriture est l’écriture scientifique de $x$ .

Exemple 8

Donner l’écriture scientifique des nombres $45\,600$ , $0{,}000\,72$ et $-305$ .
Calculer $\dfrac{1{,}2\times10^{5}\times5\times10^{-2}}{3\times10^{-4}}$ et donner le résultat en écriture scientifique.

Voir la solution

$45\,600=4{,}56\times10^4$ ; $\ 0{,}000\,72=7{,}2\times10^{-4}$ ; $\ -305=-3{,}05\times10^2$ .
$\dfrac{1{,}2\times10^{5}\times5\times10^{-2}}{3\times10^{-4}}=\dfrac{6\times10^{3}}{3\times10^{-4}}=2\times10^{7}$ .

IV. Racines carrées

1. Définition

Définition 8

On considère un réel positif $a$ . La racine carrée de $a$ est l’unique réel positif dont le carré est égal à $a$ ; on la note $\sqrt a$ . $\big(\sqrt a\big)^2=a\qquad\text{et}\qquad\sqrt a\ \text{est positif}.$

Exemple 9

Calculer $\sqrt{49}$ , $\sqrt0$ , $\sqrt{0{,}09}$ et $\sqrt{(-5)^2}$ .

Voir la solution

$\sqrt{49}=7$ ; $\ \sqrt0=0$ ; $\ \sqrt{0{,}09}=0{,}3$ ; $\ \sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5$ .

Attention

Pour un réel $x$ quelconque, $\sqrt{x^2}=x$ si $x$ est positif, et $\sqrt{x^2}=-x$ si $x$ est négatif. Par exemple $\sqrt{(-5)^2}=5=-(-5)$ .

2. Propriétés

Propriété 6

Pour tous réels positifs $a$ et $b$ : $\sqrt{ab}=\sqrt a\times\sqrt b\ ;\qquad\text{si } b\neq0,\ \ \sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}.$

Attention

En général, $\sqrt{a+b}\neq\sqrt a+\sqrt b$ : par exemple $\sqrt{9+16}=5$ alors que $\sqrt9+\sqrt{16}=7$ .

Exemple 10

Simplifier $\sqrt{72}$ et $C=3\sqrt{20}-\sqrt{45}+\sqrt{80}$ .

Voir la solution

$\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=6\sqrt2$ .

$\sqrt{20}=2\sqrt5$ , $\ \sqrt{45}=3\sqrt5$ , $\ \sqrt{80}=4\sqrt5$ ; donc $C=6\sqrt5-3\sqrt5+4\sqrt5=7\sqrt5$ .

3. Expression conjuguée

Méthode

On considère deux réels positifs $a$ et $b$ tels que $a\neq b$ . Pour supprimer la racine d’un dénominateur de la forme $\sqrt a-\sqrt b$ , on multiplie numérateur et dénominateur par l’expression conjuguée $\sqrt a+\sqrt b$ , car $\big(\sqrt a-\sqrt b\big)\big(\sqrt a+\sqrt b\big)=a-b.$

Exemple 11

Écrire sans radical au dénominateur : $\ \dfrac{6}{\sqrt3}$ et $\ \dfrac{2}{\sqrt5-1}$ .

Voir la solution

$\dfrac{6}{\sqrt3}=\dfrac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3$ .

$\dfrac{2}{\sqrt5-1}=\dfrac{2(\sqrt5+1)}{(\sqrt5-1)(\sqrt5+1)}=\dfrac{2(\sqrt5+1)}{5-1}=\dfrac{\sqrt5+1}{2}$ .

Application 3

On pose $x=\sqrt3+\sqrt2$ et $y=\sqrt3-\sqrt2$ .

Calculer $xy$ , $x^2$ et $y^2$ .
En déduire que $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=10$ .

Voir la solution

$xy=3-2=1$ ; $\ x^2=3+2\sqrt6+2=5+2\sqrt6$ ; $\ y^2=5-2\sqrt6$ .
$\dfrac xy+\dfrac yx=\dfrac{x^2+y^2}{xy}=\dfrac{10}{1}=10$ .

À retenir — l’essentiel du chapitre

$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ ; $\ \mathbb{D}$ : $\frac{a}{10^n}$ ; $\ \mathbb{Q}$ : $\frac ab$ ; $\sqrt2$ et $\pi$ sont irrationnels.
Identités : $(a\pm b)^2$ , $(a-b)(a+b)$ , $(a\pm b)^3$ , $a^3\pm b^3$ .
Puissances : $a^ma^n=a^{m+n}$ , $(a^m)^n=a^{mn}$ , $a^{-n}=\frac1{a^n}$ ; écriture scientifique $a\times10^p$ .
$\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b$ (avec $a$ , $b$ positifs) ; conjugué : $(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)=a-b$ .

Série d’exercices

Exercice 1 — Ensembles de nombres Facile ★☆☆☆☆

Compléter par $\in$ $\in$ ou $\notin$ $\in /$ :
- $-9\ \ldots\ \mathbb{N}$ ; $\ 7{,}2\ \ldots\ \mathbb{Z}$ ; $\ \dfrac{7}{20}\ \ldots\ \mathbb{D}$ ; $\ \dfrac{-14}{7}\ \ldots\ \mathbb{Z}$ ;
- $\dfrac56\ \ldots\ \mathbb{D}$ ; $\ \sqrt{36}\ \ldots\ \mathbb{N}$ ; $\ \sqrt8\ \ldots\ \mathbb{Q}$ ; $\ 0\ \ldots\ \mathbb{Q}$ .
On considère les nombres suivants : $\frac{13}{40}\ ;\quad\frac29\ ;\quad\frac{-21}{35}\ ;\quad\frac{\sqrt{12}}{\sqrt3}\ ;\quad1+\sqrt2\ ;\quad\frac{22}{7}\ ;\quad\frac{\sqrt{50}}{2}\ ;\quad\frac{5}{2^3\times7}.$ a) Déterminer ceux qui sont des nombres décimaux. b) Déterminer ceux qui sont rationnels mais non décimaux. c) Déterminer ceux qui sont irrationnels.

Voir la solution

$-9\notin\mathbb{N}$ ; $\ 7{,}2\notin\mathbb{Z}$ ; $\ \dfrac7{20}=\dfrac{35}{100}=0{,}35\in\mathbb{D}$ ; $\ \dfrac{-14}{7}=-2\in\mathbb{Z}$ ;
$\dfrac56\notin\mathbb{D}$ (dénominateur $6=2\times3$ ) ; $\ \sqrt{36}=6\in\mathbb{N}$ ; $\ \sqrt8=2\sqrt2\notin\mathbb{Q}$ ; $\ 0\in\mathbb{Q}$ .

2) On simplifie d’abord :

$\dfrac{13}{40}=\dfrac{325}{1000}=0{,}325$ ; $\ \dfrac{-21}{35}=\dfrac{-3}{5}=-0{,}6$ ; $\ \dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt3}=\sqrt{\dfrac{12}{3}}=\sqrt4=2$ ;
$\dfrac{\sqrt{50}}{2}=\dfrac{5\sqrt2}{2}$ ; $\ \dfrac{5}{2^3\times7}=\dfrac5{56}$ .

a) Décimaux : $\dfrac{13}{40}$ ; $\dfrac{-21}{35}$ ; $\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt3}$ .

b) Rationnels non décimaux (fractions irréductibles dont le dénominateur contient un facteur premier autre que $2$ et $5$ ) : $\dfrac29$ ; $\dfrac{22}7$ ; $\dfrac{5}{2^3\times7}$ .

c) Irrationnels : $1+\sqrt2$ et $\dfrac{5\sqrt2}{2}$ (si $1+\sqrt2$ était rationnel, $\sqrt2=(1+\sqrt2)-1$ le serait aussi).

Exercice 2 — Calcul dans $\mathbb{R}$ Facile ★☆☆☆☆

Calculer et simplifier : $A=\frac34-\frac56+\frac13\ ;\qquad B=\frac{\frac23+\frac12}{\frac74-\frac13}\ ;\qquad C=1-\frac{1}{1+\frac12}.$
On considère un réel $x$ . Développer et réduire : $E=(3x-1)^2-(x+2)(x-2)\ ;\qquad F=(x+1)^3-x^3.$
On considère un réel $x$ . Factoriser : $G=4x^2-12x+9\ ;\qquad H=(x+1)^2-9\ ;\qquad K=x^3+27.$

Voir la solution

1) $A=\dfrac{9}{12}-\dfrac{10}{12}+\dfrac{4}{12}=\dfrac{3}{12}=\dfrac14$ .

$B=\dfrac{\frac76}{\frac{17}{12}}=\dfrac76\times\dfrac{12}{17}=\dfrac{14}{17}$ .

$C=1-\dfrac{1}{\frac32}=1-\dfrac23=\dfrac13$ .

2) $E=9x^2-6x+1-(x^2-4)=8x^2-6x+5$ .

$F=x^3+3x^2+3x+1-x^3=3x^2+3x+1$ .

3) $G=(2x)^2-2\times2x\times3+3^2=(2x-3)^2$ .

$H=(x+1)^2-3^2=(x+1-3)(x+1+3)=(x-2)(x+4)$ .

$K=x^3+3^3=(x+3)(x^2-3x+9)$ .

Exercice 3 — Identités remarquables Facile ★★☆☆☆

On considère des réels $a$ , $b$ , $x$ , $y$ et $z$ .

Développer et réduire $(a-2b)^3$ et $(a+b)(a^2-ab+b^2)$ .
Démontrer les identités suivantes :
- $(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$ ;
- $(a^2+b^2)^2-4a^2b^2=(a-b)^2(a+b)^2$ .
On suppose que $x+y+z=0$ . a) Développer $(x+y)^3$ , puis montrer que $x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)$ . b) En déduire que $x^3+y^3+z^3=3xyz$ .

Voir la solution

1) $(a-2b)^3=a^3-3a^2(2b)+3a(2b)^2-(2b)^3=a^3-6a^2b+12ab^2-8b^3$ .

$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3=a^3+b^3$ .

$(a+b)^2-(a-b)^2=(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)=4ab$ .
$(a^2+b^2)^2-(2ab)^2=(a^2+b^2-2ab)(a^2+b^2+2ab)=(a-b)^2(a+b)^2$ .

3) a) $(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3=x^3+y^3+3xy(x+y)$ , donc $x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y).$

b) Comme $x+y+z=0$ , on a $x+y=-z$ . D’après a) : $x^3+y^3=(-z)^3-3xy(-z)=-z^3+3xyz,$ donc $x^3+y^3+z^3=3xyz$ .

Exercice 4 — Puissances, écriture scientifique Facile ★★☆☆☆

Donner l’écriture scientifique des nombres suivants :
- $a=52\,000\times300$ ; $\ b=0{,}0004\times0{,}006$ ;
- $c=4{,}5\times10^{-3}\times2\times10^{5}$ ; $\ d=\dfrac{6\times10^4}{1{,}5\times10^{-2}}$ .
On considère deux réels non nuls $x$ et $y$ . Simplifier : $P=\frac{(x^2y^3)^2}{x^3y^4}\ ;\qquad Q=\frac{(2x^{-1}y)^3\times x^4}{4y^2}\ ;\qquad R=\frac{3^5\times2^{-3}}{9^2\times6^{-1}}.$
On considère deux réels non nuls $a$ et $b$ , et $E=(a^3b^{-2})^2\times(a^{-2}b)^3$ . a) Simplifier $E$ . b) Donner l’écriture scientifique de $E$ pour $a=7$ et $b=0{,}000\,25$ .

Voir la solution

$a=52\times10^3\times3\times10^2=156\times10^5=1{,}56\times10^7$ .
$b=4\times10^{-4}\times6\times10^{-3}=24\times10^{-7}=2{,}4\times10^{-6}$ .
$c=9\times10^{2}$ .
$d=\dfrac{6}{1{,}5}\times10^{4-(-2)}=4\times10^{6}$ .

2) $P=\dfrac{x^4y^6}{x^3y^4}=xy^2$ .

$Q=\dfrac{8x^{-3}y^3\times x^4}{4y^2}=2x^{-3+4}y^{3-2}=2xy$ .

$R=\dfrac{3^5\times2^{-3}\times6}{3^4}=3\times\dfrac{6}{8}=\dfrac94$ .

3) a) $E=a^6b^{-4}\times a^{-6}b^3=a^0b^{-1}=\dfrac1b$ .

b) $E=\dfrac{1}{2{,}5\times10^{-4}}=\dfrac{1}{2{,}5}\times10^{4}=0{,}4\times10^4=4\times10^3$ (la valeur de $a$ n’intervient pas).

Exercice 5 — Racines carrées Facile ★★☆☆☆

Simplifier : $A=\sqrt{48}-2\sqrt{27}+\sqrt{75}\ ;\qquad B=\big(2\sqrt3-1\big)^2\ ;\qquad C=\frac{1}{\sqrt7-2}+\frac{1}{\sqrt7+2}.$
Montrer que $\big(1+\sqrt2\big)^3=7+5\sqrt2$ .

Voir la solution

1) $\sqrt{48}=4\sqrt3$ , $\ \sqrt{27}=3\sqrt3$ , $\ \sqrt{75}=5\sqrt3$ , donc $A=4\sqrt3-6\sqrt3+5\sqrt3=3\sqrt3$ .

$B=(2\sqrt3)^2-2\times2\sqrt3+1=12-4\sqrt3+1=13-4\sqrt3$ .

$C=\dfrac{(\sqrt7+2)+(\sqrt7-2)}{(\sqrt7-2)(\sqrt7+2)}=\dfrac{2\sqrt7}{7-4}=\dfrac{2\sqrt7}{3}$ .

2) $(1+\sqrt2)^3=1+3\sqrt2+3\big(\sqrt2\big)^2+\big(\sqrt2\big)^3=1+3\sqrt2+6+2\sqrt2=7+5\sqrt2$ .

Exercice 6 — Racines carrées imbriquées Moyen ★★★☆☆

Développer $\big(2+\sqrt3\big)^2$ et $\big(2-\sqrt3\big)^2$ .
En déduire que $\sqrt{7+4\sqrt3}=2+\sqrt3$ et que $\sqrt{7-4\sqrt3}=2-\sqrt3$ .
En déduire la valeur des nombres $A=\sqrt{7+4\sqrt3}-\sqrt{7-4\sqrt3}\qquad\text{et}\qquad B=\sqrt{7+4\sqrt3}\times\sqrt{7-4\sqrt3}.$

Voir la solution

1) $(2+\sqrt3)^2=4+4\sqrt3+3=7+4\sqrt3$ ; $\ (2-\sqrt3)^2=7-4\sqrt3$ .

2) $2+\sqrt3$ est positif et son carré vaut $7+4\sqrt3$ : par définition de la racine carrée, $\sqrt{7+4\sqrt3}=2+\sqrt3$ .

Comme $3<4$ , on a $\sqrt3<2$ , donc $2-\sqrt3$ est positif ; son carré vaut $7-4\sqrt3$ , donc $\sqrt{7-4\sqrt3}=2-\sqrt3$ .

3) $A=(2+\sqrt3)-(2-\sqrt3)=2\sqrt3$ ; $\ B=(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)=4-3=1$ .

Exercice 7 — Approfondissement Difficile ★★★★☆

On considère un entier naturel $n$ . Montrer que les nombres $\big(\sqrt5-2\big)^n$ et $\big(\sqrt5+2\big)^n$ sont inverses l’un de l’autre.
On considère deux réels non nuls $a$ et $b$ tels que $\dfrac ab+\dfrac ba=3$ . a) Montrer que $\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2}=7$ . b) Calculer $\dfrac{a^3}{b^3}+\dfrac{b^3}{a^3}$ .
On considère trois réels $x$ , $y$ et $z$ tels que $xyz=1$ et tels que $1+x+xy$ , $1+y+yz$ et $1+z+zx$ soient non nuls. Montrer que $\frac{1}{1+x+xy}+\frac{1}{1+y+yz}+\frac{1}{1+z+zx}=1.$
On considère deux réels non nuls $a$ et $b$ tels que $a^2+b^2=4ab$ . a) Montrer que $(a+b)^2=6ab$ et que $(a-b)^2=2ab$ . b) En déduire que $a\neq b$ , puis déterminer les valeurs possibles de $\dfrac{a+b}{a-b}$ .

Voir la solution

1) $(\sqrt5-2)(\sqrt5+2)=5-4=1$ . Donc $\big(\sqrt5-2\big)^n\times\big(\sqrt5+2\big)^n=\big[(\sqrt5-2)(\sqrt5+2)\big]^n=1^n=1 :$ ces deux nombres sont inverses l’un de l’autre.

2) On pose $t=\dfrac ab$ ; alors $\dfrac ba=\dfrac1t$ et $t+\dfrac1t=3$ .

a) $t^2+\dfrac1{t^2}=\left(t+\dfrac1t\right)^2-2=9-2=7$ .

b) D’après l’identité $u^3+v^3=(u+v)(u^2-uv+v^2)$ avec $u=t$ , $v=\frac1t$ et $uv=1$ : $t^3+\frac1{t^3}=\left(t+\frac1t\right)\left(t^2+\frac1{t^2}-1\right)=3\times6=18.$

3) Comme $xyz=1$ , les réels $x$ , $y$ , $z$ sont non nuls. On transforme les deux dernières fractions pour qu’elles aient le dénominateur $1+x+xy$ :

en multipliant le numérateur et le dénominateur par $x$ : $\dfrac{1}{1+y+yz}=\dfrac{x}{x+xy+xyz}=\dfrac{x}{x+xy+1}$ ;
en multipliant par $xy$ : $\dfrac{1}{1+z+zx}=\dfrac{xy}{xy+xyz+x^2yz}=\dfrac{xy}{xy+1+x}$ (car $xyz=1$ et $x^2yz=x$ ).

Donc la somme vaut $\dfrac{1+x+xy}{1+x+xy}=1$ .

4) a) $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=4ab+2ab=6ab$ ; $\ (a-b)^2=a^2+b^2-2ab=2ab$ .

b) $a$ et $b$ sont non nuls, donc $ab\neq0$ et $(a-b)^2=2ab\neq0$ : ainsi $a\neq b$ . Alors $\left(\frac{a+b}{a-b}\right)^2=\frac{6ab}{2ab}=3,\qquad\text{donc}\qquad\frac{a+b}{a-b}=\sqrt3\ \ \text{ou}\ \ \frac{a+b}{a-b}=-\sqrt3.$ Les deux valeurs sont possibles : avec $b=1$ , $a=2+\sqrt3$ vérifie $a^2+1=7+4\sqrt3+1=8+4\sqrt3=4a$ et donne $\dfrac{3+\sqrt3}{1+\sqrt3}=\sqrt3$ ; avec $b=1$ et $a=2-\sqrt3$ , on obtient $-\sqrt3$ .

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20 questions tirées au hasard parmi 35.

Ton prénom (facultatif)

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Chapitre 4 — Ensembles de nombres

Cours

I. Les ensembles de nombres

1. Les entiers naturels et les entiers relatifs

2. Les nombres décimaux

3. Les nombres rationnels

4. Les nombres réels

5. Inclusions entre ces ensembles

II. Opérations dans R\mathbb{R}R

1. Propriétés de l’addition et de la multiplication

2. Calculs sur les fractions

3. Identités remarquables

III. Puissances et écriture scientifique

1. Puissance d’un réel

2. Écriture scientifique

IV. Racines carrées

1. Définition

2. Propriétés

3. Expression conjuguée

Série d’exercices

Exercice 1 — Ensembles de nombres Facile ★☆☆☆☆

Exercice 2 — Calcul dans R\mathbb{R}R Facile ★☆☆☆☆

Exercice 3 — Identités remarquables Facile ★★☆☆☆

Exercice 4 — Puissances, écriture scientifique Facile ★★☆☆☆

Exercice 5 — Racines carrées Facile ★★☆☆☆

Exercice 6 — Racines carrées imbriquées Moyen ★★★☆☆

Exercice 7 — Approfondissement Difficile ★★★★☆

Quiz — testez-vous

II. Opérations dans $\mathbb{R}$

Exercice 2 — Calcul dans $\mathbb{R}$ Facile ★☆☆☆☆