Accueil › 1BAC SM › Chapitre 15 — Vecteurs de l’espace

Chapitre 15 — Vecteurs de l’espace

Semestre 2

Chargement du PDF…

📄 CoursOuvrir le PDF · Télécharger
📄 Série d’exercicesOuvrir le PDF · Télécharger
📄 Corrigé de la sérieOuvrir le PDF · Télécharger

Cours

Plan du chapitre. I. Le vecteur dans l’espace — II. Vecteurs colinéaires, points alignés — III. Vecteurs coplanaires, points coplanaires — Résumé.

Prérequis. Vecteurs du plan, relation de Chasles, translation. Convention pour un cube $ABCDEFGH$ : $ABCD$ et $EFGH$ sont deux faces opposées et $[AE]$ , $[BF]$ , $[CG]$ , $[DH]$ sont des arêtes.

I. Le vecteur dans l’espace

1) Rappels : solides usuels et perspective cavalière

Remarque

Cube (6 faces, 8 sommets), pavé droit (6 faces, 8 sommets), tétraèdre (4 faces, 4 sommets), prisme droit à base triangulaire (5 faces, 6 sommets), pyramide à base quadrilatère (5 faces, 5 sommets). En perspective cavalière, la face avant est en vraie grandeur, des arêtes parallèles sont représentées par des segments parallèles et les arêtes cachées sont en pointillés.

2) Définition et égalité de deux vecteurs

Définition 1

Deux points $A$ et $B$ de l’espace définissent le vecteur $\overrightarrow{AB}$ , caractérisé (si $A\neq B$ ) par sa direction (celle de la droite $(AB)$ ), son sens (de $A$ vers $B$ ) et sa norme $\|\overrightarrow{AB}\|=AB$ . Le vecteur $\overrightarrow{AA}$ est le vecteur nul $\vec0$ .

Propriété 1

Pour tous points $A,B,C,D$ de l’espace : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\iff ABDC$ est un parallélogramme (éventuellement aplati) $\iff[AD]$ et $[BC]$ ont le même milieu. Pour tout point $O$ et tout vecteur $\vec u$ , il existe un unique point $M$ tel que $\overrightarrow{OM}=\vec u$ .

3) Opérations

Propriété 2

Les règles de calcul du plan s’étendent à l’espace : relation de Chasles $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ ; règle du parallélogramme $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}\iff ABDC$ parallélogramme ; pour $\alpha,\beta\in\R$ : $\alpha(\vec u+\vec v)=\alpha\vec u+\alpha\vec v$ , $(\alpha+\beta)\vec u=\alpha\vec u+\beta\vec u$ , $\alpha(\beta\vec u)=(\alpha\beta)\vec u$ ; $\alpha\vec u=\vec0\iff(\alpha=0$ ou $\vec u=\vec0)$ . $I$ est le milieu de $[AB]\iff\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec0\iff$ pour tout point $M$ , $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$ .

Exemple 1

Dans le cube $ABCDEFGH$ , simplifier $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}$ .

Voir la solution

Dans le cube $ABCDEFGH$ : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AG}$ (Chasles et $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{CG}$ ).

II. Vecteurs colinéaires — Points alignés

1) Définition

Définition 2

Deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si $\vec u=\vec0$ ou s’il existe $k\in\R$ tel que $\vec v=k\vec u$ . Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

2) Propriétés

Propriété 3

Trois points $A$ , $B$ , $C$ sont alignés $\iff\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
Deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles $\iff\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.
Si $A$ est un point et $\vec u\neq\vec0$ , la droite $D(A;\vec u)$ passant par $A$ et dirigée par $\vec u$ est l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}=t\vec u$ , $t\in\R$ .

Exemple 2

Dans un tétraèdre $ABCD$ , soient $I$ le milieu de $[AB]$ et $J$ le milieu de $[AC]$ . Exprimer $\overrightarrow{IJ}$ en fonction de $\overrightarrow{BC}$ et en déduire la position des droites $(IJ)$ et $(BC)$ .

Voir la solution

Dans un tétraèdre $ABCD$ , soient $I$ le milieu de $[AB]$ et $J$ le milieu de $[AC]$ . Alors $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AJ}=\frac12\overrightarrow{BA}+\frac12\overrightarrow{AC}=\frac12\overrightarrow{BC}$ : les droites $(IJ)$ et $(BC)$ sont parallèles.

III. Vecteurs coplanaires — Points coplanaires

1) Plan défini par un point et deux vecteurs

Définition 3

Soient $A$ un point et $\vec u$ , $\vec v$ deux vecteurs non colinéaires. L’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}=x\vec u+y\vec v$ , $(x;y)\in\R^2$ , est un plan noté $P(A;\vec u;\vec v)$ ; on dit que $(\vec u;\vec v)$ est un couple de vecteurs directeurs de ce plan. Si $A$ , $B$ , $C$ ne sont pas alignés, $(ABC)=P(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})$ .

2) Vecteurs coplanaires

Définition 4

Trois vecteurs $\vec u=\overrightarrow{OA}$ , $\vec v=\overrightarrow{OB}$ , $\vec w=\overrightarrow{OC}$ sont coplanaires si les points $O$ , $A$ , $B$ , $C$ appartiennent à un même plan.

Propriété 4

Si $\vec u$ et $\vec v$ ne sont pas colinéaires : $\vec u$ , $\vec v$ , $\vec w$ sont coplanaires $\iff$ il existe $(\alpha;\beta)\in\R^2$ tel que $\vec w=\alpha\vec u+\beta\vec v$ . Quatre points $A,B,C,D$ sont coplanaires $\iff\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AC}$ , $\overrightarrow{AD}$ sont coplanaires.

Exemple 3

Dans le cube $ABCDEFGH$ , montrer que $A$ , $C$ , $E$ , $G$ sont coplanaires. Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AD}$ , $\overrightarrow{AE}$ sont-ils coplanaires ?

Voir la solution

Dans le cube $ABCDEFGH$ : $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AE}$ , donc $\overrightarrow{AC}$ , $\overrightarrow{AE}$ , $\overrightarrow{AG}$ sont coplanaires : $A$ , $C$ , $E$ , $G$ sont coplanaires (plan $(ACGE)$ ). En revanche $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AD}$ , $\overrightarrow{AE}$ ne sont pas coplanaires.

3) Parallélisme droite–plan et plan–plan

Propriété 5

Une droite $D(A;\vec w)$ est parallèle au plan $P(B;\vec u;\vec v)$ $\iff\vec u$ , $\vec v$ , $\vec w$ sont coplanaires.
Deux plans $P(A;\vec u;\vec v)$ et $P(B;\vec u';\vec v')$ sont parallèles $\iff\vec u'$ et $\vec v'$ sont chacun combinaison linéaire de $\vec u$ et $\vec v$ .

Méthode

Montrer que trois points sont alignés : exprimer $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ dans une même base (par exemple $(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AE})$ ) puis exhiber $k$ avec $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$ . Montrer que quatre points sont coplanaires : écrire l’un des vecteurs comme combinaison linéaire des deux autres.

Résumé

À retenir

$\vec u,\vec v$ colinéaires $\iff\vec v=k\vec u$ (ou $\vec u=\vec0$ ) ; $A,B,C$ alignés $\iff\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ colinéaires ; $\vec u,\vec v,\vec w$ coplanaires ( $\vec u,\vec v$ non colinéaires) $\iff\vec w=\alpha\vec u+\beta\vec v$ ; $A,B,C,D$ coplanaires $\iff\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$ coplanaires.

Série d’exercices

Remarque — méthodes utilisées

Chasles et égalités de vecteurs tirées des parallélogrammes (faces du cube, du pavé, du prisme).
Décomposition dans une base : dans un cube ou un pavé, on exprime tout vecteur en fonction de $\vec b=\overrightarrow{AB}$ , $\vec d=\overrightarrow{AD}$ , $\vec e=\overrightarrow{AE}$ (non coplanaires) ; dans un tétraèdre, de $\vec b=\overrightarrow{AB}$ , $\vec c=\overrightarrow{AC}$ , $\vec d=\overrightarrow{AD}$ . Deux décompositions égales ont les mêmes coefficients : c’est ce qui permet d’obtenir des contradictions.
Tous les résultats ont été contrôlés par calcul exact en coordonnées (Python/sympy, build/verif_lot4.py).

Cadre. Toute réponse doit être justifiée. Pour un cube ou un pavé $ABCDEFGH$ , $ABCD$ et $EFGH$ sont des faces opposées et $[AE]$ , $[BF]$ , $[CG]$ , $[DH]$ sont des arêtes. Pour un prisme $ABCDEF$ , $ABC$ et $DEF$ sont les bases et $[AD]$ , $[BE]$ , $[CF]$ les arêtes latérales. Difficulté : de $\bigstar$ à $\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar$ .

Exercice 1 — Calcul vectoriel dans un prisme Facile ★☆☆☆☆

Soit $ABCDEF$ un prisme à base triangulaire et $I$ le milieu de $[DF]$ .

Simplifier $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}$ .
Simplifier $\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BC}$ .
Soit $G$ le point défini par $\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}$ . Montrer que $I$ est le milieu de $[GE]$ .

Voir la solution

Dans le prisme, $ADFC$ , $ADEB$ et $BEFC$ sont des parallélogrammes, donc $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{CF}$ , $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{ED}$ .

1. $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AF}$ (Chasles).

2. $\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}$ .

3. Soit $K$ le milieu de $[GE]$ : $\overrightarrow{BK}=\frac12(\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{BE})=\overrightarrow{BE}+\frac12(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA})$ . Donc $\overrightarrow{EK}=\overrightarrow{BK}-\overrightarrow{BE}=\frac12(\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{ED})=\overrightarrow{EI}$ car $I$ est le milieu de $[DF]$ . Ainsi $K=I$ : $I$ est le milieu de $[GE]$ .

Exercice 2 — Coplanarité dans un pavé Facile ★★☆☆☆

Soit $ABCDEFGH$ un pavé droit et $I$ le milieu de $[BF]$ .

Les vecteurs $\overrightarrow{CA}$ , $\overrightarrow{DG}$ et $\overrightarrow{DE}$ sont-ils coplanaires ? Justifier.
Les vecteurs $\overrightarrow{AI}$ , $\overrightarrow{DF}$ et $\overrightarrow{HE}$ sont-ils coplanaires ? Justifier.

Voir la solution

1. $EGCA$ est un parallélogramme (rectangle diagonal du pavé), donc $\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{CA}$ . Par Chasles, $\overrightarrow{DG}=\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{DE}-\overrightarrow{CA}$ . Le vecteur $\overrightarrow{DG}$ est combinaison linéaire de $\overrightarrow{DE}$ et $\overrightarrow{CA}$ (non colinéaires) : les trois vecteurs sont coplanaires.

2. Dans la base $(\vec b;\vec d;\vec e)$ : $\overrightarrow{AI}=\vec b+\frac12\vec e$ ; $\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}=\vec b-\vec d+\vec e$ ; $\overrightarrow{HE}=-\vec d$ . Raisonnons par l’absurde : supposons qu’il existe $\alpha,\beta\in\R$ tels que $\overrightarrow{AI}=\alpha\overrightarrow{DF}+\beta\overrightarrow{HE}$ . Alors $\vec b+\frac12\vec e=\alpha\vec b-(\alpha+\beta)\vec d+\alpha\vec e$ , et par unicité des coefficients : $\alpha=1$ et $\alpha=\frac12$ : contradiction. Comme $\overrightarrow{DF}$ et $\overrightarrow{HE}$ ne sont pas colinéaires, les trois vecteurs ne sont pas coplanaires.

Exercice 3 — Construction de points, alignement Moyen ★★★☆☆

Soit $ABCDEFGH$ un cube.

Identifier les points $M$ , $N$ et $R$ définis par : $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{CH}$ ; $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{BF}$ ; $\overrightarrow{HR}=\frac12\big(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{HB}\big)$ .
Soient $P$ et $Q$ les points définis par $\overrightarrow{EP}=\frac13\overrightarrow{EH}$ et $\overrightarrow{AQ}=\frac13\overrightarrow{AC}$ , et soient $I$ et $K$ les milieux respectifs de $[AE]$ et $[PQ]$ . a. Montrer que $\overrightarrow{QP}=-\frac13\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}$ . b. Soit $J$ le milieu de $[DG]$ . Exprimer $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{IK}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$ . c. En déduire que $I$ , $J$ et $K$ sont alignés.

Voir la solution

1. $\overrightarrow{EF}=\vec b$ et $\overrightarrow{CH}=-\vec b+\vec e$ , donc $\overrightarrow{AM}=\vec e=\overrightarrow{AE}$ : $M=E$ . $\overrightarrow{AN}=(\vec b+\vec d+\vec e)-\vec e=\vec b+\vec d=\overrightarrow{AC}$ : $N=C$ . $\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{HB}=(\vec b+\vec d+\vec e)+(\vec b-\vec d-\vec e)=2\vec b$ , donc $\overrightarrow{HR}=\vec b=\overrightarrow{HG}$ : $R=G$ .

2. a. $\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{QA}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EP}=-\frac13(\vec b+\vec d)+\vec e+\frac13\vec d=-\frac13\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}$ .

2. b. $\overrightarrow{AI}=\frac12\vec e$ , $\overrightarrow{AJ}=\frac12(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AG})=\frac12\vec b+\vec d+\frac12\vec e$ , donc $\overrightarrow{IJ}=\frac12\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ . $\overrightarrow{AK}=\frac12(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ})=\frac12\big(\tfrac13\vec d+\vec e+\tfrac13\vec b+\tfrac13\vec d\big)=\frac16\vec b+\frac13\vec d+\frac12\vec e$ , donc $\overrightarrow{IK}=\frac16\overrightarrow{AB}+\frac13\overrightarrow{AD}$ .

2. c. $\overrightarrow{IK}=\frac13\big(\frac12\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\big)=\frac13\overrightarrow{IJ}$ : les vecteurs sont colinéaires, donc $I$ , $J$ , $K$ sont alignés.

Exercice 4 — Point défini par une relation Facile ★★☆☆☆

Soit $ABCDEFGH$ un cube, $I$ le milieu de $[HF]$ et $M$ le point tel que $2\overrightarrow{IM}=\overrightarrow{MA}$ .

Montrer que $\overrightarrow{AM}=\frac23\overrightarrow{AI}$ .
Montrer que $\overrightarrow{EM}=\frac13\overrightarrow{EC}$ . Que peut-on dire des points $E$ , $M$ , $C$ ?
Soient $J$ et $K$ les milieux respectifs de $[EF]$ et $[BC]$ . Montrer que $\overrightarrow{JK}=-\frac12\overrightarrow{CE}-\frac12\overrightarrow{CG}$ .

Voir la solution

1. $2\overrightarrow{IM}=\overrightarrow{MA}\iff2(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AM})=-\overrightarrow{AM}\iff3\overrightarrow{AM}=-2\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{AI}\iff\overrightarrow{AM}=\frac23\overrightarrow{AI}$ .

2. $\overrightarrow{AI}=\frac12(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{AF})=\frac12\vec b+\frac12\vec d+\vec e$ , donc $\overrightarrow{AM}=\frac13\vec b+\frac13\vec d+\frac23\vec e$ et $\overrightarrow{EM}=\overrightarrow{AM}-\vec e=\frac13(\vec b+\vec d-\vec e)$ . Or $\overrightarrow{EC}=\vec b+\vec d-\vec e$ . Donc $\overrightarrow{EM}=\frac13\overrightarrow{EC}$ : $E$ , $M$ , $C$ sont alignés ( $M$ est au tiers de $[EC]$ à partir de $E$ ).

3. $\overrightarrow{AJ}=\frac12\vec b+\vec e$ , $\overrightarrow{AK}=\vec b+\frac12\vec d$ , donc $\overrightarrow{JK}=\frac12\vec b+\frac12\vec d-\vec e$ . Or $\overrightarrow{CE}=-\vec b-\vec d+\vec e$ et $\overrightarrow{CG}=\vec e$ : $-\frac12\overrightarrow{CE}-\frac12\overrightarrow{CG}=\frac12\vec b+\frac12\vec d-\frac12\vec e-\frac12\vec e=\overrightarrow{JK}$ .

Exercice 5 — Droites définies par un point et un vecteur Moyen ★★★☆☆

Soit $ABCDEFGH$ un cube ; $I$ , $J$ , $O$ sont les milieux respectifs de $[AE]$ , $[GH]$ et $[CH]$ .

a. Montrer que $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AO}$ . b. En déduire que la droite $(IJ)$ est parallèle au plan $(ACH)$ .
Exprimer $\overrightarrow{IJ}$ en fonction de $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AH}$ .
Identifier les droites $D(O;\overrightarrow{IJ})$ et $D(G;\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{OF})$ .

Voir la solution

1. a. $\overrightarrow{AI}=\frac12\vec e$ , $\overrightarrow{AJ}=\frac12(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AH})=\frac12\vec b+\vec d+\vec e$ , donc $\overrightarrow{IJ}=\frac12\vec b+\vec d+\frac12\vec e$ . Et $\overrightarrow{AO}=\frac12(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AH})=\frac12(\vec b+\vec d+\vec d+\vec e)=\frac12\vec b+\vec d+\frac12\vec e$ . Donc $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AO}$ .

1. b. $O\in(CH)\subset(ACH)$ et $A\in(ACH)$ donc $(AO)\subset(ACH)$ ; $(IJ)$ est dirigée par $\overrightarrow{AO}$ , vecteur du plan $(ACH)$ : $(IJ)$ est parallèle au plan $(ACH)$ .

2. D’après 1.a, $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AO}=\frac12\overrightarrow{AC}+\frac12\overrightarrow{AH}$ .

3. $D(O;\overrightarrow{IJ})=D(O;\overrightarrow{AO})$ est la droite $(AO)$ . $\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{AF}$ , et $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{DG}$ ( $ADGF$ parallélogramme) : $D(G;\overrightarrow{AF})$ est la droite $(DG)$ .

Exercice 6 — Plans définis par un point et deux vecteurs Facile ★★☆☆☆

Soit $ABCDEFGH$ un cube.

Identifier le plan passant par $G$ et dirigé par $\overrightarrow{GF}$ et $\overrightarrow{GH}$ .
Déterminer l’ensemble des points $M$ de l’espace tels que $\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AC}+y\overrightarrow{AE}$ , avec $(x;y)\in\R^2$ .

Voir la solution

1. $\overrightarrow{GF}$ et $\overrightarrow{GH}$ ne sont pas colinéaires ; le plan $P(G;\overrightarrow{GF};\overrightarrow{GH})$ contient $G$ , $F$ et $H$ : c’est le plan $(FGH)$ , c’est-à-dire le plan de la face $EFGH$ .

2. $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AE}$ ne sont pas colinéaires ; l’ensemble cherché est le plan $P(A;\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AE})=(ACE)$ , qui contient aussi $G$ ( $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AE}$ ) : c’est le plan $(ACGE)$ .

Exercice 7 — Coplanarité Facile ★★☆☆☆

Soit $ABCDEFGH$ un cube ; $I$ et $J$ sont définis par $\overrightarrow{EI}=\frac13\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{GJ}=\frac23\overrightarrow{GC}$ .

Faire une figure.
Montrer que $\overrightarrow{IJ}=\frac23\overrightarrow{EC}+\frac13\overrightarrow{FG}$ .
En déduire que $\overrightarrow{IJ}$ , $\overrightarrow{EC}$ et $\overrightarrow{FG}$ sont coplanaires.

Voir la solution

1. Figure : $I$ sur $[EF]$ au tiers à partir de $E$ , $J$ sur $[GC]$ aux deux tiers à partir de $G$ .

2. $\overrightarrow{AI}=\frac13\vec b+\vec e$ ; $\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{AG}+\frac23\overrightarrow{GC}=\vec b+\vec d+\frac13\vec e$ ; donc $\overrightarrow{IJ}=\frac23\vec b+\vec d-\frac23\vec e$ . Or $\frac23\overrightarrow{EC}+\frac13\overrightarrow{FG}=\frac23(\vec b+\vec d-\vec e)+\frac13\vec d=\frac23\vec b+\vec d-\frac23\vec e=\overrightarrow{IJ}$ .

3. $\overrightarrow{IJ}$ est combinaison linéaire de $\overrightarrow{EC}$ et $\overrightarrow{FG}$ (non colinéaires) : les trois vecteurs sont coplanaires.

Exercice 8 — Quatre points coplanaires dans un tétraèdre Moyen ★★★☆☆

Soit $ABCD$ un tétraèdre et $I$ , $J$ , $K$ , $L$ définis par : $\overrightarrow{AI}=\frac23\overrightarrow{AB}$ ; $\overrightarrow{BJ}=\frac13\overrightarrow{BC}$ ; $\overrightarrow{CK}=\frac23\overrightarrow{CD}$ ; $\overrightarrow{DL}=\frac13\overrightarrow{DA}$ .

Faire une figure.
a. Exprimer $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{KL}$ en fonction de $\overrightarrow{AC}$ . b. En déduire que $I$ , $J$ , $K$ , $L$ sont coplanaires et préciser la nature de $IJKL$ .
Montrer que $(BD)$ est parallèle au plan $(IJK)$ .

Voir la solution

1. Figure laissée au lecteur.

2. a. $\overrightarrow{AI}=\frac23\vec b$ , $\overrightarrow{AJ}=\vec b+\frac13(\vec c-\vec b)=\frac23\vec b+\frac13\vec c$ , donc $\overrightarrow{IJ}=\frac13\overrightarrow{AC}$ . $\overrightarrow{AK}=\vec c+\frac23(\vec d-\vec c)=\frac13\vec c+\frac23\vec d$ , $\overrightarrow{AL}=\vec d-\frac13\vec d=\frac23\vec d$ , donc $\overrightarrow{KL}=-\frac13\overrightarrow{AC}$ .

2. b. $\overrightarrow{KL}=-\overrightarrow{IJ}$ , c’est-à-dire $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{LK}$ : les droites $(IJ)$ et $(KL)$ sont parallèles, donc $I,J,K,L$ sont coplanaires, et $IJKL$ est un parallélogramme (non aplati car $L\notin(IJ)$ : $\overrightarrow{IL}$ ci-dessous n’est pas colinéaire à $\vec c$ ).

3. $\overrightarrow{IL}=\frac23\vec d-\frac23\vec b=\frac23\overrightarrow{BD}$ . La droite $(BD)$ est dirigée par un vecteur du plan $(IJK)$ : elle est parallèle à ce plan.

Exercice 9 — Intersection de deux droites Difficile ★★★★☆

Soit $ABCD$ un tétraèdre. On définit $E$ , $F$ , $G$ par $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AC}$ , $\overrightarrow{AF}=\frac23\overrightarrow{AD}-\frac12\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AG}=\frac49\overrightarrow{AD}$ .

Justifier que $E$ appartient au plan $(ABC)$ .
Les points $E$ , $C$ et $D$ sont-ils alignés ? Justifier.
Justifier que les droites $(FC)$ et $(AD)$ sont coplanaires.
Exprimer $\overrightarrow{CG}$ et $\overrightarrow{CF}$ en fonction de $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$ .
En déduire que $G$ est le point d’intersection des droites $(AD)$ et $(FC)$ .

Voir la solution

1. $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AC}$ est combinaison linéaire de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ : $E\in P(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})=(ABC)$ .

2. $\overrightarrow{CE}=\vec b-\frac12\vec c$ et $\overrightarrow{CD}=\vec d-\vec c$ . Par l’absurde, si $\overrightarrow{CE}=k\overrightarrow{CD}$ , alors $\vec b-\frac12\vec c=k\vec d-k\vec c$ ; par unicité des coefficients, le coefficient de $\vec b$ donne $1=0$ : contradiction. Donc $E$ , $C$ , $D$ ne sont pas alignés.

3. $\overrightarrow{AF}=\frac23\overrightarrow{AD}-\frac12\overrightarrow{AC}$ , donc $F\in(ACD)$ ; ainsi $A,C,D,F$ sont coplanaires et les droites $(FC)$ et $(AD)$ sont contenues dans le plan $(ACD)$ : elles sont coplanaires.

4. $\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AG}=-\overrightarrow{AC}+\frac49\overrightarrow{AD}$ ; $\overrightarrow{CF}=-\overrightarrow{AC}+\frac23\overrightarrow{AD}-\frac12\overrightarrow{AC}=-\frac32\overrightarrow{AC}+\frac23\overrightarrow{AD}$ .

5. $\frac32\overrightarrow{CG}=-\frac32\overrightarrow{AC}+\frac23\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CF}$ : $C,F,G$ sont alignés, donc $G\in(FC)$ . Et $\overrightarrow{AG}=\frac49\overrightarrow{AD}$ donne $G\in(AD)$ . Les droites $(AD)$ et $(FC)$ ne sont pas parallèles ( $\overrightarrow{CF}$ a un coefficient non nul sur $\overrightarrow{AC}$ ) ; elles ont donc au plus un point commun : c’est $G$ .

Exercice 10 — Plans parallèles dans une pyramide Difficile ★★★★☆

Soit $PABCD$ une pyramide de sommet $P$ dont la base $ABCD$ est un parallélogramme. On définit $M$ , $N$ , $S$ par $\overrightarrow{BM}=\frac13\overrightarrow{BP}$ , $\overrightarrow{CN}=\frac13\overrightarrow{CP}$ et $\overrightarrow{AS}=\frac23\overrightarrow{AB}$ .

Montrer que $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{AD}$ sont colinéaires.
En déduire que la droite $(MN)$ est parallèle au plan $(PAD)$ .
Montrer que les plans $(MNS)$ et $(PAD)$ sont parallèles.

Voir la solution

On travaille dans la base $(\vec b;\vec d;\vec p)=(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AP})$ ; $\overrightarrow{AC}=\vec b+\vec d$ .

1. $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PN}=\frac23\overrightarrow{BP}+\frac23\overrightarrow{PC}=\frac23\overrightarrow{BC}=\frac23\overrightarrow{AD}$ : colinéaires.

2. $(MN)$ est dirigée par $\overrightarrow{AD}$ , vecteur du plan $(PAD)$ : $(MN)$ est parallèle au plan $(PAD)$ .

3. $\overrightarrow{AM}=\vec b+\frac13(\vec p-\vec b)=\frac23\vec b+\frac13\vec p$ et $\overrightarrow{AS}=\frac23\vec b$ , donc $\overrightarrow{SM}=\frac13\overrightarrow{AP}$ . Le plan $(MNS)$ est dirigé par $\overrightarrow{MN}=\frac23\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{SM}=\frac13\overrightarrow{AP}$ , deux vecteurs non colinéaires dirigeant aussi $(PAD)$ : les plans $(MNS)$ et $(PAD)$ sont parallèles (strictement, car $S\notin(PAD)$ : $\overrightarrow{AS}=\frac23\vec b$ n’est pas combinaison de $\vec d$ et $\vec p$ ).

Quiz — testez-vous

20 questions tirées au hasard parmi 32.

Ton prénom (facultatif)

← Retour aux chapitres 1BAC SM