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Chapitre 9 — Limite d’une fonction

Semestre 2

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Cours

Plan du chapitre. I. Limites usuelles — II. Opérations sur les limites — III. Limites des polynômes et des fonctions rationnelles — IV. Limites des fonctions trigonométriques — V. Limite et ordre — VI. Détermination graphique des limites — VII. Définition mathématique de la limite — Résumé.

Prérequis. Fonctions numériques (Ch. 04), calcul algébrique, ordre dans $\R$ , trigonométrie (Ch. 08). La continuité et la dérivation ne sont pas encore étudiées : elles ne sont pas utilisées ici.

I. Limites usuelles

1) Activité d’introduction

Activité 1

Compléter un tableau de valeurs de $x^2$ , $x^3$ , $\sqrt x$ et $\frac1x$ pour $x\in\{1;10;10^2;10^3;10^6\}$ .
Que deviennent ces nombres lorsque $x$ prend des valeurs de plus en plus grandes ? Et $\frac1x$ lorsque $x$ s’approche de $0$ en restant positif, puis négatif ?

Voir la solution

Par exemple pour $x=10^6$ : $x^2=10^{12}$ , $x^3=10^{18}$ , $\sqrt x=10^3$ , $\frac1x=10^{-6}$ .
$x^2$ , $x^3$ , $\sqrt x$ deviennent aussi grands que l’on veut : on dit qu’ils tendent vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ ; $\frac1x$ s’approche de $0$ . Quand $x$ s’approche de $0$ par valeurs positives, $\frac1x$ devient aussi grand que l’on veut ( $+\infty$ ) ; par valeurs négatives, il tend vers $-\infty$ .

2) Limites usuelles

Propriété 1 : limites usuelles (admises)

Soit $n\in\N^*$ .

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty$ ; $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^n=+\infty$ si $n$ est pair, $-\infty$ si $n$ est impair ; $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt x=+\infty$ .
$\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\frac1{x^n}=0$ ; $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac1{\sqrt x}=0$ ; $\displaystyle\lim_{x\to0}x^n=0$ ; $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\sqrt x=0$ .
$\displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac1{x^n}=+\infty$ ; $\displaystyle\lim_{x\to0^-}\frac1{x^n}=+\infty$ si $n$ est pair, $-\infty$ si $n$ est impair ; $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac1{\sqrt x}=+\infty$ .
Pour tout $a\in\R$ et tout $c\in\R$ : $\displaystyle\lim_{x\to a}c=c$ et $\displaystyle\lim_{x\to a}x=a$ .

3) Limite à droite, limite à gauche

Définition 1

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $]a;a+r[$ (resp. $]a-r;a[$ ), $r>0$ . On note $\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)$ (resp. $\displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x)$ ) la limite de $f$ à droite (resp. à gauche) en $a$ .

Propriété 2

$f$ admet la limite $\ell$ en $a$ si et seulement si $\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)=\lim_{x\to a^-}f(x)=\ell$ . En particulier, si les limites à droite et à gauche en $a$ sont différentes, $f$ n’admet pas de limite en $a$ .

Remarque 1 : conditions d’existence

Pour parler de $\lim_{x\to a}f(x)$ , il faut que $f$ soit définie au voisinage de $a$ (sauf peut-être en $a$ ), par exemple sur $]a-r;a[\cup]a;a+r[$ ; pour $\lim_{x\to+\infty}f(x)$ , il faut que $f$ soit définie sur un intervalle $]B;+\infty[$ .

Exemple 1

Soit $f$ définie par $f(x)=\sqrt x-5$ si $x>4$ et $f(x)=x-5+\frac1x$ si $x<4$ , $x\neq0$ . Étudier la limite de $f$ en $4$ .

Voir la solution

$\displaystyle\lim_{x\to4^+}f(x)=2-5=-3$ et $\displaystyle\lim_{x\to4^-}f(x)=-1+\frac14=-\frac34$ . Ces limites sont différentes : $f$ n’admet pas de limite en $4$ .

II. Opérations sur les limites

1) Tableaux d’opérations

Propriété 3 : somme, produit, quotient (admise)

$\ell$ et $\ell'$ désignent des réels ; les limites sont prises au même point ( $a$ , $a^\pm$ ou $\pm\infty$ ).

$\lim f$	$\ell$	$\ell$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$
$\lim g$	$\ell'$	$\pm\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$
$\lim(f+g)$	$\ell+\ell'$	$\pm\infty$	$+\infty$	$-\infty$	F.I.

$\lim f$	$\ell$	$\ell\neq0$	$\pm\infty$	$0$
$\lim g$	$\ell'$	$\pm\infty$	$\pm\infty$	$\pm\infty$
$\lim(f\times g)$	$\ell\ell'$	$\pm\infty$ (règle des signes)	$\pm\infty$ (règle des signes)	F.I.

$\lim f$	$\ell$	$\ell$	$\ell\neq0$	$\pm\infty$	$\pm\infty$	$0$
$\lim g$	$\ell'\neq0$	$\pm\infty$	$0^+$ ou $0^-$	$\ell'$	$\pm\infty$	$0$
$\lim\frac fg$	$\frac{\ell}{\ell'}$	$0$	$\pm\infty$ (signes)	$\pm\infty$ (signes)	F.I.	F.I.

Propriété 4 : racine carrée et valeur absolue

Si $f\ge0$ au voisinage du point et $\lim f=\ell\ge0$ , alors $\lim\sqrt f=\sqrt\ell$ ; si $\lim f=+\infty$ , alors $\lim\sqrt f=+\infty$ . Si $\lim f=\ell$ , alors $\lim|f|=|\ell|$ .

Remarque 2 : les quatre formes indéterminées

$+\infty-\infty$ , $0\times\infty$ , $\frac\infty\infty$ et $\frac00$ . Pour « lever » l’indétermination : factorisation (par $x-a$ ou par le terme dominant), identités remarquables, expression conjuguée, changement de variable, encadrement.

2) Exemples

Exemple 2 : formes déterminées

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\frac1{x^2}+\frac1{\sqrt x}+x\right)$ et $\displaystyle\lim_{x\to2^+}\frac{4}{2-x}$ .

Voir la solution

La première est $0+0+(+\infty)=+\infty$ . Pour la seconde : $2-x\to0^-$ , forme $\frac4{0^-}$ , la limite est $-\infty$ .

Exemple 3 : factorisation par $x-a$

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}$ et $\displaystyle\lim_{x\to3}\frac{x^3-27}{x^2+x-12}$ .

Voir la solution

$\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\to6$ . $\frac{(x-3)(x^2+3x+9)}{(x-3)(x+4)}=\frac{x^2+3x+9}{x+4}\to\frac{27}7$ .

Méthode expression conjuguée

$(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)=a-b$ et $(\sqrt a-b)(\sqrt a+b)=a-b^2$ ( $a,b\ge0$ ).

Application 1

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to4}\frac{x-4}{\sqrt x-2}$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)$ .

Voir la solution

$\frac{x-4}{\sqrt x-2}=\sqrt x+2\to4$ . $\sqrt{x^2+x}-x=\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac1{\sqrt{1+\frac1x}+1}\to\frac12$ .

III. Limites des polynômes et des fonctions rationnelles

Propriété 5

Soient $P$ et $Q$ deux polynômes, $a\in\R$ avec $Q(a)\neq0$ .

$\displaystyle\lim_{x\to a}P(x)=P(a)$ et $\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P(a)}{Q(a)}$ .
En $\pm\infty$ , un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré ; une fraction rationnelle a la même limite que le quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

Exemple 4

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(x^2-3x^5+1)$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{-x^3+3x^2-4x+5}{x^2+x^3-1}$ .

Voir la solution

$\lim_{-\infty}(-3x^5)=+\infty$ . $\lim_{+\infty}\frac{-x^3}{x^3}=-1$ .

Remarque 3 : forme $\sqrt{ax^2+bx+c}\pm(\alpha x+\beta)$

Si $\sqrt a=|\alpha|$ (forme indéterminée), on multiplie par l’expression conjuguée ; sinon on factorise par $x$ sous la racine en utilisant $\sqrt{x^2}=|x|$ .

IV. Limites des fonctions trigonométriques

Propriété 6 (admise)

Pour tout $a\in\R$ : $\displaystyle\lim_{x\to a}\cos x=\cos a$ et $\displaystyle\lim_{x\to a}\sin x=\sin a$ ; pour $a\neq\frac\pi2+k\pi$ ( $k\in\Z$ ) : $\displaystyle\lim_{x\to a}\tan x=\tan a$ .
$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}x=1$ ; $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan x}x=1$ ; $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12$ .
Pour $a\neq0$ : $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(ax)}{ax}=\lim_{x\to0}\frac{\tan(ax)}{ax}=1$ et $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos(ax)}{(ax)^2}=\frac12$ .

Exemple 5

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{4x}$ , $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos(5x)}{x^2}$ et $\displaystyle\lim_{x\to5}\frac{\tan(x-5)}{x-5}$ .

Voir la solution

$\frac34\cdot\frac{\sin3x}{3x}\to\frac34$ ; $25\cdot\frac{1-\cos5x}{(5x)^2}\to\frac{25}2$ ; avec $X=x-5\to0$ , $\frac{\tan X}X\to1$ .

Attention

Les fonctions $\cos$ , $\sin$ et $\tan$ n’admettent pas de limite en $\pm\infty$ .

V. Limite et ordre

Propriété 7 (admise)

Soient $f$ , $g$ , $h$ définies au voisinage du point considéré ( $a$ , $a^\pm$ ou $\pm\infty$ ), et $\ell\in\R$ .

Si $g\le f\le h$ et $\lim g=\lim h=\ell$ , alors $\lim f=\ell$ (« gendarmes »).
Si $|f-\ell|\le u$ et $\lim u=0$ , alors $\lim f=\ell$ .
Si $f\ge u$ et $\lim u=+\infty$ , alors $\lim f=+\infty$ ; si $f\le u$ et $\lim u=-\infty$ , alors $\lim f=-\infty$ .

Exemple 6

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(x^2+\cos x)$ , $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}x$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{E(x)}x$ .

Voir la solution

$x^2+\cos x\ge x^2-1\to+\infty$ , donc la limite est $+\infty$ . $\left|\frac{\sin x}x\right|\le\frac1x\to0$ : la limite est $0$ . Pour $x>0$ : $x-1<E(x)\le x$ , donc $1-\frac1x<\frac{E(x)}x\le1$ : la limite est $1$ .

VI. Détermination graphique des limites

Méthode

Sur la courbe d’une fonction : une branche qui se rapproche d’une droite horizontale $y=\ell$ au voisinage de $+\infty$ traduit $\lim_{+\infty}f=\ell$ ; une branche qui « monte » indéfiniment le long de la droite $x=a$ traduit une limite $+\infty$ (à droite ou à gauche) en $a$ . On lit aussi le tableau de variations complété par ces limites.

VII. Définition mathématique de la limite

Définition 2

Soient $a,\ell\in\R$ et $f$ définie au voisinage de $a$ (sauf peut-être en $a$ ).

$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell\iff(\forall\varepsilon>0)(\exists\alpha>0)(\forall x\in D_f)\ \ 0<|x-a|<\alpha\Rightarrow|f(x)-\ell|<\varepsilon$ .
$\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)=+\infty\iff(\forall A>0)(\exists\alpha>0)(\forall x\in D_f)\ \ 0<x-a<\alpha\Rightarrow f(x)>A$ .
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell\iff(\forall\varepsilon>0)(\exists B>0)(\forall x\in D_f)\ \ x>B\Rightarrow|f(x)-\ell|<\varepsilon$ .
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\iff(\forall A>0)(\exists B>0)(\forall x\in D_f)\ \ x<-B\Rightarrow f(x)<-A$ .

Les autres cas ( $a^-$ , $-\infty$ comme limite, etc.) s’écrivent de la même manière.

Exemple 7

Montrer, à l’aide de la définition, que $\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x+9}{2x+3}=2$ .

Voir la solution

Soit $\varepsilon>0$ . $\left|\frac{x+9}{2x+3}-2\right|=\frac{3|x-1|}{|2x+3|}$ . Si $|x-1|<1$ , alors $2x+3>3$ et donc $|f(x)-2|<|x-1|$ . On pose $\alpha=\min(1;\varepsilon)$ : si $0<|x-1|<\alpha$ , alors $|f(x)-2|<\varepsilon$ .

Résumé

À retenir

Formes indéterminées : $+\infty-\infty$ , $0\times\infty$ , $\frac\infty\infty$ , $\frac00$ .
Polynôme / fraction rationnelle en $\pm\infty$ : termes de plus haut degré.
$\frac{\ell}{0^\pm}$ ( $\ell\neq0$ ) : étudier le signe du dénominateur.
$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}x=\lim_{x\to0}\frac{\tan x}x=1$ , $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12$ .
Encadrement (gendarmes), comparaison, partie entière : $x-1<E(x)\le x$ .

Série d’exercices

Remarque — méthodes utilisées

Forme déterminée : on applique directement les opérations sur les limites ; pour une forme $\frac{\ell}{0}$ ( $\ell\neq0$ ), on étudie le signe du dénominateur au voisinage du point.
Forme indéterminée ( $\infty-\infty$ , $0\times\infty$ , $\frac\infty\infty$ , $\frac00$ ) : factorisation par $(x-a)$ , identités remarquables, expression conjuguée, factorisation par le terme dominant, changement de variable, encadrement.
Trigonométrie : $\displaystyle\lim_{X\to0}\frac{\sin X}X=\lim_{X\to0}\frac{\tan X}X=1$ et $\displaystyle\lim_{X\to0}\frac{1-\cos X}{X^2}=\frac12$ .
Tous les résultats ont été contrôlés avec Python/sympy (build/verif_lot1.py).

Cadre. Toute réponse doit être justifiée. Pour chaque limite, on vérifiera d’abord que la fonction est bien définie au voisinage du point considéré, puis on précisera la forme obtenue (forme déterminée ou forme indéterminée) avant de la lever. Les notions de continuité et de dérivation ne sont pas utilisées dans ce chapitre. Difficulté : de $\bigstar$ à $\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar$ .

Exercice 1 — Opérations sur les limites (formes déterminées) Facile ★☆☆☆☆

Calculer chacune des limites suivantes (dans chaque cas, la variable $x$ est un réel appartenant au domaine de définition de l’expression) :

$\displaystyle\lim_{x\to4}\left(5x^3+2-\frac{3}{\sqrt x}\right)$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to3^+}\frac{x^2+x}{x^2-x-6}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to1^-}\frac{4x-1}{x^2-4x+3}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to2^+}\frac{3x-7}{2-x}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to0^-}\frac{5}{x-x^2}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to3^-}\frac{1}{9-x^2}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(2-x)^3\left(1-3x^2\right)$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to0^-}\left(\frac1{x^4}-\frac1{x^3}\right)$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to0^-}\sqrt{2-\frac3x}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to-3}\sqrt{1-5x}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to1^+}\left(\frac{3x}{x-1}-\frac{2}{1-x^2}\right)$ .

Voir la solution

1. Forme déterminée : $\displaystyle\lim_{x\to4}\left(5x^3+2-\frac3{\sqrt x}\right)=5\times64+2-\frac32=\frac{641}2$ .

2. $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$ . Quand $x\to3^+$ : $x-3\to0^+$ et $x+2\to5$ , donc le dénominateur tend vers $0^+$ ; le numérateur tend vers $12>0$ . Forme $\frac{12}{0^+}$ : la limite est $+\infty$ .

3. $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$ . Pour $x\to1^-$ : $x-1<0$ et $x-3<0$ , donc le dénominateur tend vers $0^+$ ; le numérateur tend vers $3$ . La limite est $+\infty$ .

4. Pour $x\to2^+$ : $2-x\to0^-$ et $3x-7\to-1$ . Forme $\frac{-1}{0^-}$ : la limite est $+\infty$ .

5. $x-x^2=x(1-x)$ ; pour $x\to0^-$ : $x<0$ et $1-x>0$ , donc $x-x^2\to0^-$ . Forme $\frac5{0^-}$ : la limite est $-\infty$ .

6. $9-x^2=(3-x)(3+x)$ ; pour $x\to3^-$ : $3-x>0$ , donc $9-x^2\to0^+$ . La limite est $+\infty$ .

7. $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(2-x)^3=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(1-3x^2)=-\infty$ ; le produit tend vers $-\infty$ .

8. Pour $x\to0^-$ : $\frac1{x^4}\to+\infty$ et $x^3\to0^-$ donc $-\frac1{x^3}\to+\infty$ . Somme de deux limites $+\infty$ : la limite est $+\infty$ .

9. Pour $x\to0^-$ : $-\frac3x\to+\infty$ , donc $2-\frac3x\to+\infty$ et $\sqrt{2-\frac3x}\to+\infty$ .

10. $1-5\times(-3)=16\ge0$ : $\displaystyle\lim_{x\to-3}\sqrt{1-5x}=\sqrt{16}=4$ .

11. $\frac{3x}{x-1}\to+\infty$ (forme $\frac3{0^+}$ ) et $-\frac2{1-x^2}=\frac2{(x-1)(x+1)}\to+\infty$ (forme $\frac2{0^+}$ ). La somme tend vers $+\infty$ .

Exercice 2 — Formes indéterminées : factorisation, identités remarquables Facile ★★☆☆☆

Calculer les limites suivantes :

$\displaystyle\lim_{x\to-1^+}\frac{3x^2+5x+2}{-x^3+x^2+5x+3}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to16}\frac{x-16}{\sqrt x-4}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(3x-2\sqrt x\right)$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to0^+}\left(\frac1{x^2}-\frac1{x^3}\right)$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{\sqrt x-\sqrt2}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x^2+2x-3}{3x^2-x-2}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to3}\frac{x-\sqrt{3x}}{x-3}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to3}\frac{\sqrt x-\sqrt3}{x^2-3x}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x^3-8}{x-2}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x^5-1}{x^3-1}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{(3+x)^3-27}{x}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to1^+}\frac{x^2+2x-3}{(x-1)^2}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{(x+1)^3+(x-2)^2-5}{x}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to3^+}\frac{x^3-2x-21}{x^3-5x^2+3x+9}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{2x^3-4x^2-x+2}{x^2-5x+6}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{3x-1}-2x^2+x+5\right)$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{5-x}-x^4+x\right)$ .

Voir la solution

1. Forme $\frac00$ . $-1$ est racine des deux polynômes : $3x^2+5x+2=(x+1)(3x+2)$ et $-x^3+x^2+5x+3=-(x+1)^2(x-3)$ . Pour $x\neq-1$ : $\frac{3x^2+5x+2}{-x^3+x^2+5x+3}=\frac{3x+2}{-(x+1)(x-3)} .$ Quand $x\to-1^+$ : $3x+2\to-1$ et $-(x+1)(x-3)\to0^+$ (car $x+1>0$ et $x-3<0$ ). La limite est $-\infty$ .

2. Forme $\frac00$ ; pour $x\ge0$ , $x\neq16$ : $x-16=(\sqrt x-4)(\sqrt x+4)$ , donc la limite vaut $\lim_{x\to16}(\sqrt x+4)=8$ .

3. Forme $\infty-\infty$ . Pour $x>0$ : $3x-2\sqrt x=x\left(3-\frac2{\sqrt x}\right)$ ; $3-\frac2{\sqrt x}\to3$ donc la limite est $+\infty$ .

4. Forme $\infty-\infty$ . $\frac1{x^2}-\frac1{x^3}=\frac{x-1}{x^3}$ : forme $\frac{-1}{0^+}$ , la limite est $-\infty$ .

5. $x^2-4=(x-2)(x+2)$ et $x-2=(\sqrt x-\sqrt2)(\sqrt x+\sqrt2)$ , d’où $\frac{x^2-4}{\sqrt x-\sqrt2}=(x+2)(\sqrt x+\sqrt2)\to4\times2\sqrt2=8\sqrt2$ .

6. $\frac{(x-1)(x+3)}{(x-1)(3x+2)}=\frac{x+3}{3x+2}\to\frac45$ .

7. Pour $x>0$ : $x-\sqrt{3x}=\sqrt x(\sqrt x-\sqrt3)$ et $x-3=(\sqrt x-\sqrt3)(\sqrt x+\sqrt3)$ , donc l’expression vaut $\frac{\sqrt x}{\sqrt x+\sqrt3}\to\frac{\sqrt3}{2\sqrt3}=\frac12$ .

8. $\frac{\sqrt x-\sqrt3}{x(x-3)}=\frac{1}{x(\sqrt x+\sqrt3)}\to\frac1{6\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{18}$ .

9. $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$ , donc la limite vaut $4+4+4=12$ .

10. $\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-2}{x+1}\to-\frac12$ .

11. $x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$ et $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ , donc la limite vaut $\frac53$ .

12. $(3+x)^3-27=x\left((3+x)^2+3(3+x)+9\right)$ , donc la limite vaut $9+9+9=27$ .

13. $\frac{(x-1)(x+3)}{(x-1)^2}=\frac{x+3}{x-1}$ : forme $\frac4{0^+}$ , la limite est $+\infty$ .

14. $(x+1)^3+(x-2)^2-5=x^3+4x^2-x=x(x^2+4x-1)$ , donc la limite vaut $-1$ .

15. $x^3-2x-21=(x-3)(x^2+3x+7)$ et $x^3-5x^2+3x+9=(x-3)^2(x+1)$ , donc pour $x\neq3$ l’expression vaut $\frac{x^2+3x+7}{(x-3)(x+1)}$ : forme $\frac{25}{0^+}$ , la limite est $+\infty$ .

16. $2x^3-4x^2-x+2=2x^2(x-2)-(x-2)=(x-2)(2x^2-1)$ et $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ , donc la limite vaut $\frac{7}{-1}=-7$ .

17. Forme $\infty-\infty$ . Pour $x>\frac13$ : $\sqrt{3x-1}-2x^2+x+5=x^2\left(\frac{\sqrt{3x-1}}{x^2}-2+\frac1x+\frac5{x^2}\right)$ ; or $\frac{\sqrt{3x-1}}{x^2}=\sqrt{\frac{3x-1}{x^4}}\to0$ , donc la parenthèse tend vers $-2$ et la limite est $-\infty$ .

18. Pour $x<0$ : $\sqrt{5-x}-x^4+x=x^4\left(\sqrt{\frac{5-x}{x^8}}-1+\frac1{x^3}\right)$ , la parenthèse tend vers $-1$ : la limite est $-\infty$ .

Exercice 3 — Formes indéterminées : expression conjuguée Facile ★★☆☆☆

Calculer les limites suivantes :

$\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x+8}-3}{x-1}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{4+x}-\sqrt{4-x}}{x}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{\sqrt{2x+5}-\sqrt{4x+1}}{x-2}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to-1}\frac{\sqrt{x^2+8}-3}{x^2+x}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to3}\frac{x-3}{\sqrt{x^2+16}-5}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x^2-x}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to3}\frac{\sqrt{5x+1}-\sqrt{x+13}}{\sqrt{x+6}-3}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{\sqrt{x+7}-3}{\sqrt{4x+1}-3}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{3x-2}-\sqrt{x^2-x+1}}{x-1}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to4}\frac{x^2-16}{\sqrt{2x+1}-3}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to3^+}\frac{\sqrt{x^2-9}+\sqrt x-\sqrt3}{\sqrt{x-3}}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x+5}-\sqrt{2x+1}}{\sqrt{x+12}-4}$ .

Voir la solution

Dans chaque cas la forme est $\frac00$ ; on multiplie par l’expression conjuguée (non nulle au voisinage du point).

1. $\frac{\sqrt{x+8}-3}{x-1}=\frac{(x+8)-9}{(x-1)(\sqrt{x+8}+3)}=\frac1{\sqrt{x+8}+3}\to\frac16$ .

2. $\frac{(4+x)-(4-x)}{x(\sqrt{4+x}+\sqrt{4-x})}=\frac2{\sqrt{4+x}+\sqrt{4-x}}\to\frac24=\frac12$ .

3. $\frac{(2x+5)-(4x+1)}{(x-2)(\sqrt{2x+5}+\sqrt{4x+1})}=\frac{-2}{\sqrt{2x+5}+\sqrt{4x+1}}\to-\frac26=-\frac13$ .

4. $\frac{x^2-1}{x(x+1)(\sqrt{x^2+8}+3)}=\frac{x-1}{x(\sqrt{x^2+8}+3)}\to\frac{-2}{-6}=\frac13$ .

5. $\frac{(x-3)(\sqrt{x^2+16}+5)}{x^2-9}=\frac{\sqrt{x^2+16}+5}{x+3}\to\frac{10}6=\frac53$ .

6. $\frac{x}{x(x-1)(\sqrt{x+1}+1)}=\frac1{(x-1)(\sqrt{x+1}+1)}\to-\frac12$ .

7. On utilise deux conjuguées : $\sqrt{5x+1}-\sqrt{x+13}=\frac{4(x-3)}{\sqrt{5x+1}+\sqrt{x+13}}$ et $\sqrt{x+6}-3=\frac{x-3}{\sqrt{x+6}+3}$ . Le quotient vaut $\frac{4(\sqrt{x+6}+3)}{\sqrt{5x+1}+\sqrt{x+13}}\to\frac{24}8=3$ .

8. $\frac{(x-2)}{\sqrt{x+7}+3}\times\frac{\sqrt{4x+1}+3}{4(x-2)}\to\frac16\times\frac64=\frac14$ .

9. $(3x-2)-(x^2-x+1)=-(x-1)(x-3)$ , donc l’expression vaut $\frac{-(x-3)}{\sqrt{3x-2}+\sqrt{x^2-x+1}}\to\frac22=1$ .

10. $\frac{(x-4)(x+4)(\sqrt{2x+1}+3)}{2(x-4)}=\frac{(x+4)(\sqrt{2x+1}+3)}2\to\frac{8\times6}2=24$ .

11. Pour $x>3$ : $\frac{\sqrt{x^2-9}}{\sqrt{x-3}}=\sqrt{x+3}$ et $\frac{\sqrt x-\sqrt3}{\sqrt{x-3}}=\frac{x-3}{\sqrt{x-3}(\sqrt x+\sqrt3)}=\frac{\sqrt{x-3}}{\sqrt x+\sqrt3}$ . La limite vaut $\sqrt6+0=\sqrt6$ .

12. $\sqrt{x+5}-\sqrt{2x+1}=\frac{4-x}{\sqrt{x+5}+\sqrt{2x+1}}$ et $\sqrt{x+12}-4=\frac{x-4}{\sqrt{x+12}+4}$ ; le quotient vaut $-\frac{\sqrt{x+12}+4}{\sqrt{x+5}+\sqrt{2x+1}}\to-\frac86=-\frac43$ .

Exercice 4 — Formes indéterminées en $\pm\infty$ avec des racines Moyen ★★★☆☆

Calculer les limites suivantes :

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2-5x}+x\right)$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(x-\sqrt{x^2+4}\right)$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{3x^2+x+2}+5x-1\right)$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{4x^2-3x+1}-2x+1\right)$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+6x-1}+x+2\right)$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{9x^2+12x-5}+3x-1\right)$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x+2\sqrt x}-\sqrt x\right)$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{3x^2+1}-\sqrt{x^2+x+2}\right)$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^2+4}-3}{2x-\sqrt x}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^2+3x}+x}{\sqrt{x^2+1}-3x}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{4x^2+x+1}}{x+3}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{9x^2+2x-3}}{2x}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{4x-1}-\sqrt x}{\sqrt{x+2}+\sqrt x}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^3+1}}{x^2-x+2}$ .

Voir la solution

On rappelle que $\sqrt{x^2}=|x|$ : pour $x<0$ , $\sqrt{x^2}=-x$ .

1. Forme $+\infty-\infty$ . $\sqrt{x^2-5x}+x=\frac{(x^2-5x)-x^2}{\sqrt{x^2-5x}-x}=\frac{-5x}{-x\sqrt{1-\frac5x}-x}=\frac{5}{\sqrt{1-\frac5x}+1}\to\frac52$ .

2. $x-\sqrt{x^2+4}=\frac{-4}{x+\sqrt{x^2+4}}\to0$ .

3. Pour $x<0$ : $\sqrt{3x^2+x+2}+5x-1=x\left(-\sqrt{3+\frac1x+\frac2{x^2}}+5-\frac1x\right)$ ; la parenthèse tend vers $5-\sqrt3>0$ , donc la limite est $-\infty$ .

4. $\sqrt{4x^2-3x+1}-2x=\frac{-3x+1}{\sqrt{4x^2-3x+1}+2x}=\frac{-3+\frac1x}{\sqrt{4-\frac3x+\frac1{x^2}}+2}\to-\frac34$ ; la limite vaut $-\frac34+1=\frac14$ .

5. Pour $x<0$ : $\sqrt{x^2+6x-1}+x=\frac{6x-1}{\sqrt{x^2+6x-1}-x}=\frac{6x-1}{-x\left(\sqrt{1+\frac6x-\frac1{x^2}}+1\right)}\to\frac6{-2}=-3$ ; la limite vaut $-3+2=-1$ .

6. De même $\sqrt{9x^2+12x-5}+3x=\frac{12x-5}{-3x\left(\sqrt{1+\frac4{3x}-\frac5{9x^2}}+1\right)}\to-2$ ; la limite vaut $-2-1=-3$ .

7. $\sqrt{x+2\sqrt x}-\sqrt x=\frac{2\sqrt x}{\sqrt{x+2\sqrt x}+\sqrt x}=\frac2{\sqrt{1+\frac2{\sqrt x}}+1}\to1$ .

8. $x\left(\sqrt{3+\frac1{x^2}}-\sqrt{1+\frac1x+\frac2{x^2}}\right)$ ; la parenthèse tend vers $\sqrt3-1>0$ , la limite est $+\infty$ .

9. $\frac{x\left(\sqrt{1+\frac4{x^2}}-\frac3x\right)}{x\left(2-\frac1{\sqrt x}\right)}\to\frac12$ .

10. Numérateur : $\sqrt{x^2+3x}+x=\frac{3x}{-x\left(\sqrt{1+\frac3x}+1\right)}\to-\frac32$ . Dénominateur : $-x\sqrt{1+\frac1{x^2}}-3x\to+\infty$ . La limite est $0$ .

11. $\frac{x\sqrt{4+\frac1x+\frac1{x^2}}}{x\left(1+\frac3x\right)}\to2$ (pour $x>0$ ).

12. Pour $x<0$ : $\frac{-x\sqrt{9+\frac2x-\frac3{x^2}}}{2x}\to-\frac32$ .

13. On divise par $\sqrt x$ : $\frac{\sqrt{4-\frac1x}-1}{\sqrt{1+\frac2x}+1}\to\frac{2-1}{2}=\frac12$ .

14. $\frac{\sqrt{x^3+1}}{x^2-x+2}=\frac{x\sqrt x\sqrt{1+\frac1{x^3}}}{x^2\left(1-\frac1x+\frac2{x^2}\right)}=\frac1{\sqrt x}\cdot\frac{\sqrt{1+\frac1{x^3}}}{1-\frac1x+\frac2{x^2}}\to0$ .

Exercice 5 — Polynômes et fonctions rationnelles Facile ★☆☆☆☆

Calculer les limites suivantes :

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(2x^2-3x^5+x\right)$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(-4x^4+x^3+2\right)$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to-2}\left(x^3+2x^2-5\right)$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(3x^4-x^6+2x\right)$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{2x^2-x+3}{x^3+4x-1}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{5x^3-x+2}{2x^3+x^2-7}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{x^4+2x+1}{3x-1}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{-4x^3+x}{2x^2+1}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{6x^7-x^3}{-3x^4+x^2}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{3x^4-4x}{6x^4+2x^3-1}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x^2+3x}{(2x+1)^2}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to-\frac12}\frac{x^2+3x}{(2x+1)^2}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2+3x}{(2x+1)^2}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt{\frac{x^2+1}{4x^2+x+1}}$ .

Voir la solution

En $\pm\infty$ , un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré, et une fraction rationnelle la même limite que le quotient des termes de plus haut degré.

1. $\lim_{-\infty}(-3x^5)=+\infty$ . 2. $\lim_{+\infty}(-4x^4)=-\infty$ . 3. $(-2)^3+2(-2)^2-5=-5$ . 4. $\lim_{+\infty}(-x^6)=-\infty$ .

5. $\lim_{-\infty}\frac{2x^2}{x^3}=\lim_{-\infty}\frac2x=0$ . 6. $\frac{5x^3}{2x^3}=\frac52$ . 7. $\frac{x^4}{3x}=\frac{x^3}3\to-\infty$ . 8. $\frac{-4x^3}{2x^2}=-2x\to+\infty$ .

9. $\frac{6x^7}{-3x^4}=-2x^3\to+\infty$ . 10. $\frac{3x^4}{6x^4}=\frac12$ .

11. Forme déterminée : $\frac{1+3}{9}=\frac49$ .

12. Numérateur $\to\frac14-\frac32=-\frac54$ , dénominateur $(2x+1)^2\to0^+$ : la limite est $-\infty$ .

13. $\frac{x^2}{4x^2}=\frac14$ . 14. $\frac{x^2+1}{4x^2+x+1}\to\frac14$ , d’où la limite $\sqrt{\frac14}=\frac12$ .

Exercice 6 — Limites trigonométriques Moyen ★★★☆☆

Calculer les limites suivantes :

$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(5x)}{2x}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos(6x)}{x^2}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{\tan^2x}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{\sin x}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin^3(3x)}{x^3}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{x^3}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{\tan(x-2)}{x^2-4}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(7x)}{\tan(3x)}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos(2x)}{x\tan x}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x\sin\left(\frac3x\right)$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan(2x)\,(\cos x-1)}{x^3}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac{\sqrt{1-\cos x}}{x}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{2x+\sin(3x)}{\tan x}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to\pi^-}\frac{1+3\cos x}{\sin x}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(x^2-2x+\cos x\right)$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{\sin x}{x^2+1}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\cos x+\sqrt3\sin x-1}{x}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to\frac\pi6}\frac{\sqrt3\cos x+\sin x-2}{x-\frac\pi6}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to\frac\pi6}\frac{2\sin x-1}{x-\frac\pi6}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to\frac\pi2}\frac{1-\sin x}{(\pi-2x)^2}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to\frac\pi4}\frac{\tan x-1}{4x-\pi}$ .

Voir la solution

1. $\frac{\sin5x}{2x}=\frac52\cdot\frac{\sin5x}{5x}\to\frac52$ . 2. $\frac{1-\cos6x}{x^2}=36\cdot\frac{1-\cos6x}{(6x)^2}\to18$ .

3. $\frac{1-\cos x}{x^2}\cdot\left(\frac{x}{\tan x}\right)^2\to\frac12$ . 4. $\frac{1-\cos x}{x^2}\cdot\frac{x}{\sin x}\cdot x\to\frac12\times1\times0=0$ .

5. $27\left(\frac{\sin3x}{3x}\right)^3\to27$ . 6. $\frac{\sin3x}{3x}\cdot\frac{3}{x^2}$ : forme $1\times(+\infty)$ , la limite est $+\infty$ .

7. On pose $X=x-2\to0$ : $\frac{\tan X}{X}\cdot\frac1{x+2}\to\frac14$ . 8. $\frac{\sin7x}{7x}\cdot\frac{3x}{\tan3x}\cdot\frac73\to\frac73$ .

9. $4\cdot\frac{1-\cos2x}{(2x)^2}\cdot\frac{x}{\tan x}\to4\times\frac12=2$ . 10. On pose $X=\frac3x\to0^+$ : $x\sin\frac3x=3\frac{\sin X}X\to3$ .

11. $\frac{\tan2x}{2x}\cdot2\cdot\left(-\frac{1-\cos x}{x^2}\right)\to2\times\left(-\frac12\right)=-1$ .

12. Pour $x\in\left]0;\frac\pi2\right[$ : $\frac{\sqrt{1-\cos x}}x=\sqrt{\frac{1-\cos x}{x^2}}\to\sqrt{\frac12}=\frac{\sqrt2}2$ .

13. $\frac{x}{\tan x}\left(2+3\frac{\sin3x}{3x}\right)\to2+3=5$ .

14. Numérateur $\to1-3=-2$ ; pour $x\in\left]0;\pi\right[$ , $\sin x>0$ , donc $\sin x\to0^+$ : la limite est $-\infty$ .

15. Encadrement : $\cos x\ge-1$ , donc $x^2-2x+\cos x\ge x^2-2x-1$ et $\lim_{+\infty}(x^2-2x-1)=+\infty$ : la limite est $+\infty$ .

16. $\left|\frac{\sin x}{x^2+1}\right|\le\frac1{x^2+1}$ et $\frac1{x^2+1}\to0$ : la limite est $0$ .

17. $\frac{\cos x-1}x+\sqrt3\frac{\sin x}x=-x\cdot\frac{1-\cos x}{x^2}+\sqrt3\frac{\sin x}x\to0+\sqrt3=\sqrt3$ .

18. $\sqrt3\cos x+\sin x=2\cos\left(x-\frac\pi6\right)$ . Avec $h=x-\frac\pi6\to0$ : $\frac{2(\cos h-1)}h=-2h\cdot\frac{1-\cos h}{h^2}\to0$ .

19. Avec $h=x-\frac\pi6$ : $2\sin\left(h+\frac\pi6\right)-1=\sqrt3\sin h+\cos h-1$ , donc l’expression vaut $\sqrt3\frac{\sin h}h-h\frac{1-\cos h}{h^2}\to\sqrt3$ .

20. Avec $h=x-\frac\pi2$ : $\sin x=\cos h$ et $\pi-2x=-2h$ : $\frac{1-\cos h}{4h^2}\to\frac18$ .

21. Avec $h=x-\frac\pi4$ : $\tan x-1=\frac{1+\tan h}{1-\tan h}-1=\frac{2\tan h}{1-\tan h}$ et $4x-\pi=4h$ : $\frac{\tan h}{h}\cdot\frac{1}{2(1-\tan h)}\to\frac12$ .

Exercice 7 — Limites avec la partie entière Moyen ★★★☆☆

On note $E(x)$ la partie entière du réel $x$ ; on rappelle que, pour tout $x\in\R$ , $x-1<E(x)\le x$ . Calculer les limites suivantes :

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{E(2x)}{x}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(E(x)+\cos x\right)$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^3E\!\left(\frac1x\right)$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\,E\!\left(\frac1x\right)$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to0^-}\frac{3E(x)+\left(x-E(x)\right)^2}{x^2+x}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x-E(x)}}{x}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac{E(x^2)-x^2}{x^2}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{E(x^2)+x}{x^2}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to4^+}\frac{\sqrt x-2}{x-E(x)}$ .

Voir la solution

1. $2x-1<E(2x)\le2x$ ; pour $x>0$ : $2-\frac1x<\frac{E(2x)}x\le2$ . Par encadrement, la limite est $2$ .

2. $E(x)+\cos x\le x+1$ et $x+1\to-\infty$ : la limite est $-\infty$ .

3. Pour $x<-1$ : $\frac1x\in\left]-1;0\right[$ , donc $E\left(\frac1x\right)=-1$ et $x^3E\left(\frac1x\right)=-x^3\to+\infty$ .

4. Pour $x>0$ : $\frac1x-1<E\left(\frac1x\right)\le\frac1x$ , donc $1-x<xE\left(\frac1x\right)\le1$ . Par encadrement, la limite est $1$ .

5. Pour $x\in\left]-1;0\right[$ : $E(x)=-1$ , l’expression vaut $\frac{-3+(x+1)^2}{x(x+1)}=\frac{x^2+2x-2}{x(x+1)}$ : forme $\frac{-2}{0^-}$ , la limite est $+\infty$ .

6. $0\le x-E(x)<1$ , donc $0\le\frac{\sqrt{x-E(x)}}x\le\frac1x$ pour $x>0$ : la limite est $0$ .

7. Pour $0<x<1$ : $E(x^2)=0$ , l’expression vaut $-1$ : la limite est $-1$ .

8. $x^2-1<E(x^2)\le x^2$ donc $1+\frac1x-\frac1{x^2}<\frac{E(x^2)+x}{x^2}\le1+\frac1x$ : la limite est $1$ .

9. Pour $4<x<5$ : $E(x)=4$ , l’expression vaut $\frac{\sqrt x-2}{x-4}=\frac1{\sqrt x+2}\to\frac14$ .

Exercice 8 — Définition mathématique de la limite Difficile ★★★★☆

En revenant à la définition mathématique de la limite (avec $\varepsilon$ , $\alpha$ , $A$ , $B$ ), montrer que :

$\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{3x-1}{x+3}=1$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{3x-1}{x+3}=3$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2+1}{x-3}=-\infty$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to(-3)^+}\frac{1-2x}{x+3}=+\infty$ .

Voir la solution

1. Soit $\varepsilon>0$ . Pour $x\neq-3$ : $\left|\frac{3x-1}{x+3}-1\right|=\frac{2|x-2|}{|x+3|}$ . Si $|x-2|<1$ , alors $x+3>4$ , d’où $\left|f(x)-1\right|<\frac{|x-2|}2$ . On pose $\alpha=\min(1;2\varepsilon)$ : pour tout $x$ tel que $|x-2|<\alpha$ , on a $|f(x)-1|<\frac\alpha2\le\varepsilon$ . Donc $\lim_{x\to2}f(x)=1$ .

2. Soit $\varepsilon>0$ . Pour $x<-3$ : $\left|f(x)-3\right|=\frac{10}{|x+3|}=\frac{10}{-x-3}$ . On pose $B=3+\frac{10}\varepsilon$ ; si $x<-B$ , alors $-x-3>\frac{10}\varepsilon$ , donc $|f(x)-3|<\varepsilon$ .

3. Soit $A>0$ . Pour $x\le-3$ : $0<3-x\le-2x$ , donc $\frac{x^2+1}{3-x}\ge\frac{x^2}{-2x}=-\frac x2$ , c’est-à-dire $f(x)\le\frac x2$ . On pose $B=\max(3;2A)$ : si $x<-B$ , alors $f(x)\le\frac x2<-A$ .

4. Soit $A>0$ . Pour $-3<x<-2$ : $1-2x>5$ et $x+3>0$ , donc $f(x)>\frac5{x+3}$ . On pose $\alpha=\min\left(1;\frac5A\right)$ : si $0<x+3<\alpha$ , alors $\frac5{x+3}>\frac5\alpha\ge A$ , donc $f(x)>A$ .

Exercice 9 — Lecture graphique de limites Facile ★★☆☆☆

La courbe $(\mathcal C_f)$ ci-dessous est celle d’une fonction $f$ définie sur $\R^*$ . On donne de plus les informations suivantes :

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=2$ (la courbe se rapproche de la droite d’équation $y=2$ au voisinage de $+\infty$ ) ;
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\big(f(x)-(2x-1)\big)=0$ (la courbe se rapproche de la droite $(D):y=2x-1$ au voisinage de $-\infty$ ) ;
la courbe « monte » ou « descend » indéfiniment le long de l’axe des ordonnées, comme sur la figure.

Par lecture graphique et à l’aide des informations précédentes, déterminer : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ , $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)$ , $\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)$ , $\displaystyle\lim_{x\to0^-}f(x)$ , $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}x$ , $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\big(f(x)-2x\big)$ , $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)-2}{x}$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}$ .
Résoudre graphiquement, dans $\R^*$ , les équations $f(x)=0$ et $f(x)=-2$ .
Déterminer graphiquement le nombre de solutions dans $\R^*$ de l’équation $f(x)=3$ .
On considère la fonction $g$ définie par $g(x)=\sqrt{f(x)}$ . a. Déterminer graphiquement l’ensemble de définition $D_g$ de $g$ . b. Déterminer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)$ , $\displaystyle\lim_{x\to0^-}g(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{g(x)}x$ .

Voir la solution

1. $\lim_{+\infty}f=2$ ; $\lim_{-\infty}f=-\infty$ (car $f(x)=(2x-1)+\big(f(x)-(2x-1)\big)$ avec $2x-1\to-\infty$ ) ; $\lim_{0^+}f=-\infty$ ; $\lim_{0^-}f=+\infty$ . $\frac{f(x)}x=\frac{2x-1}x+\frac{f(x)-(2x-1)}x\to2$ ; $f(x)-2x=-1+\big(f(x)-(2x-1)\big)\to-1$ ; $\frac{f(x)-2}x\to\frac0{+\infty}=0$ ; $\frac{f(x)}x\to0$ (forme $\frac2{+\infty}$ ).

2. La courbe coupe l’axe des abscisses en $x=-\frac12$ et $x=1$ : $S=\left\{-\frac12;1\right\}$ . Elle coupe la droite $y=-2$ en $x=-1$ et $x=\frac12$ : $S=\left\{-1;\frac12\right\}$ .

3. Sur $\left]0;+\infty\right[$ , la courbe reste sous la droite $y=2$ : pas de solution. Sur $\left]-\infty;0\right[$ , la courbe monte de $-\infty$ à $+\infty$ et coupe une seule fois la droite $y=3$ : l’équation a une solution.

4. a. $g(x)$ existe si et seulement si $f(x)\ge0$ : $D_g=\left[-\frac12;0\right[\cup\left[1;+\infty\right[$ .

4. b. $\lim_{+\infty}g=\sqrt2$ ; $\lim_{0^-}g=+\infty$ (car $f(x)\to+\infty$ ) ; $\frac{g(x)}x\to\frac{\sqrt2}{+\infty}=0$ .

Exercice 10 — Fonction définie par morceaux — encadrement Moyen ★★★☆☆

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x)=\frac{2\sqrt x-\sqrt{4x^2+1}}{x+3}\ \text{ si } x\ge0\qquad\text{et}\qquad f(x)=\frac{\sin x-\sqrt{3+\cos x}}{x}\ \text{ si } x<0 .$

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ .
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to0^-}f(x)$ . La fonction $f$ admet-elle une limite en $0$ ? Justifier.
a. Montrer que, pour tout $x\in\left]-\infty;0\right[$ , $|f(x)|\le\dfrac{3}{|x|}$ . b. En déduire $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)$ .

Voir la solution

1. Pour $x>0$ : $f(x)=\frac{x\left(\frac2{\sqrt x}-\sqrt{4+\frac1{x^2}}\right)}{x\left(1+\frac3x\right)}\to\frac{0-2}1=-2$ .

2. $\lim_{0^+}f(x)=\frac{0-1}3=-\frac13$ (forme déterminée). Pour $x\to0^-$ : $\sin x-\sqrt{3+\cos x}\to-2$ et $x\to0^-$ : forme $\frac{-2}{0^-}$ , donc $\lim_{0^-}f=+\infty$ . Les limites à droite et à gauche sont différentes : $f$ n’admet pas de limite en $0$ .

3. a. Soit $x<0$ . $|\sin x|\le1$ et $0\le\sqrt{3+\cos x}\le\sqrt4=2$ , donc par l’inégalité triangulaire $\left|\sin x-\sqrt{3+\cos x}\right|\le3$ , d’où $|f(x)|\le\frac3{|x|}$ .

3. b. $\frac3{|x|}\to0$ quand $x\to-\infty$ ; d’après la propriété « limite et ordre », $\lim_{-\infty}f=0$ .

Exercice 11 — Une limite paramétrée par $n$ Difficile ★★★★☆

Montrer que, pour tout $n\in\N^*$ , $\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x^n-1}{x-1}=n$ .
En déduire que, pour tout $n\in\N^*$ , $\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\sum_{k=1}^{n}x^k-n}{\sin(2x-2)}=\frac{n(n+1)}4$ .

Voir la solution

1. Soit $n\in\N^*$ . Pour $x\neq1$ : $x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1)$ , donc $\frac{x^n-1}{x-1}=\sum_{k=0}^{n-1}x^k$ , polynôme dont la limite en $1$ est $\sum_{k=0}^{n-1}1=n$ .

2. $\sum_{k=1}^nx^k-n=\sum_{k=1}^n(x^k-1)$ . Pour $x$ voisin de $1$ , $x\neq1$ : $\frac{\sum_{k=1}^n x^k-n}{\sin(2x-2)}=\left(\sum_{k=1}^n\frac{x^k-1}{x-1}\right)\cdot\frac{2x-2}{\sin(2x-2)}\cdot\frac12 .$ D’après 1 la somme tend vers $\sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}2$ ; avec $X=2x-2\to0$ , $\frac X{\sin X}\to1$ . La limite est $\frac{n(n+1)}4$ .

Exercice 12 — Fonction définie par morceaux — domaine et limites Moyen ★★★☆☆

On considère la fonction $f$ définie par : $f(x)=\frac{\sqrt x-1}{3-\sqrt{x+8}}\ \text{ si } x>1\qquad\text{et}\qquad f(x)=\frac{\sqrt{1-x}}{x^2+x-2}\ \text{ si } x<1 .$

Montrer que l’ensemble de définition de $f$ est $D_f=\left]-\infty;-2\right[\cup\left]-2;1\right[\cup\left]1;+\infty\right[$ .
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)$ .
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to1^+}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to1^-}f(x)$ . Que peut-on conclure ?
Étudier la limite de $f$ en $-2$ .

Voir la solution

1. Pour $x>1$ : $\sqrt x$ et $\sqrt{x+8}$ existent et $\sqrt{x+8}>3$ , donc $3-\sqrt{x+8}\neq0$ : $f(x)$ existe. Pour $x<1$ : $1-x>0$ et $x^2+x-2=(x-1)(x+2)$ s’annule seulement pour $x=-2$ (et $x=1$ , exclu). En $x=1$ , $f$ n’est pas définie. Donc $D_f=\left]-\infty;-2\right[\cup\left]-2;1\right[\cup\left]1;+\infty\right[$ .

2. En $+\infty$ : on divise par $\sqrt x$ : $f(x)=\frac{1-\frac1{\sqrt x}}{\frac3{\sqrt x}-\sqrt{1+\frac8x}}\to-1$ . En $-\infty$ : $f(x)=\frac{\sqrt{1-x}}{x^2}\cdot\frac{1}{1+\frac1x-\frac2{x^2}}$ et $\frac{\sqrt{1-x}}{x^2}=\sqrt{\frac{1-x}{x^4}}\to0$ : la limite est $0$ .

3. Pour $x>1$ : $f(x)=\frac{x-1}{\sqrt x+1}\cdot\frac{3+\sqrt{x+8}}{1-x}=-\frac{3+\sqrt{x+8}}{\sqrt x+1}\to-3$ . Pour $x<1$ , $x\neq-2$ : $f(x)=\frac{\sqrt{1-x}}{(x-1)(x+2)}=\frac{-1}{\sqrt{1-x}\,(x+2)}$ : forme $\frac{-1}{0^+}$ , $\lim_{1^-}f=-\infty$ . Les deux limites sont différentes : $f$ n’a pas de limite en $1$ .

4. $\sqrt{1-x}\to\sqrt3$ et $(x-1)(x+2)$ tend vers $0^-$ quand $x\to-2^+$ et vers $0^+$ quand $x\to-2^-$ . Donc $\lim_{-2^+}f=-\infty$ et $\lim_{-2^-}f=+\infty$ : $f$ n’a pas de limite en $-2$ .

Exercice 13 — Partie entière et encadrement Moyen ★★★☆☆

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{x\,E(2x)+1}{x^2+1}$ .

a. Montrer que, pour tout $x\in\left]0;+\infty\right[$ : $\dfrac{2x^2-x+1}{x^2+1}<f(x)\le\dfrac{2x^2+1}{x^2+1}$ . b. En déduire $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ .
Déterminer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)$ .

Voir la solution

1. a. Soit $x>0$ . On a $2x-1<E(2x)\le2x$ ; en multipliant par $x>0$ : $2x^2-x<xE(2x)\le2x^2$ , puis en ajoutant $1$ et en divisant par $x^2+1>0$ on obtient l’encadrement demandé.

1. b. Les deux fractions encadrantes tendent vers $2$ en $+\infty$ ; d’après la propriété des gendarmes, $\lim_{+\infty}f=2$ .

2. Soit $x<0$ : en multipliant $2x-1<E(2x)\le2x$ par $x<0$ , l’ordre change : $2x^2\le xE(2x)<2x^2-x$ , d’où $\frac{2x^2+1}{x^2+1}\le f(x)<\frac{2x^2-x+1}{x^2+1}$ . Les deux bornes tendent vers $2$ : $\lim_{-\infty}f=2$ .

Exercice 14 — Limites variées (changement de variable) Difficile ★★★★☆

Calculer les limites suivantes :

$\displaystyle\lim_{x\to1}(x-1)\tan\left(\frac{\pi x}{2}\right)$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{2027}{\sqrt{x^2+4x+1}-x}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to-1}\frac{2-\sqrt{x+5}}{x^2-2x-3}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to-4}\frac{x\sqrt{x+5}+4}{x^2+x-12}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(1-4x^2\right)\tan\left(\frac{\pi}{x^2+3}\right)$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{3-3(2x-1)^5}{x^2-1}$ .

Voir la solution

1. On pose $h=x-1\to0$ : $\tan\left(\frac\pi2+\frac{\pi h}2\right)=-\frac{1}{\tan\frac{\pi h}2}$ , donc $(x-1)\tan\frac{\pi x}2=-\frac2\pi\cdot\frac{\frac{\pi h}2}{\tan\frac{\pi h}2}\to-\frac2\pi$ .

2. $\sqrt{x^2+4x+1}-x=\frac{4x+1}{\sqrt{x^2+4x+1}+x}=\frac{4+\frac1x}{\sqrt{1+\frac4x+\frac1{x^2}}+1}\to2$ ; la limite vaut $\frac{2027}2$ .

3. $2-\sqrt{x+5}=\frac{-(x+1)}{2+\sqrt{x+5}}$ et $x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$ , donc l’expression vaut $\frac{-1}{(2+\sqrt{x+5})(x-3)}\to\frac{-1}{4\times(-4)}=\frac1{16}$ .

4. $x\sqrt{x+5}+4=\frac{x^2(x+5)-16}{x\sqrt{x+5}-4}=\frac{(x+4)(x^2+x-4)}{x\sqrt{x+5}-4}$ et $x^2+x-12=(x+4)(x-3)$ . La limite vaut $\frac{16-4-4}{(-4-4)(-7)}=\frac8{56}=\frac17$ .

5. On pose $u=\frac\pi{x^2+3}\to0$ : $(1-4x^2)\tan u=\frac{\pi(1-4x^2)}{x^2+3}\cdot\frac{\tan u}u\to-4\pi\times1=-4\pi$ .

6. On pose $a=2x-1$ , $a-1=2(x-1)$ : $3-3a^5=-3(a-1)(a^4+a^3+a^2+a+1)=-6(x-1)(a^4+\cdots+1)$ . L’expression vaut $\frac{-6(a^4+a^3+a^2+a+1)}{x+1}\to\frac{-6\times5}2=-15$ .

Exercice 15 — Récurrence et limites trigonométriques Difficile ★★★★★

Soit $a\in\left]0;+\infty\right[$ .

Montrer par récurrence que, pour tout $n\in\N^*$ : $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos^n(ax)}{x^2}=\frac{na^2}2$ .
En déduire $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos^4(2x)}{1-\cos\left(\frac x2\right)}$ .

Voir la solution

1. Raisonnement par récurrence. Pour $n\in\N^*$ , soit $P(n)$ : « $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos^n(ax)}{x^2}=\frac{na^2}2$ ».

Initialisation : pour $n=1$ , on a $\frac{1-\cos(ax)}{x^2}=a^2\cdot\frac{1-\cos(ax)}{(ax)^2}\to\frac{a^2}2$ . Donc $P(1)$ est vraie.
Hérédité : soit $n\in\N^*$ , on suppose que $P(n)$ est vraie (hypothèse de récurrence), montrons que $P(n+1)$ est vraie. On a $1-\cos^{n+1}(ax)=\left(1-\cos^n(ax)\right)+\cos^n(ax)\left(1-\cos(ax)\right),$ donc $\frac{1-\cos^{n+1}(ax)}{x^2}=\frac{1-\cos^n(ax)}{x^2}+\cos^n(ax)\cdot\frac{1-\cos(ax)}{x^2}\to\frac{na^2}2+1\times\frac{a^2}2=\frac{(n+1)a^2}2$ . Donc $P(n+1)$ est vraie.
Conclusion : d’après le principe du raisonnement par récurrence, pour tout $n\in\N^*$ , $\lim_{x\to0}\frac{1-\cos^n(ax)}{x^2}=\frac{na^2}2$ .

2. $\frac{1-\cos^4(2x)}{1-\cos\frac x2}=\frac{1-\cos^4(2x)}{x^2}\cdot\frac{x^2}{1-\cos\frac x2}$ . D’après 1 (avec $n=4$ , $a=2$ ) le premier facteur tend vers $8$ ; d’après 1 (avec $n=1$ , $a=\frac12$ ) $\frac{1-\cos\frac x2}{x^2}\to\frac18$ . La limite vaut $8\times8=64$ .

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20 questions tirées au hasard parmi 30.

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Chapitre 9 — Limite d’une fonction

Cours

I. Limites usuelles

1) Activité d’introduction

2) Limites usuelles

3) Limite à droite, limite à gauche

II. Opérations sur les limites

1) Tableaux d’opérations

2) Exemples

III. Limites des polynômes et des fonctions rationnelles

IV. Limites des fonctions trigonométriques

V. Limite et ordre

VI. Détermination graphique des limites

VII. Définition mathématique de la limite

Résumé

Série d’exercices

Exercice 1 — Opérations sur les limites (formes déterminées) Facile ★☆☆☆☆

Exercice 2 — Formes indéterminées : factorisation, identités remarquables Facile ★★☆☆☆

Exercice 3 — Formes indéterminées : expression conjuguée Facile ★★☆☆☆

Exercice 4 — Formes indéterminées en ±∞\pm\infty±∞ avec des racines Moyen ★★★☆☆

Exercice 5 — Polynômes et fonctions rationnelles Facile ★☆☆☆☆

Exercice 6 — Limites trigonométriques Moyen ★★★☆☆

Exercice 7 — Limites avec la partie entière Moyen ★★★☆☆

Exercice 8 — Définition mathématique de la limite Difficile ★★★★☆

Exercice 9 — Lecture graphique de limites Facile ★★☆☆☆

Exercice 10 — Fonction définie par morceaux — encadrement Moyen ★★★☆☆

Exercice 11 — Une limite paramétrée par nnn Difficile ★★★★☆

Exercice 12 — Fonction définie par morceaux — domaine et limites Moyen ★★★☆☆

Exercice 13 — Partie entière et encadrement Moyen ★★★☆☆

Exercice 14 — Limites variées (changement de variable) Difficile ★★★★☆

Exercice 15 — Récurrence et limites trigonométriques Difficile ★★★★★

Quiz — testez-vous

Exercice 4 — Formes indéterminées en $\pm\infty$ avec des racines Moyen ★★★☆☆

Exercice 11 — Une limite paramétrée par $n$ Difficile ★★★★☆