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Chapitre 9 — Équations différentielles

Semestre 2

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Cours

Plan du chapitre. I. Équations différentielles du premier ordre ( $y'=ay$ , $y'=ay+b$ ) — II. Équations du second ordre $y''+ay'+by=0$ — III. Exemples de modélisation — Résumé.

Dans tout le chapitre, $y$ désigne une fonction inconnue de la variable réelle $x$ , deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ lorsque $y''$ intervient ; $a$ et $b$ désignent des nombres réels.

I. L’équation différentielle $y'=ay+b$

1. Vocabulaire

Définition 1

Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction $y$ et qui fait intervenir ses dérivées $y'$ , $y''$ … Résoudre une équation différentielle sur un intervalle $I$ , c’est déterminer toutes les fonctions dérivables sur $I$ qui la vérifient : ce sont ses solutions.

Exemple 1

La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^{3x}$ vérifie $f'(x)=3e^{3x}=3f(x)$ : c’est une solution de l’équation $y'=3y$ .

2. L’équation $y'=ay$

Propriété 1

On considère un réel $a$ . Les solutions sur $\mathbb{R}$ de l’équation différentielle $y'=ay$ sont les fonctions $x\mapsto Ce^{ax},\qquad C\in\mathbb{R}.$

Remarque

Démonstration. Les fonctions $x\mapsto Ce^{ax}$ sont solutions : leur dérivée est $aCe^{ax}$ . Réciproquement, si $y$ est une solution, la fonction $z$ définie par $z(x)=y(x)e^{-ax}$ vérifie $z'(x)=\big(y'(x)-ay(x)\big)e^{-ax}=0$ ; elle est donc constante, égale à un réel $C$ , et $y(x)=Ce^{ax}$ .

Remarque

Si $a=0$ , l’équation $y'=0$ a pour solutions les fonctions constantes ; la formule reste valable.

3. L’équation $y'=ay+b$ avec $a\neq0$

Propriété 2

On considère deux réels $a\neq0$ et $b$ . Les solutions sur $\mathbb{R}$ de l’équation différentielle $y'=ay+b$ sont les fonctions $x\mapsto Ce^{ax}-\frac ba,\qquad C\in\mathbb{R}.$

Remarque

La fonction constante $x\mapsto-\dfrac ba$ est la solution constante (ou particulière) de l’équation ; la solution générale est la somme de cette solution constante et de la solution générale de $y'=ay$ .

4. Solution vérifiant une condition initiale

Propriété 3

On considère des réels $a\neq0$ , $b$ , $x_0$ et $y_0$ . L’équation $y'=ay+b$ admet une unique solution $f$ vérifiant $f(x_0)=y_0$ .

Exemple 2

Résoudre l’équation $(E):\ 2y'+6y=3$ , puis déterminer la solution $f$ de $(E)$ vérifiant $f(0)=2$ .

Voir la solution

$(E)\iff y'=-3y+\dfrac32$ . Avec $a=-3$ et $b=\frac32$ : $-\dfrac ba=\dfrac12$ . Les solutions sont les fonctions $x\mapsto Ce^{-3x}+\dfrac12$ , $C\in\mathbb{R}$ .

$f(0)=C+\frac12=2$ donne $C=\frac32$ : $f(x)=\dfrac32e^{-3x}+\dfrac12$ .

Application 1

On considère l’équation $(E):\ y'-\dfrac12y=1$ . Déterminer la solution $f$ de $(E)$ dont la courbe passe par le point $A(2;0)$ .

Voir la solution

$(E)\iff y'=\frac12y+1$ ; $-\dfrac ba=-2$ : les solutions sont $x\mapsto Ce^{\frac x2}-2$ . La condition $f(2)=0$ s’écrit $Ce-2=0$ , soit $C=\dfrac2e$ . Donc $f(x)=2e^{\frac x2-1}-2$ .

II. L’équation différentielle $y''+ay'+by=0$

1. Équation caractéristique

Définition 2

On considère deux réels $a$ et $b$ . L’équation caractéristique de l’équation différentielle $(E):\ y''+ay'+by=0$ est l’équation du second degré, d’inconnue $r$ : $r^2+ar+b=0.$ On note $\Delta=a^2-4b$ son discriminant.

Remarque

Pour un réel $r$ , la fonction $x\mapsto e^{rx}$ est solution de $(E)$ si et seulement si $(r^2+ar+b)e^{rx}=0$ , c’est-à-dire si et seulement si $r$ est solution de l’équation caractéristique : c’est l’origine de cette équation.

2. Résolution

Théorème 1

On considère l’équation $(E):\ y''+ay'+by=0$ et son équation caractéristique $r^2+ar+b=0$ de discriminant $\Delta$ .

Si $\Delta>0$ : l’équation caractéristique a deux racines réelles distinctes $r_1$ et $r_2$ , et les solutions de $(E)$ sont les fonctions $x\mapsto\alpha e^{r_1x}+\beta e^{r_2x},\qquad(\alpha;\beta)\in\mathbb{R}^2.$
Si $\Delta=0$ : l’équation caractéristique a une racine double $r$ , et les solutions de $(E)$ sont les fonctions $x\mapsto(\alpha x+\beta)e^{rx},\qquad(\alpha;\beta)\in\mathbb{R}^2.$
Si $\Delta<0$ : l’équation caractéristique a deux racines complexes conjuguées $p+iq$ et $p-iq$ ( $q\neq0$ ), et les solutions de $(E)$ sont les fonctions $x\mapsto e^{px}\big(\alpha\cos(qx)+\beta\sin(qx)\big),\qquad(\alpha;\beta)\in\mathbb{R}^2.$

Exemple 3

Résoudre les équations $(E_1):\ y''+y'-6y=0$ , $\ (E_2):\ y''-6y'+9y=0$ et $(E_3):\ y''+2y'+5y=0$ .

Voir la solution

$(E_1)$ : $r^2+r-6=0$ , $\Delta=25$ , $r_1=2$ , $r_2=-3$ : $y(x)=\alpha e^{2x}+\beta e^{-3x}$ .
$(E_2)$ : $r^2-6r+9=(r-3)^2=0$ , racine double $3$ : $y(x)=(\alpha x+\beta)e^{3x}$ .
$(E_3)$ : $r^2+2r+5=0$ , $\Delta=-16=(4i)^2$ , $r=-1\pm2i$ : $y(x)=e^{-x}\big(\alpha\cos2x+\beta\sin2x\big)$ .

Dans chaque cas, $(\alpha;\beta)\in\mathbb{R}^2$ .

Remarque

Cas particulier $b=\omega^2>0$ , $a=0$ : les solutions de $y''+\omega^2y=0$ sont les fonctions $x\mapsto\alpha\cos(\omega x)+\beta\sin(\omega x)$ .

3. Solution vérifiant des conditions initiales

Propriété 4

On considère des réels $a$ , $b$ , $x_0$ , $y_0$ et $y_1$ . L’équation $y''+ay'+by=0$ admet une unique solution $f$ vérifiant $f(x_0)=y_0$ et $f'(x_0)=y_1$ .

Application 2

Déterminer la solution $f$ de $(E_1):\ y''+y'-6y=0$ vérifiant $f(0)=1$ et $f'(0)=7$ .

Voir la solution

$f(x)=\alpha e^{2x}+\beta e^{-3x}$ , donc $f'(x)=2\alpha e^{2x}-3\beta e^{-3x}$ . Les conditions donnent $\alpha+\beta=1$ et $2\alpha-3\beta=7$ , d’où $5\alpha=10$ , $\alpha=2$ et $\beta=-1$ : $f(x)=2e^{2x}-e^{-3x}$ .

Application 3

Déterminer la solution $g$ de l’équation $y''+4y=0$ vérifiant $g(0)=1$ et $g'(0)=-2$ .

Voir la solution

$g(x)=\alpha\cos2x+\beta\sin2x$ et $g'(x)=-2\alpha\sin2x+2\beta\cos2x$ . Donc $g(0)=\alpha=1$ et $g'(0)=2\beta=-2$ , soit $\beta=-1$ : $g(x)=\cos2x-\sin2x$ .

III. Exemples de modélisation

1. Croissance et décroissance exponentielles

Exemple 4

Une population de bactéries évolue de sorte que sa vitesse de croissance soit proportionnelle à son effectif : $N'(t)=kN(t)$ (avec $t$ en heures et $k>0$ ). Si $N(0)=N_0$ , alors $N(t)=N_0e^{kt}$ . La population double lorsque $e^{kt}=2$ , c’est-à-dire au bout de $t=\dfrac{\ln2}k$ heures.

2. Loi de refroidissement

Application 4

La température $\theta(t)$ (en $^\circ$ C) d’un objet placé dans une pièce à $20^\circ$ C vérifie $\theta'(t)=-0{,}1\big(\theta(t)-20\big)$ , où $t\ge0$ est le temps en minutes, et $\theta(0)=80$ . Déterminer $\theta(t)$ , puis l’instant où la température atteint $50^\circ$ C.

Voir la solution

$\theta'=-0{,}1\theta+2$ ; $-\dfrac ba=20$ : $\theta(t)=Ce^{-0{,}1t}+20$ , et $\theta(0)=C+20=80$ donne $C=60$ . Donc $\theta(t)=60e^{-0{,}1t}+20$ .

$\theta(t)=50\iff e^{-0{,}1t}=\dfrac12\iff-0{,}1t=-\ln2\iff t=10\ln2\approx6{,}9$ minutes.

Résumé

À retenir

Notion	À retenir
$y'=ay$	$y(x)=Ce^{ax}$ , $C\in\mathbb{R}$
$y'=ay+b$ ( $a\neq0$ )	$y(x)=Ce^{ax}-\dfrac ba$ ; unique $f$ avec $f(x_0)=y_0$
$y''+ay'+by=0$	Équation caractéristique $r^2+ar+b=0$ , $\Delta=a^2-4b$
$\Delta>0$	$y(x)=\alpha e^{r_1x}+\beta e^{r_2x}$
$\Delta=0$	$y(x)=(\alpha x+\beta)e^{rx}$
$\Delta<0$	$y(x)=e^{px}\big(\alpha\cos(qx)+\beta\sin(qx)\big)$
Conditions	$f(x_0)=y_0$ , $f'(x_0)=y_1$ déterminent une unique solution

Série d’exercices

Exercice 1 — Équation $y'=ay$ Facile ★☆☆☆☆

Résoudre sur $\mathbb{R}$ $R$ les équations différentielles suivantes :
- $(E_1):\ y'=5y$ ; $\ (E_2):\ y'=-4y$ ; $\ (E_3):\ y'=\dfrac27y$ ; $\ (E_4):\ 2y'=-3y$ ;
- $(E_5):\ y'=\sqrt3\,y$ ; $\ (E_6):\ y'+2y=0$ ; $\ (E_7):\ 3y'-y=0$ .
a) Résoudre sur $\mathbb{R}$ l’équation différentielle $(E_8):\ 4y'-3y=0$ . b) Déterminer la solution $f$ de $(E_8)$ vérifiant $f(4)=2$ .
a) Résoudre sur $\mathbb{R}$ l’équation différentielle $(E_9):\ 3y'+2y=0$ . b) Déterminer la solution $f$ de $(E_9)$ vérifiant $f(3)=e$ .

Voir la solution

1) Pour chaque équation, on se ramène à la forme $y'=ay$ et on lit $a$ .

$(E_1):\ y'=5y$ : $a=5$ , donc $y(x)=Ce^{5x}$ , $C\in\mathbb{R}$ .
$(E_2):\ y'=-4y$ : $a=-4$ , donc $y(x)=Ce^{-4x}$ , $C\in\mathbb{R}$ .
$(E_3):\ y'=\frac27y$ : $a=\frac27$ , donc $y(x)=Ce^{\frac27x}$ , $C\in\mathbb{R}$ .
$(E_4):\ 2y'=-3y\iff y'=-\frac32y$ : $a=-\frac32$ , donc $y(x)=Ce^{-\frac32x}$ , $C\in\mathbb{R}$ .
$(E_5):\ y'=\sqrt3\,y$ : $a=\sqrt3$ , donc $y(x)=Ce^{\sqrt3x}$ , $C\in\mathbb{R}$ .
$(E_6):\ y'+2y=0\iff y'=-2y$ : $a=-2$ , donc $y(x)=Ce^{-2x}$ , $C\in\mathbb{R}$ .
$(E_7):\ 3y'-y=0\iff y'=\frac13y$ : $a=\frac13$ , donc $y(x)=Ce^{\frac x3}$ , $C\in\mathbb{R}$ .

Vérification sur $(E_4)$ : si $y(x)=Ce^{-\frac32x}$ , alors $2y'(x)=2\times\left(-\frac32\right)Ce^{-\frac32x}=-3y(x)$ .

2) a) $(E_8):\ 4y'-3y=0\iff y'=\frac34y$ : les solutions sont les fonctions $x\mapsto Ce^{\frac34x}$ , $C\in\mathbb{R}$ .

b) On cherche $C$ tel que $f(4)=2$ : $Ce^{\frac34\times4}=Ce^3=2$ , donc $C=2e^{-3}$ . Ainsi $f(x)=2e^{-3}e^{\frac34x}=2e^{\frac34x-3}.$ Vérification : $f(4)=2e^0=2$ .

Unicité. L’équation $Ce^3=2$ a une seule solution $C$ : il existe une unique solution de $(E_8)$ vérifiant $f(4)=2$ , conformément au cours.

3) a) $(E_9):\ 3y'+2y=0\iff y'=-\frac23y$ : les solutions sont les fonctions $x\mapsto Ce^{-\frac23x}$ , $C\in\mathbb{R}$ .

b) $f(3)=Ce^{-2}=e$ , donc $C=e^3$ et $f(x)=e^3e^{-\frac23x}=e^{3-\frac23x}$ . Vérification : $f(3)=e^{3-2}=e$ .

Exercice 2 — Équation $y'=ay+b$ Facile ★★☆☆☆

Résoudre sur $\mathbb{R}$ $R$ les équations différentielles suivantes :
- $(E_1):\ y'=3y+6$ ; $\ (E_2):\ y'=-2y+6$ ; $\ (E_3):\ y'=-y+5$ ; $\ (E_4):\ y'=\sqrt3\,y-3$ ;
- $(E_5):\ y'=\dfrac12y+1$ ; $\ (E_6):\ 2y'+6y=3$ ; $\ (E_7):\ y'-4y=2$ ; $\ (E_8):\ 3y'=y+1$ .
a) Résoudre sur $\mathbb{R}$ l’équation différentielle $(E_9):\ y'=2y-4$ . b) Déterminer la solution $f$ de $(E_9)$ dont la courbe passe par le point $A(0;3)$ .
a) Résoudre sur $\mathbb{R}$ l’équation différentielle $(E_{10}):\ 5y'+y-3=0$ . b) Déterminer la solution $f$ de $(E_{10})$ dont la courbe passe par le point $B(0;1)$ .

Voir la solution

1) Pour chaque équation, on l’écrit sous la forme $y'=ay+b$ , on calcule la solution constante $-\dfrac ba$ et on en déduit la solution générale.

Équation	Forme $y'=ay+b$	Solution constante $-\frac ba$	Solutions
$(E_1)$	$y'=3y+6$	$-2$	$Ce^{3x}-2$
$(E_2)$	$y'=-2y+6$	$3$	$Ce^{-2x}+3$
$(E_3)$	$y'=-y+5$	$5$	$Ce^{-x}+5$
$(E_4)$	$y'=\sqrt3\,y-3$	$\frac3{\sqrt3}=\sqrt3$	$Ce^{\sqrt3x}+\sqrt3$
$(E_5)$	$y'=\frac12y+1$	$-2$	$Ce^{\frac x2}-2$
$(E_6)$	$y'=-3y+\frac32$	$\frac12$	$Ce^{-3x}+\frac12$
$(E_7)$	$y'=4y+2$	$-\frac12$	$Ce^{4x}-\frac12$
$(E_8)$	$y'=\frac13y+\frac13$	$-1$	$Ce^{\frac x3}-1$

Dans chaque cas, $C\in\mathbb{R}$ .

Vérification de la solution constante sur $(E_2)$ : la fonction constante $x\mapsto3$ a une dérivée nulle, et $-2\times3+6=0$ : elle est bien solution.

Vérification de la solution générale sur $(E_6)$ : si $y(x)=Ce^{-3x}+\frac12$ , alors $2y'+6y=-6Ce^{-3x}+6Ce^{-3x}+3=3$ .

2) a) $(E_9):\ y'=2y-4$ : $a=2$ , $b=-4$ , solution constante $-\frac ba=2$ (en effet $2\times2-4=0$ ). Les solutions sont les fonctions $x\mapsto Ce^{2x}+2$ , $C\in\mathbb{R}$ .

b) La courbe passe par $A(0;3)$ si et seulement si $f(0)=3$ : $C+2=3$ , donc $C=1$ et $f(x)=e^{2x}+2$ .

3) a) $(E_{10}):\ 5y'+y-3=0\iff y'=-\frac15y+\frac35$ : $a=-\frac15$ , $b=\frac35$ , solution constante $-\dfrac{3/5}{-1/5}=3$ (en effet $5\times0+3-3=0$ ). Les solutions sont les fonctions $x\mapsto Ce^{-\frac x5}+3$ , $C\in\mathbb{R}$ .

b) $f(0)=1$ : $C+3=1$ , donc $C=-2$ et $f(x)=3-2e^{-\frac x5}$ . Vérification : $5f'(x)+f(x)-3=2e^{-\frac x5}+3-2e^{-\frac x5}-3=0$ .

Exercice 3 — Équation $y''+ay'+by=0$ Facile ★★☆☆☆

Résoudre sur $\mathbb{R}$ $R$ les équations différentielles suivantes :
- $(E_1):\ y''-5y'+6y=0$ ; $\ (E_2):\ y''+4y'+4y=0$ ; $\ (E_3):\ y''+9y=0$ ;
- $(E_4):\ y''-4y'+13y=0$ ; $\ (E_5):\ 4y''-4y'+y=0$ ; $\ (E_6):\ y''-3y'=0$ .
a) Résoudre sur $\mathbb{R}$ l’équation différentielle $(E_7):\ y''-y'-2y=0$ . b) Déterminer la solution $f$ de $(E_7)$ vérifiant $f(0)=0$ et $f'(0)=3$ .
a) Résoudre sur $\mathbb{R}$ l’équation différentielle $(E_8):\ y''-6y'+9y=0$ . b) Déterminer la solution $f$ de $(E_8)$ vérifiant $f(0)=1$ et $f'(0)=1$ .
a) Résoudre sur $\mathbb{R}$ l’équation différentielle $(E_9):\ y''+4y=0$ . b) Déterminer la solution $f$ de $(E_9)$ vérifiant $f\left(\dfrac\pi4\right)=1$ et $f'\left(\dfrac\pi4\right)=4$ .

Voir la solution

Dans chaque cas, $(\alpha;\beta)\in\mathbb{R}^2$ .

$(E_1):\ y''-5y'+6y=0$ . Équation caractéristique : $r^2-5r+6=0$ ; $\Delta=25-24=1>0$ ; racines $r_1=\frac{5-1}2=2$ et $r_2=\frac{5+1}2=3$ . Solutions : $y(x)=\alpha e^{2x}+\beta e^{3x}$ .

$(E_2):\ y''+4y'+4y=0$ . Équation caractéristique : $r^2+4r+4=0$ ; $\Delta=16-16=0$ ; racine double $r=-2$ . Solutions : $y(x)=(\alpha x+\beta)e^{-2x}$ .

$(E_3):\ y''+9y=0$ . Équation caractéristique : $r^2+9=0$ ; $\Delta=-36=(6i)^2<0$ ; racines $3i$ et $-3i$ ( $p=0$ , $q=3$ ). Solutions : $y(x)=\alpha\cos3x+\beta\sin3x$ .

$(E_4):\ y''-4y'+13y=0$ . Équation caractéristique : $r^2-4r+13=0$ ; $\Delta=16-52=-36=(6i)^2<0$ ; racines $\frac{4\pm6i}2=2\pm3i$ ( $p=2$ , $q=3$ ). Solutions : $y(x)=e^{2x}\big(\alpha\cos3x+\beta\sin3x\big)$ .

$(E_5):\ 4y''-4y'+y=0$ . Équation caractéristique : $4r^2-4r+1=0$ ; $\Delta=16-16=0$ ; racine double $r=\frac48=\frac12$ . Solutions : $y(x)=(\alpha x+\beta)e^{\frac x2}$ .

$(E_6):\ y''-3y'=0$ . Équation caractéristique : $r^2-3r=r(r-3)=0$ ; $\Delta=9>0$ ; racines $0$ et $3$ . Solutions : $y(x)=\alpha e^{0x}+\beta e^{3x}=\alpha+\beta e^{3x}$ .

Vérifications.

Pour $(E_2)$ , avec $y(x)=(\alpha x+\beta)e^{-2x}$ : $y'(x)=(-2\alpha x+\alpha-2\beta)e^{-2x}$ et $y''(x)=(4\alpha x-4\alpha+4\beta)e^{-2x}$ , donc $y''+4y'+4y=\big(4\alpha x-4\alpha+4\beta-8\alpha x+4\alpha-8\beta+4\alpha x+4\beta\big)e^{-2x}=0$ .
Pour $(E_4)$ , on vérifie que $r=2+3i$ est racine : $(2+3i)^2-4(2+3i)+13=(-5+12i)-8-12i+13=0$ .
Pour $(E_6)$ , avec $y(x)=\alpha+\beta e^{3x}$ : $y''-3y'=9\beta e^{3x}-9\beta e^{3x}=0$ .

2) a) $(E_7)$ : $r^2-r-2=0$ ; $\Delta=1+8=9$ ; $r_1=\frac{1-3}2=-1$ , $r_2=\frac{1+3}2=2$ . Solutions : $y(x)=\alpha e^{2x}+\beta e^{-x}$ .

b) $f(x)=\alpha e^{2x}+\beta e^{-x}$ et $f'(x)=2\alpha e^{2x}-\beta e^{-x}$ . Les conditions donnent le système $\begin{cases}f(0)=\alpha+\beta=0\\ f'(0)=2\alpha-\beta=3\end{cases}$ En additionnant : $3\alpha=3$ , donc $\alpha=1$ et $\beta=-1$ . Ainsi $f(x)=e^{2x}-e^{-x}$ .

Vérification : $f''-f'-2f=(4e^{2x}-e^{-x})-(2e^{2x}+e^{-x})-2(e^{2x}-e^{-x})=0$ .

3) a) $(E_8)$ : $r^2-6r+9=0$ ; $\Delta=36-36=0$ ; racine double $r=3$ . Solutions : $y(x)=(\alpha x+\beta)e^{3x}$ .

b) $f(x)=(\alpha x+\beta)e^{3x}$ et $f'(x)=\alpha e^{3x}+3(\alpha x+\beta)e^{3x}=(3\alpha x+\alpha+3\beta)e^{3x}$ . Système : $\begin{cases}f(0)=\beta=1\\ f'(0)=\alpha+3\beta=1\end{cases}$ donc $\beta=1$ et $\alpha=1-3=-2$ . Ainsi $f(x)=(1-2x)e^{3x}$ .

Vérification : $f(0)=1$ ; $f'(x)=(-2+3-6x)e^{3x}=(1-6x)e^{3x}$ , donc $f'(0)=1$ ; et $f''(x)=(-6+3-18x)e^{3x}=(-3-18x)e^{3x}$ , d’où $f''-6f'+9f=\big(-3-18x-6+36x+9-18x\big)e^{3x}=0$ .

4) a) $(E_9)$ : $r^2+4=0$ ; $\Delta=-16=(4i)^2$ ; racines $\pm2i$ ( $p=0$ , $q=2$ ). Solutions : $y(x)=\alpha\cos2x+\beta\sin2x$ .

b) $f'(x)=-2\alpha\sin2x+2\beta\cos2x$ . Comme $\cos\frac\pi2=0$ et $\sin\frac\pi2=1$ , le système s’écrit $\begin{cases}f\left(\frac\pi4\right)=\alpha\cos\frac\pi2+\beta\sin\frac\pi2=\beta=1\\ f'\left(\frac\pi4\right)=-2\alpha\sin\frac\pi2+2\beta\cos\frac\pi2=-2\alpha=4\end{cases}$ donc $\beta=1$ et $\alpha=-2$ : $f(x)=-2\cos2x+\sin2x$ .

Vérification : $f''(x)=8\cos2x-4\sin2x=-4f(x)$ , donc $f''+4f=0$ ; $f\left(\frac\pi4\right)=-2\times0+1=1$ et $f'(x)=4\sin2x+2\cos2x$ donne $f'\left(\frac\pi4\right)=4$ .

Exercice 4 — Équations à paramètre Moyen ★★★☆☆

On considère un réel $\theta$ de l’intervalle $]0;\pi[$ . Résoudre sur $\mathbb{R}$ l’équation différentielle $(E_1):\ y''-2\cos(\theta)\,y'+y=0$ .
On considère un réel non nul $m$ . Résoudre sur $\mathbb{R}$ l’équation différentielle $(E_2):\ y''-2y'+(1+m^2)y=0$ .

Voir la solution

1) Équation caractéristique : $r^2-2\cos(\theta)\,r+1=0$ .

Discriminant : $\Delta=4\cos^2\theta-4=-4(1-\cos^2\theta)=-4\sin^2\theta$ .
Comme $\theta\in\,]0;\pi[$ , $\sin\theta>0$ , donc $\Delta<0$ et $\Delta=(2i\sin\theta)^2$ .
Racines : $r=\dfrac{2\cos\theta\pm2i\sin\theta}2=\cos\theta\pm i\sin\theta$ , d’où $p=\cos\theta$ et $q=\sin\theta\neq0$ .

Les solutions sont les fonctions $x\mapsto e^{x\cos\theta}\big(\alpha\cos(x\sin\theta)+\beta\sin(x\sin\theta)\big),\qquad(\alpha;\beta)\in\mathbb{R}^2.$

2) Équation caractéristique : $r^2-2r+1+m^2=0$ .

Discriminant : $\Delta=4-4(1+m^2)=-4m^2$ ; comme $m\neq0$ , $\Delta<0$ et $\Delta=(2im)^2$ .
Racines : $r=\dfrac{2\pm2im}2=1\pm im$ , d’où $p=1$ et $q=m$ .

Les solutions sont les fonctions $x\mapsto e^x\big(\alpha\cos(mx)+\beta\sin(mx)\big),\qquad(\alpha;\beta)\in\mathbb{R}^2.$

Exercice 5 — Équation avec second membre — modélisation Difficile ★★★★☆

On considère l’équation différentielle $(E):\ y'+y=\dfrac{e^{-x}}{1+x}$ sur l’intervalle $I=\,]-1;+\infty[$ .

Résoudre sur $I$ l’équation différentielle $(E_0):\ y'+y=0$ .
Montrer que la fonction $h$ définie sur $I$ par $h(x)=e^{-x}\ln(1+x)$ est une solution de $(E)$ .
a) On considère une fonction $f$ dérivable sur $I$ . Montrer que $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si $f-h$ est solution de $(E_0)$ . b) En déduire les solutions de $(E)$ sur $I$ .
Application. Un objet sorti d’un four à $90^\circ$ C est placé dans une pièce à $20^\circ$ C. On admet que sa température $\theta(t)$ (en $^\circ$ C), où $t\ge0$ est le temps en minutes, vérifie $\theta'(t)=-0{,}1\big(\theta(t)-20\big)$ et $\theta(0)=90$ . Déterminer $\theta(t)$ , puis le temps nécessaire pour que la température de l’objet atteigne $55^\circ$ C.

Voir la solution

1) $(E_0):\ y'+y=0\iff y'=-y$ : $a=-1$ , donc les solutions sur $I$ sont les fonctions $x\mapsto Ce^{-x}$ , $C\in\mathbb{R}$ .

2) Sur $I$ , $1+x>0$ : $h$ est dérivable comme produit de fonctions dérivables, et $h'(x)=-e^{-x}\ln(1+x)+e^{-x}\times\frac1{1+x}.$ Donc $h'(x)+h(x)=-e^{-x}\ln(1+x)+\dfrac{e^{-x}}{1+x}+e^{-x}\ln(1+x)=\dfrac{e^{-x}}{1+x}$ : $h$ est une solution de $(E)$ .

Remarque. On ne peut pas appliquer directement la formule du cours, car le second membre $\dfrac{e^{-x}}{1+x}$ n’est pas constant : c’est pourquoi on passe par la solution particulière $h$ et par l’équation homogène $(E_0)$ .

3) a) Comme $h'+h=\dfrac{e^{-x}}{1+x}$ sur $I$ , pour toute fonction $f$ dérivable sur $I$ : $f'+f=\frac{e^{-x}}{1+x}\iff f'+f=h'+h\iff(f-h)'+(f-h)=0.$ Chaque étape est réversible : $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si $f-h$ est solution de $(E_0)$ .

b) D’après 1) et 3) a), $f$ est solution de $(E)$ si et seulement s’il existe $C\in\mathbb{R}$ tel que $f(x)-h(x)=Ce^{-x}$ . Les solutions de $(E)$ sur $I$ sont donc les fonctions $x\mapsto\big(C+\ln(1+x)\big)e^{-x},\qquad C\in\mathbb{R}.$

4) L’équation s’écrit $\theta'=-0{,}1\theta+2$ : $a=-0{,}1$ , $b=2$ , solution constante $-\dfrac ba=20$ (la température de la pièce). Donc $\theta(t)=Ce^{-0{,}1t}+20$ , et la condition $\theta(0)=C+20=90$ donne $C=70$ : $\theta(t)=70e^{-0{,}1t}+20.$ Puis $\theta(t)=55\iff70e^{-0{,}1t}=35\iff e^{-0{,}1t}=\dfrac12\iff-0{,}1t=-\ln2\iff t=10\ln2\approx6{,}93$ .

Il faut environ $6{,}93$ minutes, soit à peu près $6$ minutes et $56$ secondes.

Interprétation. La fonction $\theta$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$ (car $\theta'(t)=-7e^{-0{,}1t}<0$ ) et $\lim\limits_{t\to+\infty}\theta(t)=20$ : la température de l’objet diminue et se rapproche de celle de la pièce, sans jamais l’atteindre. Quelques valeurs :

$t$ (min)	$0$	$5$	$10\ln2\approx6{,}93$	$10$	$20$	$30$
$\theta(t)$ ( $^\circ$ C)	$90$	$\approx62{,}5$	$55$	$\approx45{,}8$	$\approx29{,}5$	$\approx23{,}5$

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Chapitre 9 — Équations différentielles

Cours

I. L’équation différentielle y′=ay+by'=ay+by′=ay+b

1. Vocabulaire

2. L’équation y′=ayy'=ayy′=ay

3. L’équation y′=ay+by'=ay+by′=ay+b avec a≠0a\neq0a=0

4. Solution vérifiant une condition initiale

II. L’équation différentielle y′′+ay′+by=0y''+ay'+by=0y′′+ay′+by=0

1. Équation caractéristique

2. Résolution

3. Solution vérifiant des conditions initiales

III. Exemples de modélisation

1. Croissance et décroissance exponentielles

2. Loi de refroidissement

Résumé

Série d’exercices

Exercice 1 — Équation y′=ayy'=ayy′=ay Facile ★☆☆☆☆

Exercice 2 — Équation y′=ay+by'=ay+by′=ay+b Facile ★★☆☆☆

Exercice 3 — Équation y′′+ay′+by=0y''+ay'+by=0y′′+ay′+by=0 Facile ★★☆☆☆

Exercice 4 — Équations à paramètre Moyen ★★★☆☆

Exercice 5 — Équation avec second membre — modélisation Difficile ★★★★☆

I. L’équation différentielle $y'=ay+b$

2. L’équation $y'=ay$

3. L’équation $y'=ay+b$ avec $a\neq0$

II. L’équation différentielle $y''+ay'+by=0$

Exercice 1 — Équation $y'=ay$ Facile ★☆☆☆☆

Exercice 2 — Équation $y'=ay+b$ Facile ★★☆☆☆

Exercice 3 — Équation $y''+ay'+by=0$ Facile ★★☆☆☆