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Chapitre 6 — Fonctions logarithmes

Semestre 1

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Cours

Plan du chapitre. I. La fonction logarithme népérien — II. Propriétés algébriques — III. Équations et inéquations — IV. Limites et courbe — V. Dérivée de $\ln\circ u$ et primitives de $\frac{u'}u$ — VI. Logarithme de base $a$ — Résumé.

I. La fonction logarithme népérien

1. Définition

Définition 1 — logarithme népérien

La fonction $x\mapsto\dfrac1x$ est continue sur $]0;+\infty[$ : elle y admet des primitives. On appelle fonction logarithme népérien, notée $\ln$ , l’unique primitive de $x\mapsto\dfrac1x$ sur $]0;+\infty[$ qui s’annule en $1$ .

Propriété 1 — conséquences immédiates

$\ln$ est définie, continue et dérivable sur $]0;+\infty[$ , avec $\ln1=0$ et $(\ln)'(x)=\dfrac1x$ pour tout $x>0$ .
Comme $\frac1x>0$ , $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ .
Signe : $\ln x<0$ si $0<x<1$ ; $\ln1=0$ ; $\ln x>0$ si $x>1$ .
Pour tous réels $a>0$ et $b>0$ : $\ln a=\ln b\iff a=b$ et $\ln a<\ln b\iff a<b$ .

2. Le nombre $e$

Définition 2

La fonction $\ln$ est continue et strictement croissante sur $]0;+\infty[$ , et (voir IV) $\ln(]0;+\infty[)=\mathbb{R}$ . Il existe donc un unique réel, noté $e$ , tel que $\ln e=1$ . On a $e\approx2{,}718$ .

Exemple 1

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=x-1-\ln x$ . Étudier les variations de $f$ et en déduire que $\ln x\le x-1$ pour tout $x>0$ .

Voir la solution

On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=x-1-\ln x$ . Alors $f'(x)=1-\dfrac1x=\dfrac{x-1}x$ : $f$ est décroissante sur $]0;1]$ , croissante sur $[1;+\infty[$ , de minimum $f(1)=0$ . Donc $\ln x\le x-1$ pour tout $x>0$ .

II. Propriétés algébriques

Propriété 2

Pour tous réels $a>0$ , $b>0$ et tout rationnel $r$ : $\ln(ab)=\ln a+\ln b,\qquad\ln\frac1a=-\ln a,\qquad\ln\frac ab=\ln a-\ln b,\qquad\ln\left(a^r\right)=r\ln a,\qquad\ln\sqrt a=\frac12\ln a .$

Remarque — idée de la preuve

Pour $b>0$ fixé, la fonction $x\mapsto\ln(bx)$ a pour dérivée $\frac b{bx}=\frac1x$ : elle diffère de $\ln$ d’une constante, que l’on obtient en $x=1$ : $\ln(bx)=\ln x+\ln b$ .

Exemple 2

Exprimer $\ln12$ et $\ln\dfrac{\sqrt e}{8}$ en fonction de $\ln2$ et $\ln3$ , puis calculer $\ln\left(e^n\right)$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ .

Voir la solution

$\ln12=\ln(4\times3)=2\ln2+\ln3$ ; $\quad\ln\dfrac{\sqrt e}{8}=\dfrac12-3\ln2$ .
Pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $\ln\left(e^n\right)=n$ .

III. Équations et inéquations

Méthode — résoudre une équation ou une inéquation avec ln

Déterminer le domaine $D$ de validité (arguments des $\ln$ strictement positifs).
Se ramener à $\ln A=\ln B$ (équivaut à $A=B$ ) ou $\ln A<\ln B$ (équivaut à $A<B$ ), avec $A>0$ , $B>0$ ; ou poser $X=\ln x$ .
Ne garder que les solutions appartenant à $D$ .

Application 1

Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $(E)$ : $\ln(x-1)+\ln(x+1)=\ln3$ et $(I)$ : $\ln^2x-\ln x-2<0$ .

Voir la solution

$(E)$ : domaine $D=]1;+\infty[$ . Sur $D$ : $(E)\iff\ln\left(x^2-1\right)=\ln3\iff x^2=4\iff x=2$ (car $x>1$ ). $S=\{2\}$ .

$(I)$ : domaine $]0;+\infty[$ . On pose $X=\ln x$ : $X^2-X-2=(X-2)(X+1)<0\iff-1<X<2\iff \frac1e<x<e^2$ (car on a $\ln\frac1e=-1$ , $\ln e^2=2$ et $\ln$ est strictement croissante). $S=\left]\dfrac1e;e^2\right[$ .

Application 2 — seuil

Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $\left(\dfrac23\right)^n<0{,}01$ .

Voir la solution

$\ln$ est strictement croissante : $\left(\frac23\right)^n<0{,}01\iff n\ln\frac23<\ln0{,}01\iff n>\dfrac{\ln0{,}01}{\ln\frac23}\approx11{,}36$ (on divise par $\ln\frac23<0$ ). Donc $n=12$ .

IV. Limites et courbe

Propriété 3 — limites de référence

$\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty,\quad\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty,\quad\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}x=0,\quad\lim_{x\to0^+}x\ln x=0,$ $\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}=1,\quad\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}x=1 .$ Plus généralement, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ : $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^n}=0$ et $\lim\limits_{x\to0^+}x^n\ln x=0$ .

Remarque

$x=0$ est une asymptote verticale de $(C_{\ln})$ ; en $+\infty$ , $\frac{\ln x}x\to0$ : branche parabolique de direction $(Ox)$ .
$(C_{\ln})$ est concave ( $\ln''(x)=-\frac1{x^2}<0$ ) ; sa tangente en $(1;0)$ a pour équation $y=x-1$ .

Exemple 3

Calculer $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(x-\ln x\right)$ et $\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{\ln(1+3x)}x$ .

Voir la solution

$\lim\limits_{x\to+\infty}\left(x-\ln x\right)=\lim\limits_{x\to+\infty}x\left(1-\dfrac{\ln x}x\right)=+\infty$ ; $\quad\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{\ln(1+3x)}x=\lim\limits_{x\to0^+}3\times\dfrac{\ln(1+3x)}{3x}=3$ .

V. Dérivée de $\ln\circ u$ et primitives de $\frac{u'}u$

Propriété 4

On considère une fonction $u$ dérivable sur un intervalle $I$ .

Si $u(x)>0$ sur $I$ , alors $x\mapsto\ln(u(x))$ est dérivable sur $I$ et $\left(\ln u\right)'=\dfrac{u'}u$ .
Si $u(x)\neq0$ sur $I$ , alors $x\mapsto\ln|u(x)|$ est dérivable sur $I$ et $\left(\ln|u|\right)'=\dfrac{u'}u$ . Ainsi les primitives de $\dfrac{u'}u$ sur $I$ sont les fonctions $x\mapsto\ln|u(x)|+c$ .

Exemple 4

Calculer la dérivée de $f(x)=\ln\left(x^2+1\right)$ sur $\mathbb{R}$ .
Déterminer une primitive de $x\mapsto\dfrac{3}{3x-2}$ sur $\left]\frac23;+\infty\right[$ et une primitive de $x\mapsto\tan x$ sur $\left]-\frac\pi2;\frac\pi2\right[$ .
Déterminer une primitive de $x\mapsto\dfrac{1}{x\ln x}$ sur $]1;+\infty[$ .

Voir la solution

$f(x)=\ln\left(x^2+1\right)$ sur $\mathbb{R}$ : $f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$ .
Une primitive de $x\mapsto\dfrac{3}{3x-2}$ sur $\left]\frac23;+\infty\right[$ est $x\mapsto\ln(3x-2)$ ; une primitive de $x\mapsto\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ sur $\left]-\frac\pi2;\frac\pi2\right[$ est $x\mapsto-\ln(\cos x)$ .
Une primitive de $x\mapsto\dfrac{1}{x\ln x}$ sur $]1;+\infty[$ est $x\mapsto\ln(\ln x)$ .

VI. Logarithme de base $a$

Définition 3

On considère un réel $a>0$ avec $a\neq1$ . La fonction logarithme de base $a$ est la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $\log_a(x)=\dfrac{\ln x}{\ln a}$ . Le logarithme décimal est $\log=\log_{10}$ .

Propriété 5

$\log_a$ vérifie les mêmes propriétés algébriques que $\ln$ ; $\log_a(a)=1$ et $\log_a\left(a^r\right)=r$ pour tout $r\in\mathbb{Q}$ .
$(\log_a)'(x)=\dfrac1{x\ln a}$ : $\log_a$ est strictement croissante si $a>1$ , strictement décroissante si $0<a<1$ .
$\log(10^n)=n$ pour tout $n\in\mathbb{Z}$ .

Exemple 5

Calculer $\log_2(32)$ et $\log(0{,}001)$ , puis résoudre l’équation $\log_3x=2$ .

Voir la solution

$\log_2(32)=5$ ; $\log(0{,}001)=-3$ ; $\log_3x=2\iff\ln x=2\ln3\iff x=9$ .

Résumé : fonctions logarithmes

À retenir

Propriété	Formule
Dérivée	$(\ln x)'=\frac1x$ ; $(\ln u)'=\frac{u'}u$
Algèbre	$\ln(ab)=\ln a+\ln b$ ; $\ln\frac ab=\ln a-\ln b$ ; $\ln a^r=r\ln a$
Limites	$\ln x\xrightarrow[+\infty]{}+\infty$ ; $\ln x\xrightarrow[0^+]{}-\infty$ ; $\frac{\ln x}x\xrightarrow[+\infty]{}0$ ; $x\ln x\xrightarrow[0^+]{}0$
Limites en $1$ et $0$	$\frac{\ln x}{x-1}\xrightarrow[1]{}1$ ; $\frac{\ln(1+x)}x\xrightarrow[0]{}1$
Primitives	$\frac{u'}u\to\ln\lvert u\rvert+c$
Base $a$	$\log_a x=\frac{\ln x}{\ln a}$

Série d’exercices

Exercice 1 — Équations et systèmes Facile ★★☆☆☆

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes : $(E_1)$ : $\ln(x+2)=\ln(4-x)$ ; $\quad(E_2)$ : $\ln\left(x^2-2x+3\right)=\ln6$ ; $\quad(E_3)$ : $\ln^2x-3\ln x+2=0$ .
Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ les systèmes suivants : $(S_1)\ :\ \begin{cases}\ln x+2\ln y=4\\ 3\ln x-\ln y=5\end{cases}\qquad\qquad(S_2)\ :\ \begin{cases}\ln x-2\ln y=1\\ xy=e^4\end{cases}$

Voir la solution

1. $(E_1)$ : domaine $]-2;4[$ . $\ln(x+2)=\ln(4-x)\iff x+2=4-x\iff x=1\in]-2;4[$ . $S=\{1\}$ .

$(E_2)$ : $x^2-2x+3=(x-1)^2+2>0$ pour tout réel $x$ : domaine $\mathbb{R}$ . $(E_2)\iff x^2-2x+3=6\iff x^2-2x-3=0\iff(x-3)(x+1)=0$ . $S=\{-1;3\}$ .

$(E_3)$ : domaine $]0;+\infty[$ ; avec $X=\ln x$ : $X^2-3X+2=(X-1)(X-2)=0\iff X=1$ ou $X=2\iff x=e$ ou $x=e^2$ . $S=\{e;e^2\}$ .

2. On pose $X=\ln x$ et $Y=\ln y$ (avec $x>0$ , $y>0$ ).

$(S_1)$ : $X+2Y=4$ et $3X-Y=5$ . La seconde donne $Y=3X-5$ , puis $X+6X-10=4$ , soit $X=2$ et $Y=1$ . Donc $x=e^2$ , $y=e$ : $S=\{(e^2;e)\}$ .

$(S_2)$ : $xy=e^4\iff\ln x+\ln y=4$ (car $x,y>0$ ). Le système devient $X-2Y=1$ et $X+Y=4$ , d’où $3Y=3$ , $Y=1$ , $X=3$ : $S=\{(e^3;e)\}$ .

Exercice 2 — Inéquations, seuils, logarithmes de base $a$ Moyen ★★★☆☆

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes : $(I_1)$ : $\ln(3x-2)\le0$ ; $\quad(I_2)$ : $\ln\left(x^2+x+1\right)>0$ ; $\quad(I_3)$ : $\ln^2x-\ln x-2\le0$ .
Déterminer le plus petit entier naturel $n$ vérifiant chacune des inégalités suivantes : a. $2\times3^n-7\ge100$ ; b. $\left(\dfrac34\right)^n<0{,}01$ ; c. $100-\left(\dfrac12\right)^n>99{,}999$ .
Montrer que $\log_25\log_35+\log_35\log_75+\log_75\log_25=\dfrac{\log_25\,\log_35\,\log_75}{\log_{42}5}$ .
On considère un réel $a>1$ et un entier $n\ge1$ . Montrer que, pour tout $x\in]0;+\infty[$ , $\log_{a^n}(x)=\dfrac1n\log_a(x)$ .

Voir la solution

1. $(I_1)$ : domaine $\left]\frac23;+\infty\right[$ ; $\ln(3x-2)\le0=\ln1\iff3x-2\le1\iff x\le1$ . $S=\left]\frac23;1\right]$ .

$(I_2)$ : $x^2+x+1>0$ sur $\mathbb{R}$ (discriminant $-3$ ) ; $\ln\left(x^2+x+1\right)>0\iff x^2+x+1>1\iff x(x+1)>0$ . $S=]-\infty;-1[\cup]0;+\infty[$ .

$(I_3)$ : avec $X=\ln x$ : $X^2-X-2=(X-2)(X+1)\le0\iff-1\le X\le2\iff\frac1e\le x\le e^2$ . $S=\left[\frac1e;e^2\right]$ .

2. a. $2\times3^n-7\ge100\iff3^n\ge\frac{107}2\iff n\ln3\ge\ln\frac{107}2\iff n\ge\dfrac{\ln53{,}5}{\ln3}\approx3{,}62$ : $n=4$ .

2. b. $\left(\frac34\right)^n<0{,}01\iff n\ln\frac34<\ln0{,}01\iff n>\dfrac{\ln0{,}01}{\ln0{,}75}\approx16{,}01$ (division par $\ln0{,}75<0$ ) : $n=17$ .

2. c. $100-\left(\frac12\right)^n>99{,}999\iff\left(\frac12\right)^n<0{,}001\iff n>\dfrac{\ln1000}{\ln2}\approx9{,}97$ : $n=10$ .

3. On note $a=\ln2$ , $b=\ln3$ , $c=\ln7$ , $L=\ln5$ . Le membre de gauche vaut $\dfrac{L^2}{ab}+\dfrac{L^2}{bc}+\dfrac{L^2}{ca}=\dfrac{L^2(a+b+c)}{abc}$ . Comme $\ln42=\ln(2\times3\times7)=a+b+c$ , le membre de droite vaut $\dfrac{\frac{L^3}{abc}}{\frac{L}{a+b+c}}=\dfrac{L^2(a+b+c)}{abc}$ . L’égalité est démontrée.

4. $a^n>0$ , $a^n\neq1$ et $\ln\left(a^n\right)=n\ln a$ , donc $\log_{a^n}(x)=\dfrac{\ln x}{n\ln a}=\dfrac1n\log_a(x)$ .

Exercice 3 — Étude d’une fonction avec $\ln^2$ Moyen ★★★☆☆

On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{(1+\ln x)^2}{x}$ .

Calculer $f(1)$ et $\lim\limits_{x\to0^+}f(x)$ .
Vérifier que, pour tout $x\in]0;+\infty[$ , $f(x)=\left(\dfrac1{\sqrt x}+\dfrac{2\ln\sqrt x}{\sqrt x}\right)^2$ , puis calculer $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ .
Déterminer les deux branches infinies de $(C_f)$ .
Montrer que, pour tout $x\in]0;+\infty[$ , $f'(x)=\dfrac{(1+\ln x)(1-\ln x)}{x^2}$ .
Dresser le tableau de variations de $f$ .
Montrer que la fonction $F:x\mapsto\dfrac13(1+\ln x)^3$ est une primitive de $f$ sur $]0;+\infty[$ .

Voir la solution

1. $f(1)=\dfrac{(1+0)^2}1=1$ . En $0^+$ : $(1+\ln x)^2\to+\infty$ et $\frac1x\to+\infty$ , donc $\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty$ .

2. $\dfrac1{\sqrt x}+\dfrac{2\ln\sqrt x}{\sqrt x}=\dfrac{1+\ln x}{\sqrt x}$ , dont le carré est $f(x)$ . Avec $X=\sqrt x\to+\infty$ : $\frac1X\to0$ et $\frac{\ln X}X\to0$ , donc $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0$ .

3. La droite d’équation $x=0$ est une asymptote verticale ; la droite d’équation $y=0$ est une asymptote horizontale au voisinage de $+\infty$ .

4. $f'(x)=\dfrac{2(1+\ln x)\times\frac1x\times x-(1+\ln x)^2}{x^2}=\dfrac{(1+\ln x)\left(2-(1+\ln x)\right)}{x^2}=\dfrac{(1+\ln x)(1-\ln x)}{x^2}$ .

5. $1+\ln x>0\iff x>\frac1e$ et $1-\ln x>0\iff x<e$ . $f\left(\frac1e\right)=0$ et $f(e)=\dfrac4e$ .

6. $F'(x)=\dfrac13\times3(1+\ln x)^2\times\dfrac1x=f(x)$ : $F$ est une primitive de $f$ sur $]0;+\infty[$ .

Exercice 4 — Fonction composée et réciproque Facile ★★☆☆☆

On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=\ln\left(x+2\sqrt x\right)$ .

Calculer $\lim\limits_{x\to0^+}f(x)$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ , puis en déduire une branche infinie de $(C_f)$ .
Déterminer la branche infinie de $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$ .
Étudier les variations de $f$ sur $]0;+\infty[$ , puis dresser son tableau de variations.
Construire la courbe $(C_f)$ dans un repère orthonormé $(O;\vec\imath,\vec\jmath)$ .
Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ à déterminer.
Construire la courbe $(C_{f^{-1}})$ dans le même repère.

Voir la solution

1. $x+2\sqrt x\to0^+$ quand $x\to0^+$ , donc $\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty$ : la droite d’équation $x=0$ est une asymptote verticale. $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ .

2. Pour $x>0$ : $f(x)=\ln x+\ln\left(1+\frac2{\sqrt x}\right)$ , donc $\dfrac{f(x)}x=\dfrac{\ln x}x+\dfrac1x\ln\left(1+\dfrac2{\sqrt x}\right)\to0$ : branche parabolique de direction l’axe des abscisses.

3. $f'(x)=\dfrac{1+\frac1{\sqrt x}}{x+2\sqrt x}>0$ : $f$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ , de $-\infty$ à $+\infty$ .

5. $f$ est continue et strictement croissante : réciproque définie sur $J=f(]0;+\infty[)=\mathbb{R}$ .

4. et 6.

Exercice 5 — Fonction et suite récurrente Moyen ★★★☆☆

Partie I. On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=x\ln(x+2)$ .

Déterminer $f'(x)$ pour tout $x\in[0;+\infty[$ , puis en déduire que $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.
Étudier la continuité de $f$ sur $[0;+\infty[$ , puis déterminer $f([0;e-2])$ .
Montrer que $f(x)\le x$ pour tout $x\in[0;e-2]$ .

Partie II. On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=\dfrac12$ et $u_{n+1}=u_n\ln(u_n+2)$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ .

Montrer par récurrence que $0\le u_n\le e-2$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ .
Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante, puis en déduire qu’elle converge.
Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ .

Voir la solution

I. 1. $f'(x)=\ln(x+2)+\dfrac{x}{x+2}$ . Pour $x\ge0$ : $\ln(x+2)\ge\ln2>0$ et $\frac x{x+2}\ge0$ , donc $f'(x)>0$ : $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$ .

I. 2. $f$ est continue sur $[0;+\infty[$ (produit de fonctions continues, $x+2>0$ ). $f(0)=0$ et $f(e-2)=(e-2)\ln e=e-2$ , donc $f([0;e-2])=[0;e-2]$ .

I. 3. Pour $x\in[0;e-2]$ : $x+2\le e$ , donc $\ln(x+2)\le1$ et, comme $x\ge0$ , $f(x)=x\ln(x+2)\le x$ .

II. 1. Montrons par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $0\le u_n\le e-2$ .

Initialisation : $u_0=\frac12$ et $0\le\frac12\le e-2$ (car $e>2{,}5$ ).
Hérédité : soit $n\in\mathbb{N}$ tel que $0\le u_n\le e-2$ . Alors $u_{n+1}=f(u_n)\in f([0;e-2])=[0;e-2]$ .

D’après le principe du raisonnement par récurrence, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $0\le u_n\le e-2$ .

II. 2. $u_{n+1}=f(u_n)\le u_n$ d’après I.3 : $(u_n)$ est décroissante ; minorée par $0$ , elle converge.

II. 3. Sa limite $\ell\in[0;e-2]$ vérifie $f(\ell)=\ell$ ( $f$ continue, $f([0;e-2])\subset[0;e-2]$ ), soit $\ell\left(\ln(\ell+2)-1\right)=0$ : $\ell=0$ ou $\ell=e-2$ . Or $(u_n)$ est décroissante, donc $\ell\le u_0=\frac12<e-2$ : $\ell=0$ .

Exercice 6 — Étude complète, primitive et suite Moyen ★★★☆☆

On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=x-2\ln x$ .

Calculer $f(1)$ , $\lim\limits_{x\to0^+}f(x)$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ .
Déterminer les deux branches infinies de $(C_f)$ .
Étudier la continuité de $f$ sur $]0;+\infty[$ .
Montrer que, pour tout $x\in]0;+\infty[$ , $f'(x)=\dfrac{x-2}x$ .
Dresser le tableau de variations de $f$ , puis en déduire le signe de $f(x)$ .
Étudier la position relative de $(C_f)$ et de la droite d’équation $y=x$ .
Construire la courbe $(C_f)$ dans le repère $(O;\vec\imath,\vec\jmath)$ .
Montrer que la fonction $F:x\mapsto\dfrac12x^2-2x\ln x+2x-3$ est une primitive de $f$ sur $]0;+\infty[$ .
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}=u_n-\dfrac12\ln(u_n)$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ . a. Montrer par récurrence que $1\le u_n\le2$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ . b. Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante, puis en déduire qu’elle converge. c. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ .

Voir la solution

1. $f(1)=1$ . $\lim\limits_{x\to0^+}(-2\ln x)=+\infty$ , donc $\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty$ . $f(x)=x\left(1-2\dfrac{\ln x}x\right)\xrightarrow[x\to+\infty]{}+\infty$ .

2. La droite d’équation $x=0$ est une asymptote verticale. En $+\infty$ : $\dfrac{f(x)}x=1-\dfrac{2\ln x}x\to1$ et $f(x)-x=-2\ln x\to-\infty$ : branche parabolique de direction la droite $y=x$ .

3. $x\mapsto x$ et $\ln$ sont continues sur $]0;+\infty[$ : $f$ y est continue.

4. $f'(x)=1-\dfrac2x=\dfrac{x-2}x$ .

5. $f$ est décroissante sur $]0;2]$ , croissante sur $[2;+\infty[$ ; minimum $f(2)=2-2\ln2=2(1-\ln2)>0$ (car $2<e$ ). Donc $f(x)>0$ pour tout $x>0$ .

6. $f(x)-x=-2\ln x$ : $(C_f)$ est au-dessus de la droite $y=x$ sur $]0;1[$ , en dessous sur $]1;+\infty[$ ; ils se coupent en $(1;1)$ .

8. $F'(x)=x-2\left(\ln x+x\times\dfrac1x\right)+2=x-2\ln x=f(x)$ .

9. a. On pose $\varphi(x)=x-\frac12\ln x$ ; $\varphi'(x)=1-\dfrac1{2x}>0$ sur $[1;2]$ , $\varphi(1)=1$ et $\varphi(2)=2-\frac12\ln2\in[1;2]$ . Montrons par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $1\le u_n\le2$ .

Initialisation : $u_0=2\in[1;2]$ .
Hérédité : soit $n\in\mathbb{N}$ tel que $1\le u_n\le2$ . Par croissance de $\varphi$ : $1=\varphi(1)\le u_{n+1}=\varphi(u_n)\le\varphi(2)\le2$ .

D’après le principe du raisonnement par récurrence, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $1\le u_n\le2$ .

9. b. $u_{n+1}-u_n=-\frac12\ln u_n\le0$ (car $u_n\ge1$ ) : $(u_n)$ est décroissante ; minorée par $1$ , elle converge.

9. c. Sa limite $\ell\in[1;2]$ vérifie $\varphi(\ell)=\ell$ ( $\varphi$ continue, $\varphi([1;2])\subset[1;2]$ ), soit $\ln\ell=0$ : $\ell=1$ .

Exercice 7 — Fonction auxiliaire et étude Difficile ★★★★☆

Partie I. On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty[$ par $g(x)=x^2-1+\ln x$ .

Calculer $g(1)$ .
Déterminer $g'(x)$ pour tout $x\in]0;+\infty[$ , puis en déduire le sens de variation de $g$ .
En déduire le signe de $g(x)$ selon les valeurs de $x$ .

Partie II. On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=x-\dfrac{\ln x}x$ .

Calculer $\lim\limits_{x\to0^+}f(x)$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ , puis en déduire une branche infinie de $(C_f)$ .
Montrer que la droite d’équation $y=x$ est une asymptote oblique à $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$ .
Étudier la position relative de $(C_f)$ et de la droite d’équation $y=x$ .
a. Montrer que, pour tout $x\in]0;+\infty[$ , $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}$ . b. Dresser le tableau de variations de $f$ .
a. Montrer que, pour tout $x\in]0;+\infty[$ , $f''(x)=\dfrac{3-2\ln x}{x^3}$ . b. En déduire que $(C_f)$ admet un point d’inflexion $A$ et déterminer ses coordonnées.
Construire la courbe $(C_f)$ dans le repère $(O;\vec\imath,\vec\jmath)$ .

Voir la solution

I. 1. $g(1)=1-1+0=0$ .

I. 2. $g'(x)=2x+\dfrac1x>0$ : $g$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ .

I. 3. $g(x)<0$ sur $]0;1[$ , $g(1)=0$ , $g(x)>0$ sur $]1;+\infty[$ .

II. 1. En $0^+$ : $-\dfrac{\ln x}x=-\ln x\times\dfrac1x\to+\infty$ , donc $\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty$ : asymptote verticale $x=0$ . En $+\infty$ : $\frac{\ln x}x\to0$ , donc $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ .

II. 2. $f(x)-x=-\dfrac{\ln x}x\to0$ en $+\infty$ : la droite $y=x$ est une asymptote oblique.

II. 3. $f(x)-x=-\dfrac{\ln x}x$ : $(C_f)$ est au-dessus de la droite sur $]0;1[$ , en dessous sur $]1;+\infty[$ , et la coupe en $(1;1)$ .

II. 4. a. $f'(x)=1-\dfrac{\frac1x\times x-\ln x}{x^2}=\dfrac{x^2-1+\ln x}{x^2}=\dfrac{g(x)}{x^2}$ .

II. 4. b. $f$ est décroissante sur $]0;1]$ , croissante sur $[1;+\infty[$ , minimum $f(1)=1$ .

II. 5. a. $f'(x)=1+\dfrac{\ln x-1}{x^2}$ , donc $f''(x)=\dfrac{\frac1x\times x^2-2x(\ln x-1)}{x^4}=\dfrac{3-2\ln x}{x^3}$ .

II. 5. b. $f''$ s’annule en changeant de signe en $x=e^{\frac32}=e\sqrt e$ (positive avant, négative après) : point d’inflexion $A\left(e\sqrt e;\ e\sqrt e-\dfrac3{2e\sqrt e}\right)$ , car $f\left(e\sqrt e\right)=e\sqrt e-\dfrac{3/2}{e\sqrt e}$ .

II. 6.

Exercice 8 — Fonction, inégalité et parité Difficile ★★★★☆

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=x^2-\ln(2x+1)$ .

Déterminer le domaine de définition $D_f$ de $f$ , puis calculer ses limites aux bornes de $D_f$ .
Déterminer les branches infinies de $(C_f)$ .
a. Montrer que, pour tout $x\in D_f$ , $f'(x)=\dfrac{2(2x-1)(x+1)}{2x+1}$ . b. Dresser le tableau de variations de $f$ . c. En déduire que, pour tout $x\in D_f$ , $\ln(2x+1)\le x^2-\dfrac14+\ln2$ .
Construire la courbe $(C_f)$ dans le repère $(O;\vec\imath,\vec\jmath)$ .
On considère la restriction $g$ de $f$ à l’intervalle $\left[\frac12;+\infty\right[$ . a. Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ à déterminer. b. Construire la courbe $(C_{g^{-1}})$ dans le même repère.
On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=x^2-\ln(2|x|+1)$ . a. Montrer que $h$ est paire. b. Construire la courbe $(C_h)$ dans un autre repère.

Voir la solution

1. $2x+1>0\iff x>-\frac12$ : $D_f=\left]-\frac12;+\infty\right[$ . En $-\frac12^+$ : $\ln(2x+1)\to-\infty$ , donc $f(x)\to+\infty$ . En $+\infty$ : $f(x)=x^2\left(1-\dfrac{\ln(2x+1)}{x^2}\right)\to+\infty$ (car $\frac{\ln(2x+1)}{x^2}=\frac{\ln(2x+1)}{2x+1}\times\frac{2x+1}{x^2}\to0$ ).

2. La droite d’équation $x=-\frac12$ est une asymptote verticale. En $+\infty$ : $\dfrac{f(x)}x=x-\dfrac{\ln(2x+1)}x\to+\infty$ : branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.

3. a. $f'(x)=2x-\dfrac2{2x+1}=\dfrac{2\left(2x^2+x-1\right)}{2x+1}=\dfrac{2(2x-1)(x+1)}{2x+1}$ .

3. b. Sur $D_f$ , $x+1>0$ et $2x+1>0$ : $f'(x)$ a le signe de $2x-1$ . Minimum $f\left(\frac12\right)=\frac14-\ln2$ .

3. c. Pour tout $x\in D_f$ , $f(x)\ge f\left(\frac12\right)$ , soit $x^2-\ln(2x+1)\ge\frac14-\ln2$ , c’est-à-dire $\ln(2x+1)\le x^2-\frac14+\ln2$ .

5. a. $g$ est continue et strictement croissante sur $\left[\frac12;+\infty\right[$ : réciproque définie sur $J=\left[\frac14-\ln2;+\infty\right[$ .

4. et 5. b.

6. a. $\mathbb{R}$ est symétrique par rapport à $0$ et $h(-x)=(-x)^2-\ln(2|-x|+1)=h(x)$ : $h$ est paire.

6. b. Pour $x\ge0$ , $h(x)=f(x)$ : on trace la partie de $(C_f)$ correspondant à $x\ge0$ , puis sa symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Exercice 9 — Problème : fonction auxiliaire, inflexion, réciproque Difficile ★★★★★

Partie I. On considère la fonction $g$ définie sur $]2;+\infty[$ par $g(x)=\dfrac{x}{x-2}+\ln(x-2)$ .

Déterminer $g'(x)$ pour tout $x\in]2;+\infty[$ , puis dresser le tableau de variations de $g$ (on admet que $\lim\limits_{x\to2^+}g(x)=+\infty$ ).
En déduire le signe de $g(x)$ selon les valeurs de $x$ .

Partie II. On considère la fonction $f$ définie sur $]2;+\infty[$ par $f(x)=x\ln(x-2)$ .

Calculer $\lim\limits_{x\to2^+}f(x)$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ .
Déterminer la branche infinie de $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$ .
Étudier la position relative de $(C_f)$ et de la droite d’équation $y=x$ .
a. Montrer que $f'(x)=g(x)$ pour tout $x\in]2;+\infty[$ . b. Dresser le tableau de variations de $f$ .
Montrer que le point $I(4;4\ln2)$ est un point d’inflexion de $(C_f)$ .
Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à $(C_f)$ au point $I$ .
Construire la droite $(T)$ et la courbe $(C_f)$ dans le repère $(O;\vec\imath,\vec\jmath)$ .
a. Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ à déterminer. b. Montrer que $f^{-1}$ est dérivable en $0$ , puis déterminer $\left(f^{-1}\right)'(0)$ .
Construire la courbe $(C_{f^{-1}})$ dans le même repère.

Voir la solution

I. 1. $g'(x)=\dfrac{(x-2)-x}{(x-2)^2}+\dfrac1{x-2}=\dfrac{-2+(x-2)}{(x-2)^2}=\dfrac{x-4}{(x-2)^2}$ . $g$ est décroissante sur $]2;4]$ , croissante sur $[4;+\infty[$ , de minimum $g(4)=2+\ln2$ ; $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty$ .

I. 2. $g(x)\ge2+\ln2>0$ pour tout $x>2$ .

II. 1. En $2^+$ : $\ln(x-2)\to-\infty$ et $x\to2$ , donc $\lim\limits_{x\to2^+}f(x)=-\infty$ (asymptote verticale $x=2$ ). $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ .

II. 2. $\dfrac{f(x)}x=\ln(x-2)\to+\infty$ : branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.

II. 3. $f(x)-x=x\left(\ln(x-2)-1\right)$ avec $x>0$ ; $\ln(x-2)-1>0\iff x>2+e$ . $(C_f)$ est en dessous de la droite $y=x$ sur $]2;2+e[$ , au-dessus sur $]2+e;+\infty[$ ; ils se coupent au point $(2+e;2+e)$ .

II. 4. a. $f'(x)=\ln(x-2)+\dfrac x{x-2}=g(x)$ .

II. 4. b. $f'(x)=g(x)>0$ : $f$ est strictement croissante sur $]2;+\infty[$ , de $-\infty$ à $+\infty$ .

II. 5. $f''(x)=g'(x)=\dfrac{x-4}{(x-2)^2}$ s’annule en $4$ en changeant de signe, et $f(4)=4\ln2$ : $I(4;4\ln2)$ est un point d’inflexion.

II. 6. $(T)$ : $y=g(4)(x-4)+4\ln2=(2+\ln2)(x-4)+4\ln2$ , soit $y=(2+\ln2)x-8$ .

II. 8. a. $f$ est continue et strictement croissante sur $]2;+\infty[$ : réciproque définie sur $J=\mathbb{R}$ .

II. 8. b. $f(3)=3\ln1=0$ et $f'(3)=g(3)=3\neq0$ : $f^{-1}$ est dérivable en $0$ et $\left(f^{-1}\right)'(0)=\dfrac1{f'(3)}=\dfrac13$ .

II. 7. et 9.

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20 questions tirées au hasard parmi 45.

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Chapitre 6 — Fonctions logarithmes

Cours

I. La fonction logarithme népérien

1. Définition

2. Le nombre eee

II. Propriétés algébriques

III. Équations et inéquations

IV. Limites et courbe

V. Dérivée de ln⁡∘u\ln\circ uln∘u et primitives de u′u\frac{u'}uuu′​

VI. Logarithme de base aaa

Résumé : fonctions logarithmes

Série d’exercices

Exercice 1 — Équations et systèmes Facile ★★☆☆☆

Exercice 2 — Inéquations, seuils, logarithmes de base aaa Moyen ★★★☆☆

Exercice 3 — Étude d’une fonction avec ln⁡2\ln^2ln2 Moyen ★★★☆☆

Exercice 4 — Fonction composée et réciproque Facile ★★☆☆☆

Exercice 5 — Fonction et suite récurrente Moyen ★★★☆☆

Exercice 6 — Étude complète, primitive et suite Moyen ★★★☆☆

Exercice 7 — Fonction auxiliaire et étude Difficile ★★★★☆

Exercice 8 — Fonction, inégalité et parité Difficile ★★★★☆

Exercice 9 — Problème : fonction auxiliaire, inflexion, réciproque Difficile ★★★★★

Quiz — testez-vous

2. Le nombre $e$

V. Dérivée de $\ln\circ u$ et primitives de $\frac{u'}u$

VI. Logarithme de base $a$

Exercice 2 — Inéquations, seuils, logarithmes de base $a$ Moyen ★★★☆☆

Exercice 3 — Étude d’une fonction avec $\ln^2$ Moyen ★★★☆☆