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Chapitre 6 — Droites dans le plan

Semestre 1

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Cours

Plan du chapitre. I. Repère et coordonnées — II. Colinéarité de deux vecteurs — III. Équation cartésienne d’une droite — IV. Représentation paramétrique d’une droite — V. Positions relatives de deux droites.

Dans tout le chapitre, le plan est rapporté à un repère $(O;\vec\imath;\vec\jmath)$ .

I. Repère et coordonnées

1. Coordonnées d’un point, d’un vecteur

Définition 1

On considère un point $O$ et deux vecteurs non colinéaires $\vec\imath$ et $\vec\jmath$ ; le triplet $(O;\vec\imath;\vec\jmath)$ est un repère du plan.

Pour tout vecteur $\vec u$ , il existe un unique couple de réels $(x;y)$ tel que $\vec u=x\vec\imath+y\vec\jmath$ : ce sont les coordonnées de $\vec u$ , notées $\vec u(x;y)$ .
Les coordonnées d’un point $M$ sont celles du vecteur $\overrightarrow{OM}$ ; on note $M(x;y)$ .

Remarque

Si $\vec\imath$ et $\vec\jmath$ sont orthogonaux et de norme $1$ , le repère est dit orthonormé.

2. Calculs sur les coordonnées

Propriété 1

On considère deux points $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ , deux vecteurs $\vec u(x;y)$ et $\vec v(x';y')$ et un réel $k$ .

$\vec u=\vec v$ si et seulement si $x=x'$ et $y=y'$ .
$\vec u+\vec v\,(x+x';y+y')$ et $k\vec u\,(kx;ky)$ .
$\overrightarrow{AB}\,(x_B-x_A;y_B-y_A)$ .
Le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{x_A+x_B}2;\dfrac{y_A+y_B}2\right)$ .
Si le repère est orthonormé : $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$ .

Exemple 1

On considère les points $A(1;-2)$ , $B(4;2)$ et $C(-1;3)$ . Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ , de $\vec w=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$ , du milieu $I$ de $[BC]$ , puis, le repère étant orthonormé, la distance $AB$ .

Voir la solution

$\overrightarrow{AB}(3;4)$ et $\overrightarrow{AC}(-2;5)$ , donc $\vec w(6+2;8-5)=\vec w(8;3)$ . $\ I\left(\dfrac32;\dfrac52\right)$ . $\ AB=\sqrt{9+16}=5$ .

II. Colinéarité de deux vecteurs

1. Déterminant de deux vecteurs

Définition 2

On considère deux vecteurs $\vec u(x;y)$ et $\vec v(x';y')$ . Le déterminant de $\vec u$ et $\vec v$ est le réel $\det(\vec u;\vec v)=\begin{vmatrix}x&x'\\y&y'\end{vmatrix}=xy'-x'y.$

2. Condition de colinéarité

Propriété 2

Deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si $\det(\vec u;\vec v)=0$ .

Exemple 2

Les vecteurs $\vec u(6;-4)$ et $\vec v(-9;6)$ sont-ils colinéaires ?

Voir la solution

$\vec u(6;-4)$ et $\vec v(-9;6)$ : $\det(\vec u;\vec v)=6\times6-(-9)\times(-4)=36-36=0$ , donc $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires (en effet $\vec v=-\tfrac32\vec u$ ).

3. Applications : alignement et parallélisme

Propriété 3

Trois points $A$ , $B$ , $C$ sont alignés si et seulement si $\det\big(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\big)=0$ .
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si $\det\big(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\big)=0$ .

Application 1

On considère les points $A(-1;2)$ , $B(2;3)$ et $C(m;5)$ , où $m$ est un réel. Déterminer $m$ pour que $A$ , $B$ et $C$ soient alignés.

Voir la solution

$\overrightarrow{AB}(3;1)$ et $\overrightarrow{AC}(m+1;3)$ . $\ \det\big(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\big)=3\times3-(m+1)\times1=8-m$ . Les points sont alignés si et seulement si $8-m=0$ , soit $m=8$ .

III. Équation cartésienne d’une droite

1. Vecteur directeur

Définition 3

On considère une droite $(D)$ et deux points distincts $A$ et $B$ de $(D)$ . Tout vecteur non nul colinéaire à $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de $(D)$ .

Propriété 4

On considère un point $A$ et un vecteur non nul $\vec u$ . La droite $(D)$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec u$ est l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}$ et $\vec u$ soient colinéaires : $M\in(D)\iff\det\big(\overrightarrow{AM};\vec u\big)=0.$

2. Équation cartésienne

Propriété 5

Toute droite admet une équation de la forme $ax+by+c=0$ , où $a$ , $b$ , $c$ sont des réels avec $(a;b)\neq(0;0)$ : c’est une équation cartésienne de la droite.
Réciproquement, si $(a;b)\neq(0;0)$ , l’ensemble des points $M(x;y)$ tels que $ax+by+c=0$ est une droite, de vecteur directeur $\vec u(-b;a)$ .

Exemple 3

Déterminer une équation cartésienne de la droite $(D)$ passant par $A(1;1)$ et de vecteur directeur $\vec u(2;1)$ .

Voir la solution

Pour tout point $M(x;y)$ : $\overrightarrow{AM}(x-1;y-1)$ et $M\in(D)\iff\begin{vmatrix}x-1&2\\y-1&1\end{vmatrix}=0\iff(x-1)-2(y-1)=0\iff x-2y+1=0.$

3. Équation réduite

Propriété 6

Toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme $y=mx+p$ : c’est son équation réduite ; $m$ est le coefficient directeur (ou pente) et $\vec u(1;m)$ est un vecteur directeur.
Toute droite parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme $x=k$ .

Exemple 4

Déterminer l’équation réduite et le coefficient directeur de la droite d’équation $x-2y+1=0$ .

Voir la solution

La droite d’équation $x-2y+1=0$ a pour équation réduite $y=\dfrac12x+\dfrac12$ ; son coefficient directeur est $\dfrac12$ .

IV. Représentation paramétrique d’une droite

1. Définition

Propriété 7

On considère la droite $(D)$ passant par $A(x_A;y_A)$ et de vecteur directeur $\vec u(\alpha;\beta)$ . Un point $M(x;y)$ appartient à $(D)$ si et seulement s’il existe un réel $t$ tel que $\overrightarrow{AM}=t\,\vec u$ , c’est-à-dire $\begin{cases}x=x_A+\alpha t\\ y=y_A+\beta t\end{cases}\qquad(t\in\mathbb{R}).$ Ce système est une représentation paramétrique de $(D)$ .

Exemple 5

Déterminer un vecteur directeur et une représentation paramétrique de la droite passant par $A(2;-1)$ et $B(5;1)$ . Le point $C(8;3)$ appartient-il à $(AB)$ ?

Voir la solution

La droite passant par $A(2;-1)$ et $B(5;1)$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{AB}(3;2)$ et pour représentation paramétrique $\begin{cases}x=2+3t\\ y=-1+2t\end{cases}$ $(t\in\mathbb{R})$ .

Le point $C(8;3)$ appartient-il à $(AB)$ ? On cherche $t$ : $8=2+3t$ donne $t=2$ , et alors $-1+2\times2=3$ : oui, $C\in(AB)$ .

2. Passage d’une écriture à l’autre

Méthode

Représentation paramétrique vers équation cartésienne : on lit un point $A$ et un vecteur directeur $\vec u$ , puis on écrit $\det\big(\overrightarrow{AM};\vec u\big)=0$ (ou on élimine $t$ ).
Équation cartésienne vers représentation paramétrique : on cherche un point de la droite et le vecteur directeur $\vec u(-b;a)$ .

Application 2

Déterminer une équation cartésienne de la droite $(\Delta)$ : $\begin{cases}x=1-t\\ y=3+2t\end{cases}$ $(t\in\mathbb{R})$ .
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(L)$ : $3x-y+2=0$ .

Voir la solution

$(\Delta)$ passe par $A(1;3)$ , de vecteur directeur $\vec u(-1;2)$ . $M(x;y)\in(\Delta)\iff2(x-1)+(y-3)=0\iff2x+y-5=0$ .
$B(0;2)\in(L)$ et $\vec v(1;3)$ dirige $(L)$ : $\begin{cases}x=t\\ y=2+3t\end{cases}$ $(t\in\mathbb{R})$ .

V. Positions relatives de deux droites

1. Droites parallèles

Propriété 8

On considère deux droites $(D)$ et $(D')$ de vecteurs directeurs respectifs $\vec u$ et $\vec u'$ .

$(D)\parallel(D')$ si et seulement si $\det(\vec u;\vec u')=0$ .
Si $(D):ax+by+c=0$ et $(D'):a'x+b'y+c'=0$ , alors $(D)\parallel(D')\iff ab'-a'b=0$ .
Deux droites parallèles ayant un point commun sont confondues ; sinon elles sont strictement parallèles.

2. Droites sécantes

Propriété 9

Si $\det(\vec u;\vec u')\neq0$ , les droites $(D)$ et $(D')$ sont sécantes en un unique point, dont les coordonnées vérifient les équations des deux droites.

Exemple 6

Étudier la position relative de $(D):2x+y-4=0$ et $(D'):x-y+1=0$ .

Voir la solution

$2\times(-1)-1\times1=-3\neq0$ : les droites sont sécantes. Un point $M(x;y)$ commun vérifie $y=x+1$ (équation de $(D')$ ) et, en remplaçant dans l’équation de $(D)$ : $2x+x+1-4=0$ , soit $x=1$ , puis $y=2$ . Le point d’intersection est $E(1;2)$ .

Application 3

Étudier la position relative de $(D):x+3y-5=0$ et de $(\Delta):\begin{cases}x=1+t\\ y=2-t\end{cases}$ $(t\in\mathbb{R})$ .

Voir la solution

$(D)$ a pour vecteur directeur $\vec u(-3;1)$ , $(\Delta)$ a pour vecteur directeur $\vec v(1;-1)$ ; $\det(\vec u;\vec v)=3-1=2\neq0$ : les droites sont sécantes. On remplace : $(1+t)+3(2-t)-5=0$ , soit $2-2t=0$ , donc $t=1$ : le point d’intersection est $(2;1)$ .

À retenir — l’essentiel du chapitre

$\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)$ ; milieu $\left(\frac{x_A+x_B}2;\frac{y_A+y_B}2\right)$ .
$\det(\vec u;\vec v)=xy'-x'y$ ; colinéarité $\iff\det=0$ .
Droite $ax+by+c=0$ de vecteur directeur $(-b;a)$ ; représentation paramétrique $x=x_A+\alpha t$ , $y=y_A+\beta t$ .
Parallèles $\iff$ déterminant des vecteurs directeurs nul ; sinon sécantes : on résout en remplaçant.

Série d’exercices

Dans toute la série, le plan est rapporté à un repère $(O;\vec\imath;\vec\jmath)$ .

Exercice 1 — Coordonnées Facile ★☆☆☆☆

On considère les points $A(2;-1)$ , $B(-1;3)$ et $C(4;2)$ .

Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ .
Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vec u=3\overrightarrow{AB}$ et $\vec v=\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}$ .
Déterminer les coordonnées du milieu $I$ de $[BC]$ .

Voir la solution

1) $\overrightarrow{AB}(-1-2;3+1)=\overrightarrow{AB}(-3;4)$ et $\overrightarrow{AC}(2;3)$ .

2) $\vec u(-9;12)$ ; $\ \vec v(2+6;3-8)=\vec v(8;-5)$ .

3) $I\left(\dfrac{-1+4}2;\dfrac{3+2}2\right)=I\left(\dfrac32;\dfrac52\right)$ .

Exercice 2 — Changement de repère Facile ★★☆☆☆

On considère un parallélogramme $ABCD$ de centre $O'$ . Compléter le tableau en donnant les coordonnées de chaque point dans chacun des repères indiqués.

Point	$\big(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD}\big)$	$\big(B;\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BA}\big)$	$\big(O';\overrightarrow{O'B};\overrightarrow{O'C}\big)$
$A$
$B$
$C$
$D$
$O'$

Voir la solution

On pose $\vec b=\overrightarrow{AB}$ et $\vec d=\overrightarrow{AD}$ ; alors $\overrightarrow{AC}=\vec b+\vec d$ et $\overrightarrow{AO'}=\tfrac12(\vec b+\vec d)$ .

Dans $\big(B;\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BA}\big)$ : $\overrightarrow{BC}=\vec d$ et $\overrightarrow{BA}=-\vec b$ ; par exemple $\overrightarrow{BD}=-\vec b+\vec d=1\cdot\overrightarrow{BC}+1\cdot\overrightarrow{BA}$ , donc $D(1;1)$ .
Dans $\big(O';\overrightarrow{O'B};\overrightarrow{O'C}\big)$ : $\overrightarrow{O'A}=-\overrightarrow{O'C}$ et $\overrightarrow{O'D}=-\overrightarrow{O'B}$ .

Point	$\big(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD}\big)$	$\big(B;\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BA}\big)$	$\big(O';\overrightarrow{O'B};\overrightarrow{O'C}\big)$
$A$	$(0;0)$	$(0;1)$	$(0;-1)$
$B$	$(1;0)$	$(0;0)$	$(1;0)$
$C$	$(1;1)$	$(1;0)$	$(0;1)$
$D$	$(0;1)$	$(1;1)$	$(-1;0)$
$O'$	$\left(\frac12;\frac12\right)$	$\left(\frac12;\frac12\right)$	$(0;0)$

Exercice 3 — Colinéarité et alignement Facile ★★☆☆☆

Étudier la colinéarité des vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ dans chacun des cas : a) $\vec u(4;-6)$ et $\vec v(-6;9)$ . b) $\vec u(5;2)$ et $\vec v(-2;1)$ .
Étudier l’alignement des points $A$ , $B$ et $C$ dans chacun des cas : a) $A(1;3)$ , $B(3;-1)$ et $C(0;5)$ . b) $A(-2;1)$ , $B(1;2)$ et $C(4;4)$ . c) $A(2;1)$ , $B(0;-3)$ et $C(m;5)$ , où $m$ est un réel (déterminer $m$ pour que les points soient alignés).

Voir la solution

1) a) $\det(\vec u;\vec v)=4\times9-(-6)\times(-6)=0$ : colinéaires ( $\vec v=-\tfrac32\vec u$ ).

b) $\det(\vec u;\vec v)=5\times1-(-2)\times2=9\neq0$ : non colinéaires.

2) a) $\overrightarrow{AB}(2;-4)$ , $\overrightarrow{AC}(-1;2)$ : $\det=2\times2-(-1)(-4)=0$ ; les points sont alignés.

b) $\overrightarrow{AB}(3;1)$ , $\overrightarrow{AC}(6;3)$ : $\det=9-6=3\neq0$ ; les points ne sont pas alignés.

c) $\overrightarrow{AB}(-2;-4)$ , $\overrightarrow{AC}(m-2;4)$ : $\det=-8+4(m-2)=4m-16$ . Les points sont alignés si et seulement si $m=4$ .

Exercice 4 — Équation cartésienne Facile ★★☆☆☆

Déterminer une équation cartésienne de la droite $(D)$ dans chacun des cas suivants.

$(D)$ passe par $A(1;-2)$ et a pour vecteur directeur $\vec u(3;2)$ .
$(D)$ passe par les points $A(2;1)$ et $B(-1;4)$ .
$(D)$ a pour équation réduite $y=-\dfrac23x+1$ .
$(D)$ passe par $A(0;2)$ et est parallèle à la droite $(\Delta):\begin{cases}x=1+2t\\ y=-3+t\end{cases}$ $(t\in\R)$ .
$(D)$ passe par $A(1;1)$ et est parallèle à la droite $(\Delta):3x-y+5=0$ .
$(D)$ a pour représentation paramétrique $\begin{cases}x=2-t\\ y=1+3t\end{cases}$ $(t\in\R)$ .

Voir la solution

Pour $M(x;y)$ , on écrit $\det\big(\overrightarrow{AM};\vec u\big)=0$ avec un vecteur directeur $\vec u$ .

1) $2(x-1)-3(y+2)=0$ : $\ (D):2x-3y-8=0$ .

2) $\overrightarrow{AB}(-3;3)$ : $3(x-2)+3(y-1)=0$ , soit $(D):x+y-3=0$ .

3) $y=-\tfrac23x+1\iff3y=-2x+3$ : $\ (D):2x+3y-3=0$ .

4) $\vec u(2;1)$ dirige $(\Delta)$ , donc $(D)$ : $1\cdot x-2(y-2)=0$ , soit $(D):x-2y+4=0$ .

5) $(D)$ est de la forme $3x-y+c=0$ ; $A\in(D)$ donne $3-1+c=0$ , $c=-2$ : $\ (D):3x-y-2=0$ .

6) $(D)$ passe par $(2;1)$ , de vecteur directeur $(-1;3)$ : $3(x-2)+(y-1)=0$ , soit $(D):3x+y-7=0$ .

Exercice 5 — Représentation paramétrique Facile ★★☆☆☆

Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(D)$ dans chacun des cas suivants.

$(D)$ passe par $A(1;-2)$ et a pour vecteur directeur $\vec u(3;2)$ .
$(D)$ passe par les points $A(2;1)$ et $B(-1;4)$ .
$(D)$ a pour équation réduite $y=2x-1$ .
$(D)$ passe par $A(-1;0)$ et est parallèle à la droite $(\Delta):\begin{cases}x=3-t\\ y=2t\end{cases}$ $(t\in\R)$ .
$(D)$ passe par $A(0;3)$ et est parallèle à la droite $(\Delta):2x+y-1=0$ .
$(D)$ a pour équation cartésienne $3x-2y+6=0$ .

Voir la solution

Toutes les représentations sont données pour $t\in\R$ .

1) $\begin{cases}x=1+3t\\ y=-2+2t\end{cases}$

2) Vecteur directeur $\overrightarrow{AB}(-3;3)$ : $\begin{cases}x=2-3t\\ y=1+3t\end{cases}$

3) Point $(0;-1)$ , vecteur directeur $(1;2)$ : $\begin{cases}x=t\\ y=-1+2t\end{cases}$

4) Vecteur directeur $(-1;2)$ : $\begin{cases}x=-1-t\\ y=2t\end{cases}$

5) Vecteur directeur $(-1;2)$ : $\begin{cases}x=-t\\ y=3+2t\end{cases}$

6) Point $(0;3)$ , vecteur directeur $(2;3)$ : $\begin{cases}x=2t\\ y=3+3t\end{cases}$

Exercice 6 — Positions relatives de deux droites Moyen ★★★☆☆

Dans chaque cas, étudier la position relative des droites $(D)$ et $(\Delta)$ ; si elles sont sécantes, déterminer leur point d’intersection.

$(D):x-2y+1=0$ et $(\Delta):-2x+4y+3=0$ .
$(D):2x+y-4=0$ et $(\Delta):x-y+1=0$ .
$(D):x+3y-5=0$ et $(\Delta):\begin{cases}x=1+t\\ y=2-t\end{cases}$ $(t\in\R)$ .
$(D):\begin{cases}x=2+t\\ y=-1+2t\end{cases}$ $(t\in\R)$ et $(\Delta):\begin{cases}x=3k\\ y=-5+6k\end{cases}$ $(k\in\R)$ .
$(D):\begin{cases}x=1-t\\ y=2+t\end{cases}$ $(t\in\R)$ et $(\Delta):\begin{cases}x=2k\\ y=1+k\end{cases}$ $(k\in\R)$ .

Voir la solution

1) $1\times4-(-2)\times(-2)=0$ : parallèles. Le point $(-1;0)$ de $(D)$ vérifie $2+0+3=5\neq0$ : il n’est pas sur $(\Delta)$ . Les droites sont strictement parallèles.

2) $2\times(-1)-1\times1=-3\neq0$ : sécantes. $y=x+1$ et $2x+x+1-4=0$ : $x=1$ , $y=2$ . Intersection $(1;2)$ .

3) Vecteurs directeurs $(-3;1)$ et $(1;-1)$ , $\det=2\neq0$ : sécantes. $(1+t)+3(2-t)-5=0$ donne $t=1$ : intersection $(2;1)$ .

4) Vecteurs directeurs $(1;2)$ et $(3;6)$ , $\det=6-6=0$ : parallèles. Le point $(0;-5)$ de $(\Delta)$ ( $k=0$ ) est sur $(D)$ (pour $t=-2$ : $x=0$ , $y=-5$ ). Les droites sont confondues.

5) Vecteurs directeurs $(-1;1)$ et $(2;1)$ , $\det=-1-2=-3\neq0$ : sécantes. On cherche $t$ et $k$ avec $1-t=2k$ et $2+t=1+k$ ; en additionnant : $3=1+3k$ , $k=\tfrac23$ . Intersection $\left(\dfrac43;\dfrac53\right)$ .

Exercice 7 — Synthèse Moyen ★★★☆☆

On considère la droite $(D)$ d’équation $x+2y-4=0$ et la droite $(\Delta)$ passant par les points $A(-1;3)$ et $B(1;-1)$ .

Montrer que $2x+y-1=0$ est une équation cartésienne de $(\Delta)$ .
Montrer que $(D)$ et $(\Delta)$ sont sécantes et déterminer leur point d’intersection $E$ .
Tracer les droites $(D)$ et $(\Delta)$ , le repère étant orthonormé.
On considère la droite $(L):\begin{cases}x=1+t\\ y=2-2t\end{cases}$ $(t\in\R)$ . Montrer que $(L)\parallel(\Delta)$ , puis tracer $(L)$ .

Voir la solution

1) $(a;b)=(2;1)\neq(0;0)$ : c’est l’équation d’une droite. $A$ : $-2+3-1=0$ ; $B$ : $2-1-1=0$ . Les deux points distincts $A$ et $B$ sont sur cette droite : c’est $(\Delta)$ .

2) $1\times1-2\times2=-3\neq0$ : sécantes. De $(\Delta)$ : $y=1-2x$ ; dans $(D)$ : $x+2-4x-4=0$ , soit $x=-\tfrac23$ , puis $y=\tfrac73$ . Donc $E\left(-\dfrac23;\dfrac73\right)$ .

3) et 4) $(L)$ a pour vecteur directeur $(1;-2)$ et $(\Delta)$ a pour vecteur directeur $(-1;2)$ : $\det=1\times2-(-1)(-2)=0$ , donc $(L)\parallel(\Delta)$ . $(L)$ passe par $(1;2)$ , qui n’est pas sur $(\Delta)$ ( $2+2-1\neq0$ ) : elles sont strictement parallèles.

Exercice 8 — Synthèse Difficile ★★★★☆

On considère les points $A(-2;-1)$ , $C(2;1)$ et $D(6;3)$ .

Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$ .
En déduire que les points $A$ , $C$ et $D$ sont alignés.
Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AC)$ .
On considère les droites $(D_1):2x+y-5=0$ et $(\Delta):\begin{cases}x=-1+3t\\ y=2+t\end{cases}$ $(t\in\R)$ . a) Montrer que $(D_1)$ et $(\Delta)$ sont sécantes et déterminer leur point d’intersection. b) Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(D_2)$ passant par $A$ et parallèle à $(D_1)$ . c) Déterminer une équation cartésienne de la droite $(\Delta')$ passant par $C$ et parallèle à $(\Delta)$ .

Voir la solution

1) $\overrightarrow{AC}(4;2)$ et $\overrightarrow{AD}(8;4)$ .

2) $\det\big(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD}\big)=4\times4-8\times2=0$ : $A$ , $C$ , $D$ sont alignés.

3) $2(x+2)-4(y+1)=0$ , soit $(AC):x-2y=0$ .

4) a) Vecteurs directeurs $(-1;2)$ et $(3;1)$ : $\det=-1-6=-7\neq0$ , sécantes. $2(-1+3t)+(2+t)-5=0$ donne $7t=5$ , $t=\tfrac57$ : intersection $\left(\dfrac87;\dfrac{19}7\right)$ .

b) $(D_2)$ : passe par $A(-2;-1)$ , vecteur directeur $(1;-2)$ : $\begin{cases}x=-2+t\\ y=-1-2t\end{cases}$ $(t\in\R)$ .

c) $(\Delta')$ : $1\cdot(x-2)-3(y-1)=0$ , soit $(\Delta'):x-3y+1=0$ .

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