Accueil › 2BAC PC SVT › Chapitre 12 — Probabilités

Chapitre 12 — Probabilités

Semestre 2

Chargement du PDF…

📄 CoursOuvrir le PDF · Télécharger
📄 Série d’exercicesOuvrir le PDF · Télécharger
📄 Corrigé de la sérieOuvrir le PDF · Télécharger

Versions interactives à solutions cachées — leurs boutons « Voir la solution » ne fonctionnent que dans Adobe Acrobat Reader (calques PDF non pris en charge par les navigateurs et le lecteur ci-dessus). Le lecteur affiche donc les versions classiques.

📥 Cours — version à solutions cachées (Acrobat)Télécharger
📥 Série — version à solutions cachées (Acrobat)Télécharger

Cours

Plan du chapitre. I. Dénombrement — II. Probabilités sur un ensemble fini — III. Variables aléatoires et loi binomiale.

I. Dénombrement

1. Cardinal et principe multiplicatif

Définition 1

On considère un ensemble fini $E$ . Le cardinal de $E$ , noté $\operatorname{card}(E)$ , est le nombre de ses éléments.

Propriété 1 : Principe multiplicatif

On considère une expérience qui se déroule en $p$ étapes successives. Si la première étape présente $n_1$ issues, la deuxième $n_2$ issues, …, la $p$ -ième $n_p$ issues, alors l’expérience présente $n_1\times n_2\times\cdots\times n_p$ issues.

Exemple 1

Un restaurant propose $2$ entrées, $5$ plats et $3$ desserts. Le nombre de menus différents (entrée, plat, dessert) est $2\times5\times3=30$ .

2. Arrangements et permutations

Définition 2

On considère un ensemble $E$ à $n$ éléments et un entier $p$ tel que $1\leqslant p\leqslant n$ .

Un arrangement de $p$ éléments de $E$ est une suite ordonnée de $p$ éléments distincts de $E$ .
Une permutation de $E$ est un arrangement des $n$ éléments de $E$ .

Propriété 2

Le nombre d’arrangements de $p$ éléments parmi $n$ est $A_n^p=n(n-1)\cdots(n-p+1)=\dfrac{n!}{(n-p)!}$ .
Le nombre de permutations de $n$ éléments est $n!=n\times(n-1)\times\cdots\times2\times1$ , avec la convention $0!=1$ .
Le nombre de suites de $p$ éléments de $E$ , distincts ou non, est $n^p$ .

Exemple 2

$A_6^3=6\times5\times4=120$ ; $\ 5!=120$ ; le nombre de codes de $4$ chiffres formés avec les chiffres $0$ , $1$ et $2$ (répétitions autorisées) est $3^4=81$ .

3. Combinaisons

Définition 3

On considère un ensemble $E$ à $n$ éléments et un entier $p$ tel que $0\leqslant p\leqslant n$ . Une combinaison de $p$ éléments de $E$ est une partie de $E$ à $p$ éléments (l’ordre n’intervient pas).

Propriété 3

Le nombre de combinaisons de $p$ éléments parmi $n$ est $C_n^p=\dfrac{A_n^p}{p!}=\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}$ , et l’on a : $C_n^0=C_n^n=1,\qquad C_n^p=C_n^{n-p},\qquad C_n^p+C_n^{p+1}=C_{n+1}^{p+1}.$

Exemple 3

$C_6^2=\dfrac{6\times5}{2}=15$ ; $\ C_9^3=\dfrac{9\times8\times7}{6}=84$ .

Remarque

Pour un tirage de $p$ objets parmi $n$ :

simultané : un résultat est une combinaison, il y a $C_n^p$ résultats ;
successif sans remise : un résultat est un arrangement, il y a $A_n^p$ résultats ;
successif avec remise : un résultat est une suite quelconque, il y a $n^p$ résultats.

Application 1

Une urne contient $4$ boules blanches et $5$ boules noires. On tire simultanément $3$ boules. Déterminer le nombre de tirages possibles, puis le nombre de tirages contenant exactement $2$ boules blanches.

Voir la solution

Le nombre de tirages est $C_9^3=84$ . Pour exactement $2$ blanches, on choisit $2$ blanches parmi $4$ et $1$ noire parmi $5$ : $C_4^2\times C_5^1=6\times5=30$ tirages.

II. Probabilités sur un ensemble fini

1. Expérience aléatoire et probabilité

Définition 4

Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît les résultats possibles sans pouvoir prévoir lequel se réalisera. L’ensemble $\Omega$ des résultats est l’univers ; une partie de $\Omega$ est un événement.
On considère deux événements $A$ et $B$ : $A\cap B$ est réalisé si $A$ et $B$ le sont ; $A\cup B$ si l’un au moins l’est ; l’événement contraire $\overline A$ est réalisé si $A$ ne l’est pas ; $A$ et $B$ sont incompatibles si $A\cap B=\varnothing$ .

Propriété 4

On considère une probabilité $p$ sur un univers fini $\Omega$ et deux événements $A$ et $B$ .

$p(\varnothing)=0$ , $p(\Omega)=1$ et $0\leqslant p(A)\leqslant1$ ;
$p\big(\overline A\big)=1-p(A)$ ; $\ p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$ ;
Équiprobabilité : si tous les résultats ont la même probabilité, $p(A)=\dfrac{\operatorname{card}(A)}{\operatorname{card}(\Omega)}$ .

Exemple 4

On tire au hasard une carte d’un jeu de $52$ cartes (dont $4$ as et $13$ trèfles). Pour $A$ : « as » et $B$ : « trèfle », $p(A\cup B)=\dfrac4{52}+\dfrac{13}{52}-\dfrac1{52}=\dfrac{16}{52}=\dfrac4{13}$ .

2. Probabilité conditionnelle

Définition 5

On considère deux événements $A$ et $B$ avec $p(A)\neq0$ . La probabilité de $B$ sachant $A$ est $p_A(B)=\frac{p(A\cap B)}{p(A)},\qquad\text{d'où}\qquad p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B).$

Remarque

La notation $p_A(B)$ n’est définie que si $p(A)\neq0$ ; en particulier on exclut $A=\varnothing$ (et tout événement de probabilité nulle). Autrement dit, on travaille avec des événements $A$ tels que $A\notin\{\varnothing\}$ au sens $p(A)>0$ .

3. Arbre pondéré et formule des probabilités totales

Propriété 5 : Probabilités totales

On considère des événements $A_1$ , …, $A_n$ de probabilités non nulles, deux à deux incompatibles et dont la réunion est $\Omega$ (partition de $\Omega$ ). Pour tout événement $B$ : $p(B)=p(A_1)\,p_{A_1}(B)+p(A_2)\,p_{A_2}(B)+\cdots+p(A_n)\,p_{A_n}(B).$ En particulier, $p(B)=p(A)\,p_A(B)+p\big(\overline A\big)\,p_{\overline A}(B)$ .

Remarque

Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités issues d’un même nœud vaut $1$ ; la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités de ses branches ; la probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent.

Application 2

Un atelier reçoit des pièces de deux fournisseurs : $\frac14$ viennent du fournisseur $A$ et le reste du fournisseur $\overline A$ . $\frac1{10}$ des pièces de $A$ et $\frac15$ des pièces de l’autre sont défectueuses. On choisit une pièce au hasard ; $D$ : « la pièce est défectueuse ». Calculer $p(D)$ , puis $p_D(A)$ .

Voir la solution

D’après l’arbre et la formule des probabilités totales : $p(D)=\dfrac14\times\dfrac1{10}+\dfrac34\times\dfrac15=\dfrac1{40}+\dfrac3{20}=\dfrac1{40}+\dfrac6{40}=\dfrac7{40}$ . Puis $p_D(A)=\dfrac{p(A\cap D)}{p(D)}=\dfrac{1/40}{7/40}=\dfrac17$ .

4. Indépendance

Définition 6

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$ (si $p(A)\neq0$ , cela équivaut à $p_A(B)=p(B)$ ).

Exemple 5

On lance une pièce équilibrée deux fois ; $A$ : « pile au 1er lancer », $B$ : « face au 2e lancer ». $p(A\cap B)=\dfrac14=\dfrac12\times\dfrac12$ : $A$ et $B$ sont indépendants.

5. Épreuves répétées

Propriété 6

On considère une épreuve et un événement $A$ de probabilité $p$ . Si l’on répète $n$ fois cette épreuve de façon indépendante, la probabilité que $A$ soit réalisé exactement $k$ fois ( $0\leqslant k\leqslant n$ ) est $C_n^k\,p^k\,(1-p)^{n-k}.$

Exemple 6

On lance $5$ fois un dé équilibré. La probabilité d’obtenir exactement deux fois le $6$ est $C_5^2\left(\dfrac16\right)^2\left(\dfrac56\right)^3=10\times\dfrac{125}{7776}=\dfrac{1250}{7776}=\dfrac{625}{3888}$ .

III. Variables aléatoires et loi binomiale

1. Variable aléatoire et loi de probabilité

Définition 7

Une variable aléatoire $X$ est une application de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$ ; on note $X(\Omega)=\{x_1;\dots;x_n\}$ l’ensemble de ses valeurs.
La loi de probabilité de $X$ associe à chaque valeur $x_i$ la probabilité $p_i=p(X=x_i)$ ; on a $p_1+p_2+\cdots+p_n=1$ .

2. Espérance, variance, écart-type

Définition 8

On considère une variable aléatoire $X$ de loi $\big(x_i;p_i\big)_{1\leqslant i\leqslant n}$ . $E(X)=\sum_{i=1}^n x_ip_i,\qquad V(X)=\sum_{i=1}^n x_i^2p_i-\big(E(X)\big)^2,\qquad \sigma(X)=\sqrt{V(X)}.$

Application 3

Une urne contient $4$ boules rouges et $3$ boules vertes. On tire simultanément $2$ boules ; $X$ est le nombre de boules rouges tirées. Déterminer la loi de $X$ , puis $E(X)$ et $V(X)$ .

Voir la solution

$\operatorname{card}(\Omega)=C_7^2=21$ et $X(\Omega)=\{0;1;2\}$ : $p(X=0)=\dfrac{C_3^2}{21}=\dfrac17$ , $\ p(X=1)=\dfrac{4\times3}{21}=\dfrac47$ , $\ p(X=2)=\dfrac{C_4^2}{21}=\dfrac27$ . $E(X)=1\times\dfrac47+2\times\dfrac27=\dfrac87$ ; $\ E(X^2)=1\times\dfrac47+4\times\dfrac27=\dfrac{12}7$ ; $\ V(X)=\dfrac{12}7-\dfrac{64}{49}=\dfrac{20}{49}$ .

3. Loi binomiale

Définition 9

On répète $n$ fois, de façon indépendante, une épreuve à deux issues : le succès $S$ , de probabilité $p$ , et l’échec. La variable aléatoire $X$ égale au nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ , notée $\mathcal B(n;p)$ .

Propriété 7

Si $X$ suit la loi $\mathcal B(n;p)$ , alors pour tout $k\in\{0;1;\dots;n\}$ : $p(X=k)=C_n^k\,p^k(1-p)^{n-k},\qquad E(X)=np,\qquad V(X)=np(1-p).$

Application 4

Un QCM comporte $5$ questions ; pour chacune, $5$ réponses sont proposées dont une seule est juste. Un élève répond au hasard ; $X$ est le nombre de bonnes réponses. Calculer $p(X=2)$ , $E(X)$ et $V(X)$ .

Voir la solution

Les $5$ réponses sont indépendantes, chacune juste avec la probabilité $\dfrac15$ : $X$ suit $\mathcal B\big(5;\dfrac15\big)$ . $p(X=2)=C_5^2\left(\dfrac15\right)^2\left(\dfrac45\right)^3=10\times\dfrac{64}{3125}=\dfrac{640}{3125}=\dfrac{128}{625}$ ; $\ E(X)=1$ ; $\ V(X)=5\times\dfrac15\times\dfrac45=\dfrac45$ .

Résumé

À retenir — l’essentiel du chapitre

Notion	À retenir
Arrangements / combinaisons	$A_n^p=\dfrac{n!}{(n-p)!}$ , $C_n^p=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}$
Types de tirage	Simultané : $C_n^p$ ; successif sans remise : $A_n^p$ ; avec remise : $n^p$
Probabilité	$p\big(\overline A\big)=1-p(A)$ ; $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$
Conditionnelle	$p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$ ; probabilités totales
Indépendance	$p(A\cap B)=p(A)\,p(B)$
Variable aléatoire	$E(X)=\sum x_ip_i$ , $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$ , $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$
Loi binomiale $\mathcal B(n;p)$	$p(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$ , $E=np$ , $V=np(1-p)$

Série d’exercices

Exercice 1 — Tirage simultané Facile ★☆☆☆☆

Une urne contient $8$ boules indiscernables au toucher : $3$ rouges, $3$ vertes et $2$ blanches. On tire simultanément et au hasard $3$ boules de l’urne.

Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : a) $A$ : « les trois boules tirées sont de la même couleur » ; b) $B$ : « les trois boules tirées sont de trois couleurs différentes » ; c) $C$ : « on obtient exactement deux boules rouges » ; d) $D$ : « on obtient au moins une boule blanche » ; e) $E$ : « on n’obtient aucune boule verte ».

Voir la solution

Le tirage est simultané : un résultat est une combinaison de $3$ boules parmi $8$ , toutes équiprobables. $\operatorname{card}(\Omega)=C_8^3=\dfrac{8\times7\times6}{6}=56$ .

1) a) Trois rouges : $C_3^3=1$ ; trois vertes : $C_3^3=1$ ; trois blanches : impossible. $p(A)=\dfrac{1+1}{56}=\dfrac1{28}$ .

b) Une boule de chaque couleur : $C_3^1\times C_3^1\times C_2^1=18$ . $p(B)=\dfrac{18}{56}=\dfrac9{28}$ .

c) Deux rouges parmi $3$ et une non rouge parmi $5$ : $C_3^2\times C_5^1=15$ . $p(C)=\dfrac{15}{56}$ .

d) $\overline D$ : « aucune blanche », soit $3$ boules parmi les $6$ non blanches : $C_6^3=20$ . $p(D)=1-\dfrac{20}{56}=\dfrac{36}{56}=\dfrac9{14}$ .

e) $3$ boules parmi les $5$ non vertes : $C_5^3=10$ . $p(E)=\dfrac{10}{56}=\dfrac5{28}$ .

Exercice 2 — Dénombrement Facile ★☆☆☆☆

On forme des nombres de trois chiffres à l’aide des chiffres $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ et $6$ .

Déterminer le nombre de ces nombres dont les trois chiffres sont deux à deux distincts.
Parmi les nombres de la question 1), déterminer le nombre de ceux qui sont pairs.
Déterminer le nombre de ces nombres lorsque la répétition des chiffres est permise.
Déterminer le nombre de ces nombres dont les trois chiffres sont rangés dans l’ordre strictement croissant.

Voir la solution

1) Un tel nombre est un arrangement de $3$ chiffres parmi $6$ : $A_6^3=6\times5\times4=120$ .

2) Le chiffre des unités est pair : $3$ choix ( $2$ , $4$ ou $6$ ) ; les deux autres chiffres forment un arrangement de $2$ parmi les $5$ restants : $A_5^2=20$ . Total : $3\times20=60$ .

3) Chaque position admet $6$ choix : $6^3=216$ .

4) À chaque partie de $3$ chiffres correspond un seul rangement croissant : $C_6^3=20$ .

Exercice 3 — Tirage successif sans remise Facile ★☆☆☆☆

Un sac contient $8$ cartes indiscernables au toucher : $5$ cartes portent le nombre $1$ et $3$ cartes portent le nombre $2$ . On tire successivement et sans remise deux cartes du sac.

Déterminer le nombre de tirages possibles.
a) Calculer la probabilité de l’événement $A$ : « les deux cartes tirées portent le même nombre ». b) Calculer la probabilité de l’événement $B$ : « la somme des deux nombres obtenus est égale à $3$ ».

Voir la solution

1) Tirage successif sans remise : $A_8^2=8\times7=56$ tirages, équiprobables.

2) a) Deux « $1$ » : $A_5^2=20$ ; deux « $2$ » : $A_3^2=6$ . $p(A)=\dfrac{26}{56}=\dfrac{13}{28}$ .

b) Somme $3$ : un « $1$ » et un « $2$ », dans cet ordre ou dans l’autre : $2\times5\times3=30$ . $p(B)=\dfrac{30}{56}=\dfrac{15}{28}$ (on a bien $B=\overline A$ ).

Exercice 4 — Tirage successif avec remise Facile ★★☆☆☆

Une urne contient $4$ boules blanches et $3$ boules noires, indiscernables au toucher. On tire successivement et avec remise trois boules de l’urne.

Déterminer le nombre de tirages possibles.
Calculer la probabilité d’obtenir trois boules blanches.
Calculer la probabilité d’obtenir exactement une boule noire.
Calculer la probabilité d’obtenir au moins une boule noire.
Calculer la probabilité que la première boule noire soit obtenue au troisième tirage.

Voir la solution

1) Avec remise : $7^3=343$ tirages, équiprobables.

2) $\dfrac{4^3}{343}=\dfrac{64}{343}$ .

3) Position de la noire : $C_3^1=3$ choix ; $3\times3\times4^2=144$ . Probabilité $\dfrac{144}{343}$ .

4) Événement contraire de « trois blanches » : $1-\dfrac{64}{343}=\dfrac{279}{343}$ .

5) Blanche, blanche, noire : $4\times4\times3=48$ . Probabilité $\dfrac{48}{343}$ .

Exercice 5 — Probabilité conditionnelle Facile ★★☆☆☆

Dans un lycée, les élèves de 2BAC PC SVT sont répartis en deux filières : $\frac25$ sont en PC et $\frac35$ en SVT. On sait que $\frac15$ des élèves de PC et $\frac25$ des élèves de SVT ont obtenu une mention. On choisit au hasard un élève et on considère les événements $P$ : « l’élève est en PC », $S$ : « l’élève est en SVT » et $M$ : « l’élève a obtenu une mention ».

a) Calculer $p(P\cap M)$ . b) Montrer que $p(M)=\frac8{25}$ .
a) Calculer la probabilité que l’élève soit en SVT sachant qu’il a obtenu une mention. b) Les événements $M$ et $P$ sont-ils indépendants ? Justifier.

Voir la solution

1) a) $p(P\cap M)=p(P)\times p_P(M)=\dfrac25\times\dfrac15=\dfrac2{25}$ .

b) $(P;S)$ est une partition de l’univers. $p(S\cap M)=\dfrac35\times\dfrac25=\dfrac6{25}$ , donc $p(M)=\dfrac2{25}+\dfrac6{25}=\dfrac8{25}$ .

2) a) $p_M(S)=\dfrac{p(S\cap M)}{p(M)}=\dfrac{6/25}{8/25}=\dfrac34$ .

b) $p(M)\times p(P)=\dfrac8{25}\times\dfrac25=\dfrac{16}{125}\neq\dfrac2{25}=\dfrac{10}{125}=p(P\cap M)$ : $M$ et $P$ ne sont pas indépendants.

Exercice 6 — Lancer de dé Facile ★★☆☆☆

On lance deux fois de suite un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$ , et on note le couple des numéros obtenus.

a) Déterminer le nombre de résultats possibles. b) Calculer la probabilité que la somme des deux numéros soit égale à $8$ .
Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : a) $A$ : « les deux numéros obtenus sont égaux » ; b) $B$ : « le produit des deux numéros obtenus est pair ».

Voir la solution

1) a) Chaque lancer a $6$ issues : $6\times6=36$ couples équiprobables.

b) Couples de somme $8$ : $(2;6)$ , $(3;5)$ , $(4;4)$ , $(5;3)$ , $(6;2)$ . Probabilité $\dfrac5{36}$ .

2) a) Six couples $(k;k)$ : $p(A)=\dfrac6{36}=\dfrac16$ .

b) Le produit est impair si et seulement si les deux numéros sont impairs : $3\times3=9$ couples. $p(B)=1-\dfrac9{36}=\dfrac34$ .

Exercice 7 — Indépendance Facile ★★☆☆☆

On considère deux événements $A$ et $B$ d’un même univers tels que $p(A)=\frac13$ , $p(B)=\frac35$ et $p(A\cup B)=\frac{11}{15}$ .

a) Calculer $p(A\cap B)$ . b) Montrer que les événements $A$ et $B$ sont indépendants.
Calculer $p\big(\overline A\cap\overline B\big)$ , puis vérifier que $p\big(\overline A\cap\overline B\big)=p\big(\overline A\big)\times p\big(\overline B\big)$ .

Voir la solution

1) a) $p(A\cap B)=p(A)+p(B)-p(A\cup B)=\dfrac13+\dfrac35-\dfrac{11}{15}=\dfrac5{15}+\dfrac9{15}-\dfrac{11}{15}=\dfrac3{15}=\dfrac15$ .

b) $p(A)\times p(B)=\dfrac13\times\dfrac35=\dfrac15=p(A\cap B)$ : $A$ et $B$ sont indépendants.

2) $\overline A\cap\overline B=\overline{A\cup B}$ , donc $p\big(\overline A\cap\overline B\big)=1-\dfrac{11}{15}=\dfrac4{15}$ , et $p\big(\overline A\big)\times p\big(\overline B\big)=\dfrac23\times\dfrac25=\dfrac4{15}$ .

Exercice 8 — Probabilités totales Moyen ★★★☆☆

On dispose de deux urnes : l’urne $U_1$ contient $4$ boules rouges et $2$ boules bleues ; l’urne $U_2$ contient $1$ boule rouge et $4$ boules bleues. On lance un dé cubique équilibré numéroté de $1$ à $6$ : si l’on obtient $1$ ou $2$ , on tire une boule de $U_1$ ; sinon, on tire une boule de $U_2$ . On considère les événements $U_1$ : « le tirage se fait dans $U_1$ », $U_2$ : « le tirage se fait dans $U_2$ » et $R$ : « la boule tirée est rouge ».

Construire un arbre pondéré traduisant cette situation.
Montrer que $p(R)=\frac{16}{45}$ .
Calculer la probabilité que le tirage se soit fait dans $U_1$ sachant que la boule tirée est rouge.
En déduire la probabilité que la boule tirée soit bleue.

Voir la solution

1) $p(U_1)=\dfrac26=\dfrac13$ , $p(U_2)=\dfrac23$ , $p_{U_1}(R)=\dfrac46=\dfrac23$ , $p_{U_2}(R)=\dfrac15$ .

2) Probabilités totales : $p(R)=\dfrac13\times\dfrac23+\dfrac23\times\dfrac15=\dfrac29+\dfrac2{15}=\dfrac{10}{45}+\dfrac6{45}=\dfrac{16}{45}$ .

3) $p_R(U_1)=\dfrac{p(U_1\cap R)}{p(R)}=\dfrac{2/9}{16/45}=\dfrac{10}{16}=\dfrac58$ .

4) $p\big(\overline R\big)=1-\dfrac{16}{45}=\dfrac{29}{45}$ .

Exercice 9 — Épreuves répétées Facile ★★☆☆☆

Un tireur atteint sa cible avec la probabilité $\frac34$ à chaque tir, les tirs étant indépendants. Le tireur effectue $4$ tirs.

Calculer la probabilité que le tireur atteigne la cible exactement $2$ fois.

Voir la solution

1) On répète $4$ fois, de façon indépendante, une épreuve dont le succès a pour probabilité $\dfrac34$ : $C_4^2\left(\dfrac34\right)^2\left(\dfrac14\right)^2=6\times\dfrac9{16}\times\dfrac1{16}=\dfrac{54}{256}=\dfrac{27}{128}$ .

Exercice 10 — Variable aléatoire Facile ★★☆☆☆

Une urne contient $6$ boules indiscernables au toucher : $3$ rouges et $3$ noires. On tire simultanément et au hasard deux boules de l’urne. On considère la variable aléatoire $X$ égale au nombre de boules rouges tirées.

Déterminer le nombre de tirages possibles, puis les valeurs prises par $X$ .
Déterminer la loi de probabilité de $X$ .
Calculer l’espérance mathématique $E(X)$ .
Calculer la variance $V(X)$ et l’écart-type $\sigma(X)$ .

Voir la solution

1) $C_6^2=15$ tirages équiprobables ; $X(\Omega)=\{0;1;2\}$ .

2) $p(X=0)=\dfrac{C_3^2}{15}=\dfrac15$ ; $p(X=1)=\dfrac{3\times3}{15}=\dfrac35$ ; $p(X=2)=\dfrac{C_3^2}{15}=\dfrac15$ (somme $1$ ).

3) $E(X)=0\times\dfrac15+1\times\dfrac35+2\times\dfrac15=1$ .

4) $E(X^2)=\dfrac35+\dfrac45=\dfrac75$ ; $V(X)=\dfrac75-1=\dfrac25$ ; $\sigma(X)=\sqrt{\dfrac25}=\dfrac{\sqrt{10}}5$ .

Exercice 11 — Jeu et gain Moyen ★★★☆☆

Une urne contient $3$ boules blanches et $2$ boules noires, indiscernables au toucher. Un joueur tire successivement et avec remise deux boules de l’urne. Chaque boule blanche lui fait gagner $8$ DH et chaque boule noire lui fait perdre $4$ DH. On considère la variable aléatoire $G$ égale au gain algébrique du joueur (en DH).

Déterminer le nombre de tirages possibles, puis vérifier que $G$ prend les valeurs $-8$ , $4$ et $16$ .
a) Calculer $p(G=16)$ . b) Calculer $p(G=-8)$ .
a) Déterminer la loi de probabilité de $G$ . b) Calculer l’espérance $E(G)$ ; le jeu est-il favorable au joueur ? c) Calculer la variance $V(G)$ . d) En déduire l’écart-type $\sigma(G)$ .

Voir la solution

1) Avec remise : $5^2=25$ tirages équiprobables. Deux blanches : $G=16$ ; une blanche et une noire : $G=4$ ; deux noires : $G=-8$ .

2) a) $p(G=16)=\dfrac{3^2}{25}=\dfrac9{25}$ .

b) $p(G=-8)=\dfrac{2^2}{25}=\dfrac4{25}$ .

3) a) $p(G=4)=\dfrac{2\times3\times2}{25}=\dfrac{12}{25}$ . Loi : $p(G=-8)=\dfrac4{25}$ , $p(G=4)=\dfrac{12}{25}$ , $p(G=16)=\dfrac9{25}$ .

b) $E(G)=-8\times\dfrac4{25}+4\times\dfrac{12}{25}+16\times\dfrac9{25}=\dfrac{-32+48+144}{25}=\dfrac{160}{25}=\dfrac{32}5$ . Comme $E(G)>0$ , le jeu est favorable au joueur.

c) $E(G^2)=64\times\dfrac4{25}+16\times\dfrac{12}{25}+256\times\dfrac9{25}=\dfrac{256+192+2304}{25}=\dfrac{2752}{25}$ ; $V(G)=\dfrac{2752}{25}-\left(\dfrac{32}5\right)^2=\dfrac{2752}{25}-\dfrac{1024}{25}=\dfrac{1728}{25}$ .

d) $\sigma(G)=\sqrt{\dfrac{1728}{25}}=\dfrac{24\sqrt3}5$ .

Exercice 12 — Variable aléatoire et loi binomiale Moyen ★★★☆☆

Partie I. Une boîte contient $8$ fruits dont $3$ sont abîmés. On prélève simultanément et au hasard $3$ fruits de la boîte.

Déterminer le nombre de prélèvements possibles.
Calculer la probabilité de l’événement $A$ : « aucun fruit prélevé n’est abîmé ».
Calculer la probabilité d’obtenir exactement un fruit abîmé.
On considère la variable aléatoire $X$ égale au nombre de fruits abîmés prélevés. a) Déterminer la loi de probabilité de $X$ . b) Calculer $E(X)$ et $V(X)$ .

Partie II. On répète $4$ fois l’épreuve de la partie I, en remettant à chaque fois les fruits dans la boîte. On considère la variable aléatoire $Y$ égale au nombre de fois où l’événement $A$ est réalisé.

Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Calculer $p(Y=1)$ .
Calculer $E(Y)$ et $V(Y)$ .

Voir la solution

Partie I.

1) $C_8^3=\dfrac{8\times7\times6}{6}=56$ .

2) $p(A)=\dfrac{C_5^3}{56}=\dfrac{10}{56}=\dfrac5{28}$ .

3) Exactement un abîmé : $C_3^1\times C_5^2=30$ . Probabilité $\dfrac{30}{56}=\dfrac{15}{28}$ .

4) a) $X(\Omega)=\{0;1;2;3\}$ : $p(X=0)=\dfrac{10}{56}$ , $p(X=1)=\dfrac{30}{56}$ , $p(X=2)=\dfrac{C_3^2\times C_5^1}{56}=\dfrac{15}{56}$ , $p(X=3)=\dfrac{C_3^3}{56}=\dfrac1{56}$ .

b) $E(X)=\dfrac{0+30+30+3}{56}=\dfrac{63}{56}=\dfrac98$ ; $E(X^2)=\dfrac{0+30+60+9}{56}=\dfrac{99}{56}$ ; $V(X)=\dfrac{99}{56}-\left(\dfrac98\right)^2=\dfrac{99}{56}-\dfrac{81}{64}=\dfrac{792-567}{448}=\dfrac{225}{448}$ .

Partie II.

1) Les $4$ épreuves sont indépendantes, identiques, et $A$ a pour probabilité $\dfrac5{28}$ : $Y$ suit $\mathcal B\big(4;\dfrac5{28}\big)$ .

2) $p(Y=1)=C_4^1\left(\dfrac5{28}\right)\left(\dfrac{23}{28}\right)^3=\dfrac{4\times5\times23^3}{28^4}=\dfrac{243340}{614656}=\dfrac{60835}{153664}$ .

3) $E(Y)=4\times\dfrac5{28}=\dfrac57$ ; $V(Y)=4\times\dfrac5{28}\times\dfrac{23}{28}=\dfrac{115}{196}$ .

Exercice 13 — Test de dépistage Difficile ★★★★☆

Dans une population, une maladie touche $\frac1{25}$ des individus. Un test de dépistage est positif pour $\frac45$ des malades et pour $\frac1{25}$ des non-malades. On choisit au hasard un individu et on considère les événements $M$ : « l’individu est malade » et $T$ : « le test est positif ».

a) Construire un arbre pondéré traduisant cette situation. b) Montrer que $p(T)=\frac{44}{625}$ .
Calculer la probabilité qu’un individu dont le test est positif soit malade.
a) Calculer $p\big(\overline T\big)$ . b) Calculer $p_{\overline T}\big(\overline M\big)$ et interpréter le résultat.
Le test se trompe lorsqu’il est négatif pour un malade ou positif pour un non-malade. Calculer la probabilité que le test se trompe.

Voir la solution

1) a) $p(M)=\dfrac1{25}$ , $p\big(\overline M\big)=\dfrac{24}{25}$ , $p_M(T)=\dfrac45$ , $p_{\overline M}(T)=\dfrac1{25}$ .

b) $p(T)=\dfrac1{25}\times\dfrac45+\dfrac{24}{25}\times\dfrac1{25}=\dfrac4{125}+\dfrac{24}{625}=\dfrac{20}{625}+\dfrac{24}{625}=\dfrac{44}{625}$ .

2) $p_T(M)=\dfrac{p(M\cap T)}{p(T)}=\dfrac{4/125}{44/625}=\dfrac{20}{44}=\dfrac5{11}$ .

3) a) $p\big(\overline T\big)=1-\dfrac{44}{625}=\dfrac{581}{625}$ .

b) $p\big(\overline M\cap\overline T\big)=\dfrac{24}{25}\times\dfrac{24}{25}=\dfrac{576}{625}$ , donc $p_{\overline T}\big(\overline M\big)=\dfrac{576}{581}$ . Interprétation : parmi les individus au test négatif, la proportion de non-malades est $\dfrac{576}{581}$ .

4) $p(\text{erreur})=\dfrac1{25}\times\dfrac15+\dfrac{24}{25}\times\dfrac1{25}=\dfrac1{125}+\dfrac{24}{625}=\dfrac5{625}+\dfrac{24}{625}=\dfrac{29}{625}$ .

Exercice 14 — Problème avec paramètre Difficile ★★★★★

On considère un entier naturel $n\geqslant1$ . Une urne contient $n$ boules blanches et $3$ boules rouges, indiscernables au toucher. On tire simultanément et au hasard deux boules de l’urne.

a) Montrer que la probabilité de tirer deux boules rouges est $\dfrac{6}{(n+2)(n+3)}$ . b) Montrer que la probabilité de tirer deux boules de couleurs différentes est $p_n=\dfrac{6n}{(n+2)(n+3)}$ .
Déterminer les entiers $n$ pour lesquels $p_n=\frac12$ .
Dans cette question, on prend $n=6$ . On considère la variable aléatoire $X$ égale au nombre de boules rouges tirées. a) Déterminer la loi de probabilité de $X$ . b) Calculer $E(X)$ . c) Calculer $V(X)$ .

Voir la solution

1) a) $\operatorname{card}(\Omega)=C_{n+3}^2=\dfrac{(n+3)(n+2)}2$ . Deux rouges : $C_3^2=3$ , d’où $p=\dfrac{3}{C_{n+3}^2}=\dfrac{6}{(n+2)(n+3)}$ .

b) Une blanche et une rouge : $n\times3=3n$ tirages. $p_n=\dfrac{3n}{C_{n+3}^2}=\dfrac{6n}{(n+2)(n+3)}$ .

2) $p_n=\dfrac12\iff 12n=(n+2)(n+3)=n^2+5n+6\iff n^2-7n+6=0\iff(n-1)(n-6)=0$ . Les entiers solutions sont $n=1$ et $n=6$ .

3) a) Avec $n=6$ : $\operatorname{card}(\Omega)=C_9^2=36$ ; $X(\Omega)=\{0;1;2\}$ . $p(X=0)=\dfrac{C_6^2}{36}=\dfrac{15}{36}=\dfrac5{12}$ , $p(X=1)=\dfrac{6\times3}{36}=\dfrac12$ , $p(X=2)=\dfrac{C_3^2}{36}=\dfrac1{12}$ .

b) $E(X)=\dfrac12+\dfrac2{12}=\dfrac12+\dfrac16=\dfrac23$ .

c) $E(X^2)=\dfrac12+\dfrac4{12}=\dfrac12+\dfrac13=\dfrac56$ ; $V(X)=\dfrac56-\dfrac49=\dfrac{15-8}{18}=\dfrac7{18}$ .

← Retour aux chapitres 2BAC PC SVT