Plan du chapitre. I. Égalité de deux vecteurs, somme de deux vecteurs — II. Produit d’un vecteur par un réel — III. Colinéarité de deux vecteurs et applications — IV. Caractérisation vectorielle du milieu d’un segment.
Dans tout le chapitre, on travaille dans le plan ; les lettres k, k′, a, b, α, β, x désignent des nombres réels.
I. Égalité de deux vecteurs, somme de deux vecteurs
1. Notion de vecteur
Définition 1 : Vecteur
On considère deux points A et B distincts du plan. Le vecteurAB est caractérisé par :
sa direction : celle de la droite (AB) ;
son sens : de A vers B ;
sa norme (ou longueur) : la distance AB, notée ∥AB∥.
Le point A est l’origine et B l’extrémité du vecteur AB. Lorsque A=B, le vecteur AA est le vecteur nul, noté 0 ; il n’a ni direction ni sens, et sa norme vaut 0.
2. Égalité de deux vecteurs
Définition 2 : Vecteurs égaux
Deux vecteurs non nuls sont égaux s’ils ont la même direction, le même sens et la même norme.
On considère quatre points A, B, C et D :
AB=CD⟺ABDCest un paralleˊlogramme (eˊventuellement aplati).
Remarque
Un vecteur ne dépend pas de son origine : on le note souvent avec une seule lettre, u, v, … Si u=AB, on dit que AB est un représentant de u.
Pour tout point O et tout vecteur u, il existe un unique point M tel que OM=u.
Attention à l’ordre des lettres : AB=CD signifie que ABDC (et non ABCD) est un parallélogramme.
Exemple 1
On considère un parallélogramme EFGH. Citer deux égalités de vecteurs.
Voir la solution
EFGH est un parallélogramme, donc ses côtés opposés [EF] et [HG] sont parallèles, de même longueur et « dans le même sens » : EF=HG. De même, EH=FG.
3. Somme de deux vecteurs, relation de Chasles
Définition 3 : Somme de deux vecteurs
On considère deux vecteurs u et v, et un point A. On construit le point B tel que AB=u, puis le point C tel que BC=v. La sommeu+v est le vecteur AC.
Propriété 1 : Relation de Chasles
Pour tous points A, B et C du plan :
AB+BC=AC.
Propriété 2 : Règle du parallélogramme
On considère trois points A, B et D, et le point C tel que ABCD est un parallélogramme. Alors
AB+AD=AC.
Propriété 3 : Règles de calcul
Pour tous vecteurs u, v et w :
u+v=v+u (commutativité) ;
(u+v)+w=u+(v+w) (associativité) ;
u+0=u.
4. Opposé d’un vecteur, différence de deux vecteurs
Définition 4
L’opposé du vecteur u=AB est le vecteur BA, noté −u. On a u+(−u)=0, c’est-à-dire AB+BA=0.
La différence de u et v est le vecteur u−v=u+(−v).
Remarque
Pour tous points A, B et O : AB=AO+OB=OB−OA.
Cette écriture permet d’« introduire » n’importe quel point O dans un vecteur : c’est l’outil de base des démonstrations vectorielles.
Exemple 2
On considère quatre points A, B, C et D. Simplifier
w=AB−CB+CD−AD.
Voir la solution
On transforme les différences en sommes : −CB=BC et −AD=DA. Donc
w=AB+BC+CD+DA=AC+CA=AA=0.
Application 1
On considère cinq points A, B, C, D et E.
Simplifier u=DE+BC+AB+CD.
Montrer que AC+BD=AD+BC.
Voir la solution
On réordonne les termes pour enchaîner les lettres :
u=AB+BC+CD+DE=AE.
On introduit le point D dans AC :
AC+BD=AD+DC+BD=AD+BD+DC=AD+BC.
II. Produit d’un vecteur par un réel
1. Définition
Définition 5 : Produit ku
On considère un vecteur non nulu et un réel non nulk. Le vecteur ku est le vecteur :
de même direction que u ;
de même sens que u si k>0, de sens contraire si k<0 ;
de norme k×∥u∥ si k>0, et de norme (−k)×∥u∥ si k<0.
Par convention, 0×u=0 et k×0=0.
Exemple 3
On considère trois points A, B, C alignés tels que B est entre A et C, avec AB=2 et BC=4.
Exprimer AC et CB en fonction de AB.
Voir la solution
AC a le même sens que AB et AC=6=3×AB, donc AC=3AB.
CB est de sens contraire à AB et CB=4=2×AB, donc CB=−2AB.
2. Propriétés
Propriété 4
Pour tous vecteurs u, v et tous réels k, k′ :
k(u+v)=ku+kv ;
(k+k′)u=ku+k′u ;
k(k′u)=(kk′)u ;
1×u=u et (−1)×u=−u ;
ku=0⟺(k=0 ou u=0).
Remarque
Ces règles permettent de calculer avec les vecteurs comme avec les nombres : développer, réduire, factoriser. Mais on ne multiplie jamais deux vecteurs entre eux, et on ne divise jamais par un vecteur.
Exemple 4
On considère deux vecteurs u et v. Réduire
w=3(u−2v)−2(21u−4v).
Voir la solution
w=3u−6v−u+8v=2u+2v.
3. Construction du vecteur au+bv
Méthode
Pour construire, à partir d’un point O, le point W tel que OW=au+bv :
on construit le point M tel que OM=au ;
à partir de M, on construit le point W tel que MW=bv ;
d’après la relation de Chasles, OW=OM+MW=au+bv.
Exemple 5 : construction de 2u−v
On considère deux vecteurs u et v et un point O. Construire le point W tel que OW=2u−v.
Voir la solution
On place M tel que OM=2u, puis W tel que MW=−v. Alors OW=2u−v.
Application 2
On considère un triangle ABC et les points E et F définis par
AE=2AB+BCetBF=BA−AC.
Exprimer AE en fonction de AB et AC, puis construire le point E.
Exprimer AF en fonction de AB et AC.
En déduire que AE+AF=AB, puis montrer que A est le milieu de [CF].
Voir la solution
AE=2AB+BA+AC=2AB−AB+AC=AB+AC.
D’après la règle du parallélogramme, E est le quatrième sommet du parallélogramme ABEC.
AF=AB+BF=AB+BA−AC=−AC.
AE+AF=AB+AC−AC=AB.
De plus, AF=−AC=CA : les vecteurs CA et AF sont égaux, donc A est le milieu de [CF].
III. Colinéarité de deux vecteurs et applications
1. Vecteurs colinéaires
Définition 6 : Colinéarité
Deux vecteurs u et v sont colinéaires si l’un des deux est nul, ou s’il existe un réel k tel que u=kv.
Lorsque u et v sont non nuls, ils sont colinéaires exactement lorsqu’ils ont la même direction.
Exemple 6
On considère deux vecteurs u et v, et les vecteurs a=2u−3v et b=−4u+6v.
Montrer que les vecteurs a et b sont colinéaires.
Voir la solution
On a b=−2(2u−3v)=−2a : les vecteurs a et b sont colinéaires.
Remarque
Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
Si u=kv avec k=0, alors v=k1u : la relation est symétrique.
2. Parallélisme de deux droites
Propriété 5
On considère quatre points A, B, C et D, avec A=B et C=D.
(AB)∥(CD)⟺ABetCDsont colineˊaires.
3. Alignement de trois points
Propriété 6
On considère trois points A, B et C :
A,BetCsont aligneˊs⟺ABetACsont colineˊaires.
Méthode
Pour montrer que trois points (ou deux droites) vérifient une propriété d’alignement (ou de parallélisme) :
on exprime les vecteurs utiles en fonction de deux mêmes vecteurs de référence non colinéaires, par exemple AB et AC ;
on cherche un réel k tel que l’un des vecteurs soit égal à k fois l’autre ;
on conclut avec la propriété 5 ou 6.
Exemple 7
On considère un triangle ABC et les points M et N définis par
AM=31ABetAN=31AC.
Montrer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Voir la solution
MN=MA+AN=−31AB+31AC=31(BA+AC)=31BC.
Les vecteurs MN et BC sont colinéaires, donc (MN)∥(BC).
Application 3
On considère un parallélogramme ABCD et les points E et F définis par
AE=3ABetAF=23AD.
Exprimer CE et CF en fonction de AB et AD.
En déduire que les points C, E et F sont alignés.
Voir la solution
ABCD est un parallélogramme, donc AC=AB+AD et CA=−AB−AD.
CE=CA+AE=−AB−AD+3AB=2AB−AD.CF=CA+AF=−AB−AD+23AD=−AB+21AD.
On remarque que CE=−2(−AB+21AD)=−2CF.
Les vecteurs CE et CF sont colinéaires, donc C, E et F sont alignés.
4. Repère d’une droite
Propriété 7 : Abscisse d’un point sur une droite
On considère deux points distincts A et B. Un point M appartient à la droite (AB) si et seulement s’il existe un réel x tel que
AM=xAB.
Ce réel x est unique ; on l’appelle l’abscisse de M dans le repère(A;AB) de la droite (AB).
Exemple 8
Dans le repère (A;AB) de la droite (AB), déterminer les abscisses des points A et B, du milieu de [AB] et du point P défini par AP=−2AB.
Voir la solution
Dans le repère (A;AB) de la droite (AB) : le point A a pour abscisse 0, le point B a pour abscisse 1 et le milieu de [AB] a pour abscisse 21. Le point P défini par AP=−2AB a pour abscisse −2.
IV. Caractérisation vectorielle du milieu d’un segment
1. Le milieu d’un segment
Propriété 8
On considère deux points A et B, et un point I. Les affirmations suivantes sont équivalentes :
I est le milieu du segment [AB] ;
AI=IB ;
AI=21AB ;
IA+IB=0 ;
pour tout point M du plan, MA+MB=2MI.
Voir la solution
Démonstration de 4) ⟹ 5). Si IA+IB=0, alors pour tout point M :
MA+MB=MI+IA+MI+IB=2MI+(IA+IB)=2MI.
Réciproquement, si 5) est vraie pour tout point M, elle l’est pour M=I : IA+IB=2II=0.
Exemple 9
On considère un parallélogramme ABCD de centre O. Montrer que, pour tout point M du plan,
MA+MB+MC+MD=4MO.
Voir la solution
Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu : O est le milieu de [AC] et de [BD]. D’après la propriété 8 :
MA+MC=2MOetMB+MD=2MO.
En additionnant : MA+MB+MC+MD=4MO.
2. Centre de gravité d’un triangle
Propriété 9
On considère un triangle ABC, le milieu A′ de [BC] et le centre de gravité G du triangle (point de concours des médianes). Alors
AG=32AA′etGA+GB+GC=0.
Voir la solution
Démonstration de la seconde égalité.A′ est le milieu de [BC], donc GB+GC=2GA′. De AG=32AA′, on tire GA′=GA+AA′=−32AA′+AA′=31AA′, et GA=−32AA′. Donc
GA+GB+GC=−32AA′+2×31AA′=0.
Application 4
On considère un triangle ABC, le milieu I de [AB] et le point M défini par
MA+MB+MC+CB=0.
Montrer que 2MI+MB=0.
En déduire que IM=31IB, puis placer le point M.
Voir la solution
MC+CB=MB (Chasles) et MA+MB=2MI (I milieu de [AB]). L’égalité devient
2MI+MB=0.
On introduit I dans MB : 2MI+MI+IB=0, soit 3MI=−IB, d’où
IM=31IB.
Le point M est sur le segment [IB], au tiers de [IB] à partir de I.
À retenir — l’essentiel du chapitre
AB=CD⟺ABDC parallélogramme. Chasles : AB+BC=AC.
Parallélogramme ABCD : AB+AD=AC. Pour tout O : AB=OB−OA.
u et v colinéaires : l’un est nul ou u=kv. Parallélisme : AB et CD colinéaires. Alignement : AB et AC colinéaires.
I milieu de [AB]⟺IA+IB=0⟺ pour tout M, MA+MB=2MI.
G centre de gravité de ABC : GA+GB+GC=0.
Série d’exercices
Exercice 1 — Égalités vectorielles, relation de Chasles Facile★☆☆☆☆
On considère six points A, B, C, D, E et F du plan. Simplifier les sommes suivantes :
s1=DA+CE+BD+EB+AF ;
s2=AB−CB+CD−ED.
On considère un triangle ABC.
a) Construire les points M et N tels que BM=AC et CN=AB.
b) Montrer que les points M et N sont confondus.
On considère un parallélogramme ABCD.
a) Construire le point E tel que CE=AB+AD.
b) Montrer que AC=CE, puis en déduire que C est le milieu de [AE].
Voir la solution
1) On réordonne les termes de façon à enchaîner les lettres (relation de Chasles) :
s1=CE+EB+BD+DA+AF=CF.
Pour s2, on remplace −CB par BC et −ED par DE :
s2=AB+BC+CD+DE=AE.
2) a)M est le quatrième sommet du parallélogramme BMCA ; N est le quatrième sommet du parallélogramme CNBA.
b)AM=AB+BM=AB+AC et AN=AC+CN=AC+AB.
Donc AM=AN : les points M et N sont confondus (c’est le point tel que ABMC soit un parallélogramme).
3) a) D’après la règle du parallélogramme, AB+AD=AC ; donc E est le point tel que CE=AC : on reporte le vecteur AC à partir de C.
b) On vient de voir que CE=AC. Donc AC=CE, ce qui signifie que C est le milieu de [AE] (propriété du milieu : AI=IB).
Exercice 2 — Construction du vecteur au+bvFacile★☆☆☆☆
On considère un triangle ABC ; on pose u=AB et v=AC.
Construire, à partir du point A, des représentants des vecteurs suivants :
2u ; −v ; 2u−v ;
21u+v ; −23v ; u−21v.
Construire le point M tel que BM=BA+21BC.
Construire le point N tel que CN=2CA−CB.
Voir la solution
1) On utilise la méthode du cours : par exemple, pour 2u−v, on place M1 tel que AM1=2u, puis W1 tel que M1W1=−v ; on a alors AW1=2u−v.
2u : même sens que AB, longueur 2AB ; −v=CA, reporté en A.
21u+v : on part du milieu de [AB] et on ajoute v.
−23v : sens contraire de AC, longueur 23AC.
u−21v : on part de B et on ajoute −21AC.
2)AM=AB+BM=AB+BA+21BC=21BC.
On construit donc M en reportant à partir de A la moitié du vecteur BC.
3)CN=2CA−CB=2CA+BC. On introduit A :
AN=AC+CN=AC+2CA+BC=CA+BC=BA.
Ainsi AN=BA : N est le symétrique de B par rapport à A.
Exercice 3 — Calcul vectoriel Facile★★☆☆☆
On considère un triangle ABC et les points M, N et P définis par :
AM=43AB;BN=31BC;AP=3AC.
Montrer que MN=31BC−41BA et que NP=38BC−2BA.
En déduire le réel α tel que NP=αMN.
Voir la solution
1)AM=43AB donne MB=AB−AM=41AB=−41BA. Donc
MN=MB+BN=−41BA+31BC.
Ensuite, AC=AB+BC=−BA+BC, donc :
NP=NB+BA+AP=−31BC+BA+3(−BA+BC)=38BC−2BA.
2)8MN=8(31BC−41BA)=38BC−2BA=NP. Donc α=8.
(Conséquence : NP et MN sont colinéaires, les points M, N, P sont alignés.)
Exercice 4 — Colinéarité de deux vecteurs Facile★★☆☆☆
On considère un triangle ABC et les vecteurs
u=3AB−2BC+ACetv=21BC−2AB.
Exprimer u et v en fonction de AB et AC.
Montrer que les vecteurs u et v sont colinéaires.
Voir la solution
1) On remplace BC par BA+AC=−AB+AC :
u=3AB−2(−AB+AC)+AC=5AB−AC.v=21(−AB+AC)−2AB=−25AB+21AC.
2)−21u=−25AB+21AC=v. Ainsi v=−21u : les vecteurs u et v sont colinéaires.
Exercice 5 — Parallélisme de deux droites Facile★★☆☆☆
On considère un triangle ABC et les points I et J définis par
AI=52ABetAJ=25AC.
Exprimer IC et BJ en fonction de AB et AC.
En déduire que les droites (IC) et (BJ) sont parallèles.
Voir la solution
1)IC=IA+AC=−52AB+AC.
BJ=BA+AJ=−AB+25AC.
2)25IC=−AB+25AC=BJ. Les vecteurs IC et BJ sont colinéaires, donc (IC)∥(BJ).
Exercice 6 — Alignement de trois points Facile★★☆☆☆
On considère un parallélogramme ABCD et les points P et Q définis par
BP=2ABetDQ=21AD.
Exprimer CP et CQ en fonction de AB et AD.
En déduire que les points C, P et Q sont alignés.
Voir la solution
1)ABCD est un parallélogramme : AC=AB+AD, CB=−AD et CD=−AB.
CP=CB+BP=−AD+2AB=2AB−AD.CQ=CD+DQ=−AB+21AD.
2)−2CQ=2AB−AD=CP. Les vecteurs CP et CQ sont colinéaires, donc C, P et Q sont alignés.
Exercice 7 — Milieu d’un segment Facile★★☆☆☆
On considère un triangle ABC.
Construire les points D et E définis par
AD=AC+2BCetAE=2AB−AC.
Montrer que C est le milieu du segment [ED].
Voir la solution
1)D : à partir de C, on reporte deux fois le vecteur BC (car AD=AC+2BC donne CD=2BC).
E : on place M tel que AM=2AB, puis E tel que ME=−AC.
2) On exprime tout en fonction de AB et AC, avec BC=−AB+AC :
AD=AC−2AB+2AC=−2AB+3AC.
Alors
AE+AD=2AB−AC−2AB+3AC=2AC.
Si K est le milieu de [ED], on a AE+AD=2AK (propriété du milieu avec le point A). Donc 2AK=2AC, d’où K=C : C est le milieu de [ED].
Exercice 8 — Milieu d’un segment Moyen★★★☆☆
On considère un triangle ABC, le milieu J du segment [AC] et le point M défini par
MA+2MB+MC=0.
Montrer que M est le milieu du segment [BJ].
Voir la solution
J est le milieu de [AC], donc MA+MC=2MJ. L’égalité donnée devient
2MJ+2MB=0,soitMJ+MB=0.
D’après la caractérisation du milieu, M est le milieu du segment [BJ].
On considère un triangle ABC, un réel k et les points M et N définis par
BM=kBA+ACetCN=kCA+AB.
Montrer que les vecteurs MN et BC sont colinéaires.
Voir la solution
On exprime MN avec la relation de Chasles :
MN=MB+BC+CN=−kBA−AC+BC+kCA+AB.
On regroupe les termes :
−AC+AB=CA+AB=CB, donc −AC+BC+AB=CB+BC=0 ;
−kBA+kCA=k(AB+CA)=k(CA+AB)=kCB.
Donc MN=kCB=−kBC : les vecteurs MN et BC sont colinéaires (pour tout réel k ; si k=0, alors M=N et MN=0).
Exercice 12 — Approfondissement : repère d’une droite Difficile★★★★☆
On considère un triangle ABC, le milieu I de [BC], et un point M de la droite (BC) d’abscisse x dans le repère (B;BC) (où x est un réel).
Montrer que AM=(1−x)AB+xAC.
On considère le point N défini par AN=xAB+(1−x)AC. Montrer que I est le milieu de [MN], puis en déduire que N appartient à la droite (BC).
Voir la solution
1)M a pour abscisse x dans le repère (B;BC) : BM=xBC. Alors
AM=AB+xBC=AB+x(AC−AB)=(1−x)AB+xAC.
2) On additionne :
AM+AN=(1−x+x)AB+(x+1−x)AC=AB+AC.
Comme I est le milieu de [BC] : AB+AC=2AI. Donc AM+AN=2AI, ce qui signifie que I est le milieu de [MN].
Les points M et I appartiennent à (BC). Si M=I, alors N=I∈(BC). Sinon, N est sur la droite (MI), qui est la droite (BC). Dans tous les cas, N∈(BC).
(Plus précisément, BN=(1−x)BC : N a pour abscisse 1−x.)
Exercice 13 — Problème : la droite d’Euler Difficile★★★★★
On considère un triangle ABC non rectangle en A, le centre O de son cercle circonscrit, son centre de gravité G et le milieu A′ de [BC].
Faire une figure.
Montrer que OB+OC=2OA′.
Construire le point H défini par OH=OA+OB+OC.
Montrer que AH=2OA′.
En déduire que les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires (on pourra utiliser la médiatrice de [BC]).
On admet que, de même, (BH)⊥(AC). Que représente le point H pour le triangle ABC ?
En utilisant GA+GB+GC=0, montrer que OA+OB+OC=3OG.
En déduire que les points O, G et H sont alignés. (La droite qui les porte s’appelle la droite d’Euler du triangle.)
Voir la solution
1) Figure :
2)A′ est le milieu de [BC] ; d’après la caractérisation du milieu (avec le point O) : OB+OC=2OA′.
3) D’après 2), OH=OA+2OA′ : à partir de A, on reporte le vecteur 2OA′.
4)AH=AO+OH=−OA+OA+OB+OC=OB+OC=2OA′.
5)OB=OC (rayons du cercle circonscrit), donc O est sur la médiatrice de [BC] ; A′ aussi. Comme le triangle n’est pas rectangle en A, [BC] n’est pas un diamètre du cercle circonscrit, donc O=A′ : la droite (OA′) est la médiatrice de [BC], perpendiculaire à (BC).
D’après 4), AH et OA′ sont colinéaires, avec AH=0 (car O=A′) : (AH)∥(OA′). Donc (AH)⊥(BC).
6)(AH) est la hauteur issue de A et (BH) est la hauteur issue de B : H est l’intersection de deux hauteurs, c’est l’orthocentre du triangle ABC.
7) On introduit G :
OA+OB+OC=3OG+(GA+GB+GC)=3OG.
8) D’après 3) et 7), OH=3OG. Les vecteurs OH et OG sont colinéaires : O, G et H sont alignés.
