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Chapitre 1 — Notions d'arithmétique

Semestre 1

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Cours

Plan du chapitre. I. Nombres pairs et nombres impairs — II. Multiples d’un entier naturel et PPCM — III. Diviseurs d’un entier naturel et PGCD — IV. Nombres premiers — V. Décomposition en produit de facteurs premiers et applications.

Dans tout ce chapitre, on travaille uniquement avec des entiers naturels ; les lettres $a$ , $b$ , $k$ , $m$ , $n$ , $p$ , $q$ désignent des entiers naturels, sauf mention contraire.

I. Nombres pairs et nombres impairs

1. L’ensemble des entiers naturels

Définition 1 : Entiers naturels

Les nombres $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , … sont les entiers naturels. Leur ensemble est noté $\mathbb{N}$ : $\ \mathbb{N}=\{0;1;2;3;\ldots\}$ .
L’ensemble des entiers naturels non nuls est noté $\mathbb{N}^*$ : $\ \mathbb{N}^*=\{1;2;3;\ldots\}$ .
Si $n$ est un entier naturel, on écrit $n\in\mathbb{N}$ (« $n$ appartient à $\mathbb{N}$ ») ; sinon on écrit $n\notin\mathbb{N}$ .

Exemple 1

Dire si chacun des nombres $17$ , $0$ , $\dfrac{12}{4}$ , $\dfrac72$ et $2{,}4$ appartient à $\mathbb{N}$ , et si $0$ appartient à $\mathbb{N}^*$ .

Voir la solution

$17\in\mathbb{N}$ ; $\ 0\in\mathbb{N}$ mais $0\notin\mathbb{N}^*$ .
$\dfrac{12}{4}\in\mathbb{N}$ , car $\dfrac{12}{4}=3$ .
$\dfrac{7}{2}\notin\mathbb{N}$ , car $\dfrac72=3{,}5$ ; $\ 2{,}4\notin\mathbb{N}$ .

Remarque

La somme et le produit de deux entiers naturels sont des entiers naturels.
La différence $a-b$ de deux entiers naturels n’est un entier naturel que si $a\ge b$ : par exemple $3-8\notin\mathbb{N}$ .

2. Nombres pairs, nombres impairs

Définition 2 : Parité

On considère un entier naturel $n$ .

$n$ est pair s’il existe un entier naturel $k$ tel que $n=2k$ .
$n$ est impair s’il existe un entier naturel $k$ tel que $n=2k+1$ .

Tout entier naturel est soit pair, soit impair (et jamais les deux).

Exemple 2

Étudier la parité des nombres $96$ , $57$ , $0$ et $1$ .

Voir la solution

$96$ est pair, car $96=2\times48$ avec $48\in\mathbb{N}$ .
$57$ est impair, car $57=2\times28+1$ avec $28\in\mathbb{N}$ .
$0$ est pair, car $0=2\times 0$ ; $\ 1$ est impair, car $1=2\times0+1$ .

Méthode

Pour étudier la parité d’une expression entière $A$ , on cherche à l’écrire sous la forme $A=2k$ ou $A=2k+1$ , en précisant que $k$ est un entier naturel.

Exemple 3

On considère un entier naturel $n$ . Étudier la parité des nombres $A=10n+6$ et $B=4n^2+6n+9$ .

Voir la solution

$A=10n+6=2(5n+3)$ . On pose $k=5n+3$ ; on a $k\in\mathbb{N}$ , donc $A=2k$ : $A$ est pair.
$B=4n^2+6n+8+1=2(2n^2+3n+4)+1$ . On pose $k=2n^2+3n+4$ ; on a $k\in\mathbb{N}$ , donc $B=2k+1$ : $B$ est impair.

3. Règles de calcul sur la parité

Propriété 1 : Somme et produit

On considère deux entiers naturels $a$ et $b$ .

$a$	$b$	$a+b$	$a\times b$
pair	pair	pair	pair
pair	impair	impair	pair
impair	pair	impair	pair
impair	impair	pair	impair

En particulier, un produit d’entiers naturels est pair dès que l’un des facteurs est pair.

Exemple 4 : démonstration d’une ligne du tableau

Montrer que la somme de deux entiers impairs est paire.

Voir la solution

On considère deux entiers impairs $a$ et $b$ . Il existe deux entiers naturels $k$ et $k'$ tels que $a=2k+1$ et $b=2k'+1$ . Alors $a+b=2k+2k'+2=2(k+k'+1).$ Comme $k+k'+1\in\mathbb{N}$ , l’entier $a+b$ est pair.

Propriété 2 : Deux entiers consécutifs

Pour tout entier naturel $n$ , le produit $n(n+1)$ est pair.

Voir la solution

Démonstration. On distingue deux cas.

Si $n$ est pair, alors $n=2k$ avec $k\in\mathbb{N}$ , donc $n(n+1)=2\big(k(n+1)\big)$ est pair.
Si $n$ est impair, alors $n+1=2k+2=2(k+1)$ est pair, donc $n(n+1)$ est pair.

Dans les deux cas, $n(n+1)$ est pair.

Remarque

La méthode utilisée ci-dessus s’appelle un raisonnement par disjonction des cas : on traite séparément le cas « $n$ pair » et le cas « $n$ impair ».
Un entier $n$ et son carré $n^2$ ont la même parité : si $n=2k$ , alors $n^2=2(2k^2)$ ; si $n=2k+1$ , alors $n^2=2(2k^2+2k)+1$ .

Application 1

On considère un entier naturel $n$ .

Étudier la parité des nombres $C=14n+21$ et $D=n^2+3n$ .
Montrer que $E=n^2+n+7$ est impair.

Voir la solution

$C=14n+20+1=2(7n+10)+1$ avec $7n+10\in\mathbb{N}$ : $C$ est impair.
$D=n^2+3n=n(n+1)+2n$ . Le nombre $n(n+1)$ est pair (propriété 2) et $2n$ est pair ; leur somme est paire : $D$ est pair.
$E=n(n+1)+7$ . Le nombre $n(n+1)$ est pair, donc $n(n+1)=2k$ avec $k\in\mathbb{N}$ . Ainsi $E=2k+6+1=2(k+3)+1$ avec $k+3\in\mathbb{N}$ : $E$ est impair.

II. Multiples d’un entier naturel et PPCM

1. Multiples d’un entier naturel

Définition 3 : Multiple

On considère deux entiers naturels $a$ et $m$ . On dit que $m$ est un multiple de $a$ s’il existe un entier naturel $k$ tel que $m=k\times a.$

Exemple 5

Montrer que $91$ est un multiple de $7$ , décrire les multiples de $4$ , puis montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , le nombre $5^{n+1}+5^n$ est un multiple de $6$ .

Voir la solution

$91$ est un multiple de $7$ , car $91=13\times7$ .
Les multiples de $4$ sont $0$ , $4$ , $8$ , $12$ , $16$ , … c’est-à-dire les nombres $4k$ , avec $k\in\mathbb{N}$ .
Pour tout $n\in\mathbb{N}$ , le nombre $5^{n+1}+5^n$ est un multiple de $6$ : $5^{n+1}+5^n=5^n\times5+5^n=5^n(5+1)=6\times5^n,\quad\text{avec } 5^n\in\mathbb{N}.$

Remarque

$0$ est un multiple de tout entier naturel $a$ , car $0=0\times a$ .
Tout entier naturel $m$ est un multiple de $1$ et de lui-même : $m=m\times1=1\times m$ .
Un entier naturel non nul $a$ admet une infinité de multiples : $0$ , $a$ , $2a$ , $3a$ , …
Un entier est pair si et seulement s’il est un multiple de $2$ .

Propriété 3 : Somme de multiples

On considère trois entiers naturels $a$ , $m$ et $m'$ . Si $m$ et $m'$ sont deux multiples de $a$ , alors, pour tous entiers naturels $p$ et $q$ , l’entier $pm+qm'$ est un multiple de $a$ .

Voir la solution

Démonstration. On écrit $m=ka$ et $m'=k'a$ avec $k,k'\in\mathbb{N}$ . Alors $pm+qm'=pka+qk'a=(pk+qk')\,a,$ et $pk+qk'\in\mathbb{N}$ : l’entier $pm+qm'$ est un multiple de $a$ .

Application 2

Déterminer les multiples de $9$ inférieurs à $70$ .
On considère un entier naturel $n$ . Montrer que $2^{n+4}-2^n$ est un multiple de $15$ .

Voir la solution

Les multiples de $9$ sont les nombres $9k$ , $k\in\mathbb{N}$ ; ceux qui sont inférieurs à $70$ sont :
$0$ ; $9$ ; $18$ ; $27$ ; $36$ ; $45$ ; $54$ ; $63$ (car $9\times 8=72>70$ ).
$2^{n+4}-2^n=2^n\times2^4-2^n=2^n(16-1)=15\times2^n$ , avec $2^n\in\mathbb{N}$ . C’est donc un multiple de $15$ .

2. Plus petit commun multiple

Définition 4 : PPCM

On considère deux entiers naturels non nuls $a$ et $b$ . Le plus petit commun multiple de $a$ et $b$ est le plus petit entier naturel non nul qui est à la fois un multiple de $a$ et un multiple de $b$ .

On le note $\operatorname{PPCM}(a;b)$ ou $a\vee b$ .

Exemple 6

Déterminer $\operatorname{PPCM}(10;15)$ .

Voir la solution

Multiples non nuls de $10$ : $10$ ; $20$ ; $30$ ; $40$ ; $50$ ; $60$ ; …

Multiples non nuls de $15$ : $15$ ; $30$ ; $45$ ; $60$ ; …

Les multiples communs non nuls sont $30$ ; $60$ ; … Le plus petit est $30$ : $\operatorname{PPCM}(10;15)=30$ .

Remarque

On considère deux entiers naturels non nuls $a$ et $b$ .

$\operatorname{PPCM}(a;1)=a$ et $\operatorname{PPCM}(a;a)=a$ .
$\operatorname{PPCM}(a;b)$ est un multiple de $a$ et de $b$ , donc $\operatorname{PPCM}(a;b)\ge a$ et $\operatorname{PPCM}(a;b)\ge b$ .
Si $b$ est un multiple de $a$ , alors $\operatorname{PPCM}(a;b)=b$ ; réciproquement, si $\operatorname{PPCM}(a;b)=b$ , alors $b$ est un multiple de $a$ .
Les multiples communs à $a$ et $b$ sont exactement les multiples de $\operatorname{PPCM}(a;b)$ .

Application 3

Deux phares s’allument en même temps à minuit. Le premier s’allume toutes les $12$ secondes, le second toutes les $18$ secondes. Au bout de combien de secondes s’allumeront-ils de nouveau en même temps pour la première fois ?

Voir la solution

Le premier s’allume aux multiples de $12$ , le second aux multiples de $18$ . On cherche le plus petit multiple commun non nul.

Multiples de $18$ : $18$ ; $36$ ; … et $36=3\times12$ est un multiple de $12$ , alors que $18$ n’en est pas un.

Donc $\operatorname{PPCM}(12;18)=36$ : ils s’allument de nouveau ensemble au bout de $36$ secondes.

III. Diviseurs d’un entier naturel et PGCD

1. Diviseurs d’un entier naturel

Définition 5 : Diviseur

On considère deux entiers naturels $a$ et $d$ , avec $d\neq0$ . On dit que $d$ est un diviseur de $a$ (ou que $d$ divise $a$ , ou que $a$ est divisible par $d$ ) s’il existe un entier naturel $k$ tel que $a=d\times k.$

Remarque

Pour $d\neq 0$ : « $d$ divise $a$ » et « $a$ est un multiple de $d$ » sont deux façons de dire la même chose.
$1$ divise tout entier naturel ; tout entier naturel non nul $d$ divise $0$ .
Si $a\neq0$ et si $d$ divise $a$ , alors $d\le a$ : un entier non nul n’a qu’un nombre fini de diviseurs.
Si $a=x\times y$ avec $x,y\in\mathbb{N}^*$ , alors $x$ et $y$ sont des diviseurs de $a$ .

Méthode

Pour obtenir tous les diviseurs d’un entier $a\ge1$ , on cherche les produits $a=x\times y$ avec $x\le y$ : on teste les entiers $x=1$ , $2$ , $3$ , … tant que $x\times x\le a$ , et chaque diviseur $x$ trouvé donne le diviseur associé $y=\dfrac ax$ .

Exemple 7

Déterminer les diviseurs de $36$ .

Voir la solution

$36=1\times36=2\times18=3\times12=4\times9=6\times6$ ; et $5$ ne divise pas $36$ .

On s’arrête à $x=6$ car $7\times7=49>36$ . Les diviseurs de $36$ sont : $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ ; $6$ ; $9$ ; $12$ ; $18$ ; $36$ .

2. Critères de divisibilité

Propriété 4 : Critères de divisibilité

Un entier naturel est divisible :

par $2$ si son chiffre des unités est $0$ , $2$ , $4$ , $6$ ou $8$ ;
par $5$ si son chiffre des unités est $0$ ou $5$ ;
par $3$ si la somme de ses chiffres est divisible par $3$ ;
par $9$ si la somme de ses chiffres est divisible par $9$ .

Et réciproquement pour chacun de ces critères.

Exemple 8

On considère le nombre $N=47\,250$ .

Étudier la divisibilité de $N$ par $2$ , par $5$ , par $3$ et par $9$ .

Voir la solution

Son chiffre des unités est $0$ : $N$ est divisible par $2$ et par $5$ .
La somme de ses chiffres est $4+7+2+5+0=18$ , divisible par $9$ (donc aussi par $3$ ) : $N$ est divisible par $3$ et par $9$ .

Application 4

Déterminer les chiffres $c$ pour lesquels le nombre à quatre chiffres $\overline{3c27}$ est divisible par $9$ .

Voir la solution

La somme des chiffres est $3+c+2+7=12+c$ , avec $c\in\{0;1;\ldots;9\}$ , donc $12\le 12+c\le 21$ .

Le seul multiple de $9$ compris entre $12$ et $21$ est $18$ ; donc $12+c=18$ , soit $c=6$ .

Vérification : $3627=9\times403$ .

3. Plus grand commun diviseur

Définition 6 : PGCD

On considère deux entiers naturels non nuls $a$ et $b$ . Le plus grand commun diviseur de $a$ et $b$ est le plus grand entier naturel qui divise à la fois $a$ et $b$ . On le note $\operatorname{PGCD}(a;b)$ ou $a\wedge b$ .

Exemple 9

Déterminer $\operatorname{PGCD}(36;60)$ .

Voir la solution

Diviseurs de $36$ : $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ ; $6$ ; $9$ ; $12$ ; $18$ ; $36$ (exemple 7).

Diviseurs de $60$ : $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ ; $5$ ; $6$ ; $10$ ; $12$ ; $15$ ; $20$ ; $30$ ; $60$ .

Diviseurs communs : $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ ; $6$ ; $12$ . Donc $\operatorname{PGCD}(36;60)=12$ .

Propriété 5

On considère deux entiers naturels non nuls $a$ et $b$ .

$\operatorname{PGCD}(a;b)\ge1$ , $\ \operatorname{PGCD}(a;1)=1$ et $\operatorname{PGCD}(a;a)=a$ .
$\operatorname{PGCD}(a;b)\le a$ et $\operatorname{PGCD}(a;b)\le b$ .
Si $a$ divise $b$ , alors $\operatorname{PGCD}(a;b)=a$ ; réciproquement, si $\operatorname{PGCD}(a;b)=a$ , alors $a$ divise $b$ .
Pour tout $k\in\mathbb{N}^*$ : $\operatorname{PGCD}(ka;kb)=k\times\operatorname{PGCD}(a;b)$ .
Si $d=\operatorname{PGCD}(a;b)$ , alors il existe deux entiers naturels non nuls $\alpha$ et $\beta$ tels que $a=d\alpha,\qquad b=d\beta\qquad\text{et}\qquad\operatorname{PGCD}(\alpha;\beta)=1.$

Application 5

Déterminer tous les couples d’entiers naturels $(a;b)$ , avec $a<b$ , tels que $\operatorname{PGCD}(a;b)=6$ et $a+b=48$ .

Voir la solution

D’après la propriété 5, $a=6\alpha$ et $b=6\beta$ avec $\alpha,\beta\in\mathbb{N}^*$ et $\operatorname{PGCD}(\alpha;\beta)=1$ .

$a+b=48$ donne $6(\alpha+\beta)=48$ , soit $\alpha+\beta=8$ , avec $\alpha<\beta$ .

Les possibilités sont $(\alpha;\beta)\in\{(1;7);(2;6);(3;5)\}$ . Or $\operatorname{PGCD}(2;6)=2\neq1$ : on l’écarte.

Vérification : $\operatorname{PGCD}(6;42)=6$ et $\operatorname{PGCD}(18;30)=6$ . Les couples cherchés sont $(6;42)$ et $(18;30)$ .

4. Nombres premiers entre eux

Définition 7

On dit que deux entiers naturels non nuls $a$ et $b$ sont premiers entre eux si $\operatorname{PGCD}(a;b)=1$ , c’est-à-dire si leur seul diviseur commun est $1$ .

Exemple 10

Montrer que $8$ et $15$ sont premiers entre eux, et que $14$ et $21$ ne le sont pas.

Voir la solution

$8$ et $15$ sont premiers entre eux : les diviseurs de $8$ sont $1$ , $2$ , $4$ , $8$ et aucun d’eux, sauf $1$ , ne divise $15$ .
$14$ et $21$ ne sont pas premiers entre eux, car $7$ divise $14$ et $21$ .

Remarque

Deux entiers naturels consécutifs non nuls $n$ et $n+1$ sont toujours premiers entre eux (un diviseur commun divise leur différence $1$ ).
Une fraction $\dfrac ab$ (avec $a,b\in\mathbb{N}^*$ ) est irréductible lorsque $a$ et $b$ sont premiers entre eux. Pour la rendre irréductible, on divise $a$ et $b$ par $\operatorname{PGCD}(a;b)$ : par exemple $\dfrac{36}{60}=\dfrac{36\div12}{60\div12}=\dfrac35$ .

IV. Nombres premiers

1. Définition

Définition 8 : Nombre premier

Un entier naturel est dit premier s’il admet exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même.

Exemple 11

Dire si chacun des nombres $13$ , $21$ , $0$ et $1$ est premier.

Voir la solution

$13$ est premier : ses seuls diviseurs sont $1$ et $13$ .
$21$ n’est pas premier, car $21=3\times7$ .
$0$ et $1$ ne sont pas premiers : $1$ n’a qu’un seul diviseur, et $0$ en a une infinité.

Remarque

$2$ est le seul nombre premier pair.
Les nombres premiers inférieurs à $40$ sont : $2$ ; $3$ ; $5$ ; $7$ ; $11$ ; $13$ ; $17$ ; $19$ ; $23$ ; $29$ ; $31$ ; $37$ .
Si $a=x\times y$ avec $x\neq1$ et $y\neq1$ (et $x,y\in\mathbb{N}$ ), alors $a$ n’est pas premier.
Il existe une infinité de nombres premiers.

2. Reconnaître un nombre premier

Propriété 6 : Test de primalité

On considère un entier naturel $a\ge2$ .

Si $a$ n’est divisible par aucun nombre premier $p$ vérifiant $p\times p\le a$ , alors $a$ est premier.
Si $a$ est divisible par l’un de ces nombres premiers (et $a$ n’est pas lui-même ce nombre), alors $a$ n’est pas premier.

Remarque

La condition $p\times p\le a$ s’écrit aussi $p\le\sqrt a$ . Ce test découle du crible d’Ératosthène : pour obtenir les nombres premiers jusqu’à $100$ , on écrit les entiers de $2$ à $100$ , puis on barre les multiples de $2$ (sauf $2$ ), de $3$ (sauf $3$ ), de $5$ et de $7$ ; les nombres restants sont premiers (on s’arrête à $7$ car $11\times11=121>100$ ).

Exemple 12

Le nombre $127$ est-il premier ?

Voir la solution

$11\times11=121\le127<169=13\times13$ : on teste les nombres premiers $2$ , $3$ , $5$ , $7$ et $11$ .

$127$ est impair ; la somme de ses chiffres est $10$ : non divisible par $3$ ; il ne se termine ni par $0$ ni par $5$ .
$127=7\times18+1$ et $127=11\times11+6$ : non divisible par $7$ ni par $11$ .

Donc $127$ est un nombre premier.

Application 6

Déterminer, parmi les nombres $83$ ; $119$ ; $133$ ; $149$ , ceux qui sont premiers.

Voir la solution

$83$ : $9\times9=81\le83<100$ ; on teste $2$ , $3$ , $5$ , $7$ : aucun ne divise $83$ . Donc $83$ est premier.
$119=7\times17$ : non premier.
$133=7\times19$ : non premier.
$149$ : $12\times12=144\le149<169$ ; on teste $2$ , $3$ , $5$ , $7$ , $11$ : $149=7\times21+2=11\times13+6$ , la somme des chiffres vaut $14$ . Aucun ne divise $149$ : il est premier.

V. Décomposition en produit de facteurs premiers

1. Théorème fondamental

Théorème 1 : Décomposition

Tout entier naturel $a\ge2$ qui n’est pas premier s’écrit comme un produit de nombres premiers. Cette écriture est unique, à l’ordre des facteurs près. On la présente sous forme de produit de puissances de nombres premiers : $a=p_1^{\,\alpha_1}\times p_2^{\,\alpha_2}\times\cdots\times p_r^{\,\alpha_r}.$

Exemple 13

Décomposer $60$ , $98$ et $1000$ en produits de facteurs premiers.

Voir la solution

$60=2^2\times3\times5$ ; $\quad 98=2\times7^2$ ; $\quad 1000=2^3\times5^3$ .

2. Méthode pratique

Méthode

Pour décomposer un entier $a\ge2$ :

on divise $a$ par son plus petit diviseur premier $p_1$ ;
on recommence avec le quotient obtenu ;
on s’arrête lorsque le quotient vaut $1$ .

L’entier $a$ est alors le produit de tous les diviseurs premiers utilisés. On présente les calculs dans un tableau à deux colonnes (quotients à gauche, diviseurs premiers à droite).

Exemple 14

Décomposer $1260$ en produit de facteurs premiers.

Voir la solution

Quotient	$1260$	$630$	$315$	$105$	$35$	$7$	$1$
Diviseur premier	$2$	$2$	$3$	$3$	$5$	$7$

Donc $1260=2^2\times3^2\times5\times7$ .

3. Applications de la décomposition

Théorème 2 : PGCD et PPCM

On considère deux entiers naturels $a\ge2$ et $b\ge2$ décomposés en produits de facteurs premiers.

$\operatorname{PGCD}(a;b)$ est le produit des facteurs premiers communs aux deux décompositions, chacun affecté du plus petit exposant.
$\operatorname{PPCM}(a;b)$ est le produit de tous les facteurs premiers apparaissant dans l’une ou l’autre décomposition, chacun affecté du plus grand exposant.

Exemple 15

On considère $a=2^3\times3^2\times5$ et $b=2\times3^3\times7$ . Déterminer $\operatorname{PGCD}(a;b)$ et $\operatorname{PPCM}(a;b)$ .

Voir la solution

Facteurs communs : $2$ et $3$ , avec les plus petits exposants $1$ et $2$ : $\operatorname{PGCD}(a;b)=2\times3^2=18$ .

Tous les facteurs, avec les plus grands exposants : $\operatorname{PPCM}(a;b)=2^3\times3^3\times5\times7=7560$ .

Propriété 7

Pour tous entiers naturels non nuls $a$ et $b$ : $\operatorname{PGCD}(a;b)\times\operatorname{PPCM}(a;b)=a\times b.$

Remarque

La décomposition en facteurs premiers sert aussi à :

simplifier une fraction : on supprime les facteurs communs au numérateur et au dénominateur ;
simplifier une racine carrée : on regroupe les facteurs premiers par paires, puisque $\sqrt{p^2}=p$ ;
reconnaître un carré parfait (carré d’un entier naturel) : tous les exposants de sa décomposition sont pairs.

Application 7

On considère les entiers $a=756$ et $b=1176$ .

Décomposer $a$ et $b$ en produits de facteurs premiers.
En déduire $\operatorname{PGCD}(a;b)$ et $\operatorname{PPCM}(a;b)$ , puis vérifier la propriété 7.
Écrire $\dfrac ab$ sous forme irréductible.
Simplifier $\sqrt{a\times b}$ .

Voir la solution

$756=2\times378=2^2\times189=2^2\times3^3\times7$ ;
$1176=2\times588=2^2\times294=2^3\times147=2^3\times3\times7^2$ .
$\operatorname{PGCD}(a;b)=2^2\times3\times7=84$ ;
$\operatorname{PPCM}(a;b)=2^3\times3^3\times7^2=10\,584$ .
Vérification : $84\times10\,584=889\,056$ et $756\times1176=889\,056$ .
$\dfrac ab=\dfrac{2^2\times3^3\times7}{2^3\times3\times7^2}=\dfrac{3^2}{2\times7}=\dfrac{9}{14}$ .
$a\times b=2^5\times3^4\times7^3=(2^2\times3^2\times7)^2\times2\times7$ , donc $\sqrt{a\times b}=2^2\times3^2\times7\times\sqrt{14}=252\sqrt{14}.$

Application 8 : carré parfait

Déterminer le plus petit entier naturel non nul $m$ tel que $540\,m$ soit un carré parfait.

Voir la solution

$540=2^2\times3^3\times5$ . Pour que tous les exposants deviennent pairs, il faut multiplier au minimum par $3\times5=15$ .

Donc $m=15$ et $540\times15=8100=90^2$ .

À retenir — l’essentiel du chapitre

$n$ pair : $n=2k$ ; $\ n$ impair : $n=2k+1$ ( $k\in\mathbb{N}$ ). Le produit de deux entiers consécutifs est pair.
$d$ divise $a$ $\iff$ $a$ est un multiple de $d$ $\iff$ il existe $k\in\mathbb{N}$ tel que $a=dk$ ( $d\neq0$ ).
Critères : $2$ et $5$ (chiffre des unités) ; $3$ et $9$ (somme des chiffres).
Un nombre premier a exactement deux diviseurs. Test : diviseurs premiers $p$ avec $p\times p\le a$ .
PGCD : facteurs communs, plus petits exposants ; PPCM : tous les facteurs, plus grands exposants ; $\operatorname{PGCD}(a;b)\times\operatorname{PPCM}(a;b)=ab$ .

Série d’exercices

Exercice 1 — Parité Facile ★☆☆☆☆

On considère un entier naturel $n$ $n$ . Étudier la parité de chacun des nombres suivants :
- $A=12n+4$ ;
- $B=6n^2+10n+3$ ;
- $C=n^2+n+10$ ;
- $D=(2n+1)(2n+5)$ ;
- $E=n(n+1)(n+5)$ ;
- $F=n^2+7n+1$ .
On considère deux entiers pairs $a$ et $b$ tels que $a\ge b$ . Montrer que $a-b$ est pair.
Montrer que le produit de deux entiers impairs est impair.
Montrer que la somme d’un entier pair et d’un entier impair est impaire.
On considère un entier naturel $n$ . Montrer que $(n+2)(n+7)$ est pair.
On considère un entier impair $a$ . Montrer que $a^2$ est impair.
On considère un entier naturel $a$ tel que $a^2$ est pair. Montrer que $a$ est pair (on pourra examiner les deux parités possibles de $a$ ).
On considère un entier naturel $n\ge1$ . Vérifier que $n^3-n=(n-1)n(n+1)$ , puis montrer que $n^3-n$ est pair.

Voir la solution

1) On considère $n\in\N$ .

$A=12n+4=2(6n+2)$ , avec $6n+2\in\N$ : $A$ est pair.
$B=6n^2+10n+2+1=2(3n^2+5n+1)+1$ , avec $3n^2+5n+1\in\N$ : $B$ est impair.
$C=n(n+1)+10$ . Le produit $n(n+1)$ de deux entiers consécutifs est pair : $n(n+1)=2k$ avec $k\in\N$ . Donc $C=2(k+5)$ : $C$ est pair.
$2n+1$ et $2n+5=2(n+2)+1$ sont impairs ; leur produit est impair : $D$ est impair. (Directement : $D=4n^2+12n+5=2(2n^2+6n+2)+1$ .)
$n(n+1)$ est pair, donc $E=n(n+1)\times(n+5)$ est pair (un facteur pair suffit).
$F=n^2+n+6n+1=n(n+1)+2\times3n+1$ . Avec $n(n+1)=2k$ ( $k\in\N$ ) : $F=2(k+3n)+1$ : $F$ est impair.

2) $a=2k$ et $b=2k'$ avec $k,k'\in\N$ . Comme $a\ge b$ , on a $k\ge k'$ , donc $k-k'\in\N$ et $a-b=2(k-k')$ est pair.

3) $a=2k+1$ et $b=2k'+1$ avec $k,k'\in\N$ : $ab=4kk'+2k+2k'+1=2(2kk'+k+k')+1,$ avec $2kk'+k+k'\in\N$ : $ab$ est impair.

4) $a=2k$ et $b=2k'+1$ : $a+b=2(k+k')+1$ avec $k+k'\in\N$ : $a+b$ est impair.

5) Les entiers $n+2$ et $n+7$ diffèrent de $5$ , donc ils sont de parités contraires (si l’un est pair, l’autre s’obtient en ajoutant l’impair $5$ , d’après 4)). L’un des deux facteurs est pair, donc le produit $(n+2)(n+7)$ est pair.

6) $a=2k+1$ avec $k\in\N$ : $a^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1$ est impair. (C’est aussi le cas particulier $b=a$ de la question 3).)

7) Deux cas seulement sont possibles pour $a$ :

si $a$ est impair, alors $a^2$ est impair d’après 6), ce qui contredit l’hypothèse « $a^2$ pair » ;
il reste donc le cas $a$ pair.

Conclusion : si $a^2$ est pair, alors $a$ est pair.

8) Pour $n\ge1$ : $(n-1)n(n+1)=(n-1)(n^2+n)=n^3+n^2-n^2-n=n^3-n$ .

Les entiers $n$ et $n+1$ sont consécutifs, donc $n(n+1)$ est pair ; par suite $n^3-n=(n-1)\times n(n+1)$ est pair.

Exercice 2 — Multiples Facile ★☆☆☆☆

Déterminer les multiples de $7$ inférieurs à $80$ .
On considère un entier naturel $n$ . Montrer que le nombre $3^{n+2}+3^n$ est un multiple de $10$ .
Déterminer les chiffres $c$ pour lesquels le nombre à quatre chiffres $\overline{4c56}$ est un multiple de $3$ .
On considère trois entiers naturels $a$ , $m$ et $m'$ tels que $m$ et $m'$ sont des multiples de $a$ . Montrer que $5m+2m'$ est un multiple de $a$ .
On considère un entier impair $a$ . Montrer que $a^2+3$ est un multiple de $4$ .

Voir la solution

1) Les multiples de $7$ sont les nombres $7k$ , $k\in\N$ . Comme $7\times11=77<80<84=7\times12$ , ceux qui sont inférieurs à $80$ sont :

$0$ ; $7$ ; $14$ ; $21$ ; $28$ ; $35$ ; $42$ ; $49$ ; $56$ ; $63$ ; $70$ ; $77$ .

2) $3^{n+2}+3^n=3^n\times3^2+3^n=3^n(9+1)=10\times3^n$ , avec $3^n\in\N$ : c’est un multiple de $10$ .

3) La somme des chiffres de $\overline{4c56}$ est $4+c+5+6=15+c$ . Comme $15$ est un multiple de $3$ , le nombre est un multiple de $3$ exactement lorsque $c$ en est un. Avec $c\in\{0;1;\ldots;9\}$ : $c\in\{0;3;6;9\}.$ Les nombres obtenus sont $4056$ ; $4356$ ; $4656$ ; $4956$ .

4) $m=ka$ et $m'=k'a$ avec $k,k'\in\N$ : $5m+2m'=(5k+2k')\,a$ avec $5k+2k'\in\N$ : c’est un multiple de $a$ .

5) $a=2k+1$ avec $k\in\N$ : $a^2+3=4k^2+4k+4=4(k^2+k+1)$ , avec $k^2+k+1\in\N$ : c’est un multiple de $4$ .

Exercice 3 — Diviseurs et critères de divisibilité Facile ★★☆☆☆

a) Déterminer les diviseurs de $30$ . b) Calculer la somme de ces diviseurs et vérifier qu’elle est un multiple de $24$ .
Le nombre $64\,215$ est-il divisible par $2$ ? par $3$ ? par $5$ ? par $9$ ?
Déterminer les entiers naturels compris entre $200$ et $260$ qui sont divisibles à la fois par $2$ et par $9$ .
On considère un entier naturel $n$ . Montrer que le nombre $5^{n+1}\times3^{n+2}$ est divisible par $45$ .
a) Déterminer les diviseurs de $20$ . b) On considère deux entiers naturels $x$ et $y$ tels que $x\ge y$ . Montrer que $x+y$ et $x-y$ ont la même parité. c) En déduire les couples d’entiers naturels $(x;y)$ tels que $x^2-y^2=20$ .
Déterminer le chiffre $c$ pour lequel le nombre $\overline{3c75}$ est divisible par $45$ .
Déterminer les chiffres $u$ pour lesquels le nombre à quatre chiffres $\overline{u482}$ est divisible par $3$ mais pas par $9$ .
a) Vérifier que, pour tout entier naturel $x$ : $(x^2+x+1)(x^2-x+1)=x^4+x^2+1.$ b) En déduire une écriture de $10\,101$ comme produit de deux entiers naturels supérieurs à $1$ . c) En déduire que $10^8+10^4+1$ n’est pas un nombre premier.
On considère un entier naturel non nul $n$ . a) Donner huit diviseurs de $6n$ , exprimés en fonction de $n$ . b) Donner six diviseurs de $3n^2+3n$ , exprimés en fonction de $n$ . c) En déduire quatre diviseurs communs à $6n$ et à $3n^2+3n$ .

Voir la solution

1) a) $30=1\times30=2\times15=3\times10=5\times6$ ( $4$ ne divise pas $30$ , et on s’arrête car $6\times6>30$ ). Les diviseurs de $30$ sont $1$ ; $2$ ; $3$ ; $5$ ; $6$ ; $10$ ; $15$ ; $30$ .

b) $1+2+3+5+6+10+15+30=72=24\times3$ : la somme est bien un multiple de $24$ .

2) Pour $64\,215$ : le chiffre des unités est $5$ , donc il est divisible par $5$ mais pas par $2$ . La somme des chiffres est $6+4+2+1+5=18$ , divisible par $9$ et par $3$ : il est divisible par $3$ et par $9$ ( $64\,215=9\times7135$ ).

3) Un entier est divisible par $2$ et par $9$ si et seulement s’il est divisible par $\operatorname{PPCM}(2;9)=18$ . Les multiples de $18$ entre $200$ et $260$ sont : $18\times12=216\ ;\quad18\times13=234\ ;\quad18\times14=252.$

4) $5^{n+1}\times3^{n+2}=5\times5^n\times3^2\times3^n=45\times(5^n\times3^n)=45\times15^n$ , avec $15^n\in\N$ : ce nombre est divisible par $45$ .

5) a) $20=1\times20=2\times10=4\times5$ : les diviseurs de $20$ sont $1$ ; $2$ ; $4$ ; $5$ ; $10$ ; $20$ .

b) $(x+y)-(x-y)=2y$ est pair. Si $x-y$ est pair, alors $x+y=(x-y)+2y$ est pair (somme de deux pairs) ; si $x-y$ est impair, alors $x+y$ est impair (somme d’un impair et d’un pair). Donc $x+y$ et $x-y$ ont la même parité.

c) $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ . On cherche $x\ge y$ (car $x^2-y^2=20>0$ ) tels que $(x-y)(x+y)=20$ , avec $x-y\le x+y$ .

D’après a), les décompositions possibles sont $(x-y;x+y)\in\{(1;20);(2;10);(4;5)\}$ . D’après b), les deux facteurs ont la même parité : seul $(2;10)$ convient. On obtient $x-y=2\ \text{ et }\ x+y=10,\quad\text{d'où}\quad x=6\ \text{ et }\ y=4.$ Vérification : $36-16=20$ . L’unique couple est $(6;4)$ .

6) $\operatorname{PPCM}(5;9)=45$ : les multiples communs à $5$ et à $9$ sont exactement les multiples de $45$ . Le nombre $\overline{3c75}$ est donc divisible par $45$ si et seulement s’il est divisible par $5$ et par $9$ . Il se termine par $5$ : il est divisible par $5$ . La somme des chiffres est $15+c$ , avec $15\le15+c\le24$ ; le seul multiple de $9$ dans cet intervalle est $18$ , d’où $c=3$ .

Vérification : $3375=45\times75$ .

7) Le chiffre $u$ vérifie $1\le u\le9$ (nombre à quatre chiffres). La somme des chiffres est $u+14$ , comprise entre $15$ et $23$ .

Divisible par $3$ : $u+14\in\{15;18;21\}$ , soit $u\in\{1;4;7\}$ .
Divisible par $9$ : $u+14=18$ , soit $u=4$ .

Donc $u\in\{1;7\}$ : les nombres $1482$ et $7482$ conviennent.

8) a) On développe : $(x^2+x+1)(x^2-x+1)=x^4-x^3+x^2+x^3-x^2+x+x^2-x+1=x^4+x^2+1.$

b) Avec $x=10$ : $10^4+10^2+1=10\,101$ et $(100+10+1)(100-10+1)=111\times91$ . Donc $10\,101=111\times91$ .

c) Avec $x=100$ : $x^4=10^8$ et $x^2=10^4$ , donc $10^8+10^4+1=(10\,000+100+1)(10\,000-100+1)=10\,101\times9901.$ Les deux facteurs sont supérieurs à $1$ : ce nombre n’est pas premier.

9) a) $6n=1\times6n=2\times3n=3\times2n=6\times n$ : les nombres $1$ ; $2$ ; $3$ ; $6$ ; $n$ ; $2n$ ; $3n$ ; $6n$ sont des diviseurs de $6n$ .

b) $3n^2+3n=3n(n+1)$ : les nombres $1$ ; $3$ ; $n$ ; $n+1$ ; $3n$ ; $3(n+1)$ en sont des diviseurs (on peut aussi citer $n(n+1)$ et $3n(n+1)$ ).

c) Les nombres $1$ ; $3$ ; $n$ ; $3n$ figurent dans les deux listes : ce sont des diviseurs communs à $6n$ et à $3n^2+3n$ . (Ces diviseurs ne sont pas nécessairement distincts : pour $n=1$ ou $n=3$ , certains coïncident.)

Exercice 4 — PGCD Facile ★★☆☆☆

a) Déterminer les diviseurs de $54$ et ceux de $90$ . b) En déduire $\pgcd(54;90)$ .
Déterminer les couples d’entiers naturels $(a;b)$ , avec $a<b$ , tels que $\pgcd(a;b)=9$ et $a+b=90$ .

Voir la solution

1) a) $54=1\times54=2\times27=3\times18=6\times9$ : diviseurs de $54$ : $1$ ; $2$ ; $3$ ; $6$ ; $9$ ; $18$ ; $27$ ; $54$ .

$90=1\times90=2\times45=3\times30=5\times18=6\times15=9\times10$ : diviseurs de $90$ : $1$ ; $2$ ; $3$ ; $5$ ; $6$ ; $9$ ; $10$ ; $15$ ; $18$ ; $30$ ; $45$ ; $90$ .

b) Diviseurs communs : $1$ ; $2$ ; $3$ ; $6$ ; $9$ ; $18$ . Donc $\pgcd(54;90)=18$ .

2) On écrit $a=9\alpha$ et $b=9\beta$ avec $\alpha,\beta\in\N^*$ , $\alpha<\beta$ et $\pgcd(\alpha;\beta)=1$ . De $a+b=90$ on tire $\alpha+\beta=10$ .

$(\alpha;\beta)$	$(1;9)$	$(2;8)$	$(3;7)$	$(4;6)$
$\pgcd(\alpha;\beta)$	$1$	$2$	$1$	$2$

On retient $(1;9)$ et $(3;7)$ : les couples cherchés sont $(9;81)$ et $(27;63)$ .

Vérification : $\pgcd(9;81)=9$ et $\pgcd(27;63)=9$ , avec $9+81=27+63=90$ .

Exercice 5 — Nombres premiers Facile ★★☆☆☆

Déterminer, parmi les nombres suivants, ceux qui sont premiers :
$51$ ; $221$ ; $223$ ; $247$ ; $289$ ; $311$ ; $1001$ .
On considère un entier naturel non nul $n$ . a) Vérifier que $n^3+8=(n+2)(n^2-2n+4)$ . b) En déduire que $n^3+8$ n’est pas premier.

Voir la solution

$51=3\times17$ : non premier.
$221=13\times17$ : non premier.
$223$ : $14\times14=196\le223<225=15\times15$ . On teste $2$ , $3$ , $5$ , $7$ , $11$ , $13$ : $223$ est impair, la somme de ses chiffres vaut $7$ , il ne se termine ni par $0$ ni par $5$ , et $223=7\times31+6=11\times20+3=13\times17+2$ . Donc $223$ est premier.
$247=13\times19$ : non premier.
$289=17\times17$ : non premier.
$311$ : $17\times17=289\le311<324=18\times18$ . On teste $2$ , $3$ , $5$ , $7$ , $11$ , $13$ , $17$ : $311=7\times44+3=11\times28+3=13\times23+12=17\times18+5$ ; la somme des chiffres vaut $5$ . Donc $311$ est premier.
$1001=7\times11\times13$ : non premier.

Les nombres premiers de la liste sont $223$ et $311$ .

2) a) $(n+2)(n^2-2n+4)=n^3-2n^2+4n+2n^2-4n+8=n^3+8$ .

b) Pour $n\ge1$ : $n+2\ge3$ ; et $n^2-2n+4=(n-1)^2+3\ge3$ . Le nombre $n^3+8$ est donc le produit de deux entiers naturels différents de $1$ : il n’est pas premier.

Exercice 6 — Décomposition en facteurs premiers Facile ★★☆☆☆

On considère les entiers naturels $a=2352$ et $b=3780$ .

Décomposer $a$ et $b$ en produits de facteurs premiers.
En déduire $\pgcd(a;b)$ et $\operatorname{PPCM}(a;b)$ .
Écrire $\dfrac ab$ sous forme irréductible et simplifier $\sqrt{a\times b}$ .
Déterminer le plus petit entier naturel non nul $m$ tel que $m\times a$ soit un carré parfait.
Déterminer le plus petit entier naturel non nul $p$ tel que $p\times b$ soit le cube d’un entier naturel.

Voir la solution

1) Par divisions successives :

Quotients de $a$	$2352$	$1176$	$588$	$294$	$147$	$49$	$7$	$1$
Diviseurs premiers	$2$	$2$	$2$	$2$	$3$	$7$	$7$

Quotients de $b$	$3780$	$1890$	$945$	$315$	$105$	$35$	$7$	$1$
Diviseurs premiers	$2$	$2$	$3$	$3$	$3$	$5$	$7$

$a=2^4\times3\times7^2\qquad\text{et}\qquad b=2^2\times3^3\times5\times7.$

2) $\pgcd(a;b)=2^2\times3\times7=84$ .

$\operatorname{PPCM}(a;b)=2^4\times3^3\times5\times7^2=105\,840$ .

Contrôle : $84\times105\,840=8\,890\,560=2352\times3780$ .

3) $\dfrac ab=\dfrac{2^4\times3\times7^2}{2^2\times3^3\times5\times7}=\dfrac{2^2\times7}{3^2\times5}=\dfrac{28}{45}$ , fraction irréductible car $\pgcd(28;45)=1$ .

$a\times b=2^6\times3^4\times5\times7^3=(2^3\times3^2\times7)^2\times5\times7$ , donc $\sqrt{a\times b}=2^3\times3^2\times7\times\sqrt{35}=504\sqrt{35}.$

4) $m\times a$ est un carré parfait lorsque tous les exposants de sa décomposition sont pairs. Dans $a=2^4\times3^1\times7^2$ , seul l’exposant de $3$ est impair : le plus petit $m$ est $m=3$ , et $3a=7056=84^2$ .

5) $p\times b$ est un cube lorsque tous les exposants sont des multiples de $3$ . Dans $b=2^2\times3^3\times5^1\times7^1$ , il manque $2^1$ , $5^2$ et $7^2$ : $p=2\times5^2\times7^2=2450,\qquad p\times b=2^3\times3^3\times5^3\times7^3=210^3.$

Exercice 7 — PGCD, PPCM et fractions Facile ★★☆☆☆

On considère les entiers naturels $a=72\times35$ et $b=6^3\times14$ .

Décomposer $a$ et $b$ en produits de facteurs premiers.
En déduire $\pgcd(a;b)$ et $\operatorname{PPCM}(a;b)$ .
À l’aide des décompositions de $84$ et de $120$ , écrire les fractions $\dfrac{11}{84}$ et $\dfrac{17}{120}$ avec le plus petit dénominateur commun possible.

Voir la solution

1) $72=2^3\times3^2$ et $35=5\times7$ , donc $a=2^3\times3^2\times5\times7$ .

$6^3=2^3\times3^3$ et $14=2\times7$ , donc $b=2^4\times3^3\times7$ .

2) $\pgcd(a;b)=2^3\times3^2\times7=504$ ; $\ \operatorname{PPCM}(a;b)=2^4\times3^3\times5\times7=15\,120$ .

3) $84=2^2\times3\times7$ et $120=2^3\times3\times5$ . Le plus petit dénominateur commun est $\operatorname{PPCM}(84;120)=2^3\times3\times5\times7=840.$ Comme $840=84\times10=120\times7$ : $\frac{11}{84}=\frac{110}{840}\qquad\text{et}\qquad\frac{17}{120}=\frac{119}{840}.$

Exercice 8 — Divisibilité et expression littérale Moyen ★★★☆☆

On considère un entier naturel $n$ .

Montrer que $n^2+7n+21=(n+3)(n+4)+9$ .
En déduire les valeurs de $n$ pour lesquelles $n+3$ divise $n^2+7n+21$ .

Voir la solution

1) $(n+3)(n+4)+9=n^2+4n+3n+12+9=n^2+7n+21$ .

2) On pose $N=n^2+7n+21=(n+3)(n+4)+9$ .

Si $n+3$ divise $N$ , comme $n+3$ divise $(n+3)(n+4)$ , il divise la différence $N-(n+3)(n+4)=9$ . Donc $n+3\in\{1;3;9\}$ ; or $n+3\ge3$ , d’où $n+3=3$ ou $n+3=9$ , soit $n=0$ ou $n=6$ .
Réciproquement : pour $n=0$ , $N=21=3\times7$ ; pour $n=6$ , $N=99=9\times11$ . Les deux valeurs conviennent.

Les valeurs cherchées sont $n=0$ et $n=6$ .

Exercice 9 — Problème concret Moyen ★★★☆☆

Un fleuriste dispose de $378$ roses et de $270$ tulipes. Il veut composer des bouquets tous identiques (même nombre de roses et même nombre de tulipes dans chaque bouquet) en utilisant toutes ses fleurs.

Justifier, sans poser de division, que $378$ et $270$ sont divisibles par $2$ et par $9$ .
Décomposer $378$ et $270$ en produits de facteurs premiers.
Calculer le nombre maximal de bouquets qu’il peut composer, puis la composition de chaque bouquet.

Voir la solution

1) $378$ et $270$ se terminent par $8$ et $0$ : ils sont pairs. Les sommes des chiffres sont $3+7+8=18$ et $2+7+0=9$ , divisibles par $9$ : ils sont divisibles par $9$ .

2) $378=2\times189=2\times9\times21=2\times3^3\times7$ ; $\quad 270=2\times135=2\times27\times5=2\times3^3\times5$ .

3) Le nombre de bouquets doit diviser $378$ et $270$ (toutes les fleurs sont utilisées, chaque bouquet est identique). Le nombre maximal est donc $\pgcd(378;270)=2\times3^3=54.$ Chaque bouquet contient alors $378\div54=7$ roses et $270\div54=5$ tulipes.

Exercice 10 — Carrés parfaits Difficile ★★★★☆

On rappelle qu’un carré parfait est un entier naturel qui est le carré d’un entier naturel. On admet qu’un entier naturel strictement compris entre les carrés de deux entiers naturels consécutifs n’est pas un carré parfait.

Montrer que les nombres suivants sont des carrés parfaits :
$324$ ; $2025$ ; $144\times225$ ; $12^5\times3$ .
On considère un entier naturel $n$ . Montrer que $9n^2+12n+4$ est un carré parfait.
a) Le nombre $200$ est-il un carré parfait ? Justifier. b) On considère un entier naturel non nul $n$ . Montrer que $n^2+n$ n’est pas un carré parfait.

Voir la solution

$324=2^2\times3^4=(2\times3^2)^2=18^2$ ;
$2025=3^4\times5^2=(3^2\times5)^2=45^2$ ;
$144\times225=12^2\times15^2=(12\times15)^2=180^2$ ;
$12^5\times3=2^{10}\times3^5\times3=2^{10}\times3^6=(2^5\times3^3)^2=864^2$ .

2) $9n^2+12n+4=(3n)^2+2\times3n\times2+2^2=(3n+2)^2$ , avec $3n+2\in\N$ : c’est un carré parfait.

3) a) $14^2=196<200<225=15^2$ : $200$ est strictement compris entre les carrés de deux entiers consécutifs, ce n’est pas un carré parfait.

b) Pour $n\ge1$ :

$n^2<n^2+n$ , car $n>0$ ;
$n^2+n<n^2+2n+1=(n+1)^2$ , car $n<2n+1$ .

Ainsi $n^2<n^2+n<(n+1)^2$ : $n^2+n$ est strictement compris entre les carrés des entiers consécutifs $n$ et $n+1$ , ce n’est pas un carré parfait.

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