Plan du chapitre. I. Suites numériques : définition, raisonnement par récurrence, suites majorées, minorées, bornées — II. Monotonie d’une suite numérique — III. Suites arithmétiques (définition, terme général, somme de termes consécutifs, propriété caractéristique) — IV. Suites géométriques (définition, terme général, somme de termes consécutifs, propriété caractéristique) — V. Exercices de synthèse — Résumé.
Cadre.I désigne une partie de N de la forme {n∈N∣n≥p} (p∈N). Les suites étudiées sont à valeurs réelles. Dans les solutions, le symbole ⟺ n’est écrit que lorsque chaque étape est réversible ; sinon on écrit ⟹.
I. Suites numériques : définition et bornes
1. Activité d’introduction
Activité 1
On considère la fonction f définie sur N par f(x)=6x+31 (la variable ne prend que des valeurs entières naturelles).
Calculer, lorsque c’est possible, f(0), f(2), f(61), f(−3).
Exprimer f(n) pour n∈N, puis f(n+1)−f(n).
Voir la solution
f(0)=31 et f(2)=12+31=337. En revanche 61∈/N et −3∈/N : f(61) et f(−3)ne sont pas définis, car f n’est définie que sur N.
Pour tout n∈N, f(n)=6n+31 et f(n+1)−f(n)=6(n+1)−6n=6.
2. Définition d’une suite numérique
Définition 1 : suite numérique
On appelle suite numérique toute fonction u définie sur N, ou sur une partie I de N, et à valeurs dans R.
L’image d’un entier n∈I par u est notée un (lire « u indice n ») plutôt que u(n) ; un est le terme général (ou terme de rang n) de la suite.
Remarque 1 : notations
La suite u définie sur I est notée (un)n∈I ; si I=N, on écrit (un)n∈N, (un)n≥0 ou simplement (un) ; si I=N∗, on écrit (un)n≥1.
Il ne faut pas confondre un+1 (terme de rang n+1) et un+1 (terme de rang n augmenté de 1), ni u2n et 2un.
Exemple 1 : suite définie par une formule explicite
On considère la suite (un) définie sur N par un=4n+13n+2.
Calculer u0, u1, u2 et u3.
Exprimer un+1 en fonction de n, pour n∈N.
Montrer que, pour tout n∈N, 0<un≤2.
Voir la solution
u0=12=2, u1=55=1, u2=98, u3=1311.
Pour tout n∈N : un+1=4(n+1)+13(n+1)+2=4n+53n+5.
Soit n∈N. On a 3n+2>0 et 4n+1>0, donc un>0. De plus 2−un=4n+12(4n+1)−(3n+2)=4n+15n≥0, donc un≤2.
Exemple 2 : suite définie par récurrence
On considère la suite (un) définie par u0=3 et, pour tout n∈N, un+1=4−un4.
Calculer u1, u2, u3 et u4 (on admet provisoirement que les termes sont non nuls).
Montrer par récurrence que, pour tout n∈N, un≥2 (ce qui justifie que un+1 est bien défini).
Initialisation : u0=3≥2. Hérédité : soit n∈N tel que un≥2. Alors un>0, un+1 est défini et un+1−2=2−un4=un2(un−2)≥0 (numérateur ≥0, dénominateur >0). Donc un+1≥2. Conclusion : pour tout n∈N, un≥2.
Remarque 2 : modes de définition d’une suite
Une suite (un)n∈I peut être définie :
par une formule explicite : un=f(n), où f est une fonction définie (au moins) sur I ; on calcule directement n’importe quel terme ;
par récurrence : on donne le (ou les) premier(s) terme(s) et une relation qui permet de calculer chaque terme à partir du (ou des) précédent(s), par exemple un+1=g(un) ou un+2=aun+1+bun. Pour calculer u10, il faut en général calculer les termes précédents. Il faut aussi s’assurer que chaque terme est bien défini (dénominateur non nul, radicande positif…).
3. Raisonnement par récurrence
Propriété — principe de récurrence
Soient p∈N et P(n) une proposition qui dépend de l’entier n≥p. Si
(initialisation)P(p) est vraie, et
(hérédité) pour tout entier n≥p, P(n)⟹P(n+1),
alors P(n) est vraie pour tout entier n≥p.
Méthode — rédiger une récurrence
Énoncer clairement la proposition P(n) et l’ensemble des entiers concernés.
Vérifier P(p).
Fixer un entier n≥p, supposerP(n) (hypothèse de récurrence) et démontrer P(n+1).
Conclure : « d’après le principe de récurrence, pour tout n≥p, P(n) ».
Exemple 3
Montrer que, pour tout n∈N, 7n−1 est divisible par 6.
Montrer que, pour tout n∈N∗, k=1∑nk2=6n(n+1)(2n+1).
Soit a un réel positif. Montrer que, pour tout n∈N, (1+a)n≥1+na (inégalité de Bernoulli).
Voir la solution
P(n) : « 6 divise 7n−1 ». P(0) : 70−1=0=6×0. Soit n∈N tel que 7n−1=6q avec q∈N. Alors 7n+1−1=7(7n−1)+6=6(7q+1) : P(n+1) est vraie. Conclusion : pour tout n∈N, 6∣7n−1.
Pour n=1 : 1=61×2×3. Soit n∈N∗ tel que l’égalité soit vraie. Alors k=1∑n+1k2=6n(n+1)(2n+1)+(n+1)2=6(n+1)(2n2+7n+6)=6(n+1)(n+2)(2n+3), qui est l’égalité au rang n+1.
Pour n=0 : 1≥1. Soit n∈N tel que (1+a)n≥1+na. Comme 1+a>0 : (1+a)n+1≥(1+na)(1+a)=1+(n+1)a+na2≥1+(n+1)a.
4. Suites majorées, minorées, bornées
Définition 2
Soit (un)n∈I une suite numérique.
(un)n∈I est majorée s’il existe un réel M tel que : (∀n∈I)un≤M (M est un majorant).
(un)n∈I est minorée s’il existe un réel m tel que : (∀n∈I)un≥m (m est un minorant).
(un)n∈I est bornée si elle est à la fois majorée et minorée, c’est-à-dire s’il existe un réel K≥0 tel que (∀n∈I)∣un∣≤K.
Exemple 4
Étudier si la suite de l’exemple 1 est bornée, si la suite de l’exemple 2 est minorée, et si la suite (wn) définie sur N par wn=(−1)nn est majorée ou minorée.
Voir la solution
La suite de l’exemple 1 est bornée : (∀n∈N)0<un≤2.
La suite de l’exemple 2 est minorée par 2.
La suite (wn) définie sur N par wn=(−1)nn n’est ni majorée ni minorée : w2n=2n dépasse tout réel donné et w2n+1=−(2n+1) devient inférieur à tout réel donné.
Remarque 3
Un majorant (resp. minorant) n’est pas unique : si M majore (un), tout réel M′≥M la majore aussi. Pour montrer que (un) est majorée par M, on étudie le signe de M−un, ou l’on procède par récurrence (suites récurrentes), ou l’on utilise des encadrements.
Application 1
On considère la suite (vn) définie sur N par vn=n+25n−1.
Montrer que, pour tout n∈N, vn=5−n+211.
En déduire que (vn) est bornée, en précisant un majorant et un minorant.
Voir la solution
Pour tout n∈N : 5−n+211=n+25n+10−11=n+25n−1=vn.
Soit n∈N : n+2≥2, donc 0<n+211≤211, puis 5−211≤vn<5. Ainsi (∀n∈N)−21≤vn<5 : la suite est majorée par 5, minorée par −21 (atteint pour n=0), donc bornée.
II. Monotonie d’une suite numérique
1. Définitions
Définition 3
Soit (un)n∈I une suite numérique.
(un)n∈I est croissante si : (∀n,m∈I)n>m⟹un≥um ; strictement croissante si n>m⟹un>um.
(un)n∈I est décroissante si : (∀n,m∈I)n>m⟹un≤um ; strictement décroissante si n>m⟹un<um.
(un)n∈I est constante si : (∀n,m∈I)un=um.
Une suite croissante ou décroissante est dite monotone.
Remarque 4
Si (un)n≥p est croissante, alors (∀n≥p)un≥up : elle est minorée par son premier terme.
Si (un)n≥p est décroissante, alors (∀n≥p)un≤up : elle est majorée par son premier terme.
Une suite peut n’être ni croissante ni décroissante : c’est le cas de ((−1)n)n∈N.
2. Caractérisation et méthodes
Propriété 1
Soit (un)n∈I une suite numérique.
(un)n∈I est croissante ⟺(∀n∈I)un+1≥un ;
(un)n∈I est décroissante ⟺(∀n∈I)un+1≤un ;
(un)n∈I est constante ⟺(∀n∈I)un+1=un.
Les mêmes équivalences sont vraies avec des inégalités strictes pour la stricte monotonie.
Remarque — démonstration du premier point
Le sens direct s’obtient avec m=n et n+1>n. Réciproquement, si uk+1≥uk pour tout k∈I, alors pour n>m dans I : un−um=∑k=mn−1(uk+1−uk)≥0.
Méthode — étudier la monotonie
Signe de la différence : étudier le signe de un+1−un pour tout n∈I.
Comparaison du quotient à 1 : si tous les termes sont strictement positifs, comparer unun+1 à 1 (≥1 : croissante ; ≤1 : décroissante).
Formule explicite : si un=f(n) avec f monotone sur [p;+∞[ (variations connues par le chapitre sur les fonctions), alors (un)n≥p a la même monotonie que f.
Suite récurrente : on démontre souvent l’inégalité un+1≤un (ou ≥) par récurrence, ou l’on factorise un+1−un après avoir encadré un.
Exemple 5
Étudier la monotonie des suites suivantes :
(un) définie sur N par un=−4n+7 ;
(vn)n≥1 définie sur N∗ par vn=n3n−2 ;
(wn)n≥1 définie sur N∗ par wn=2nn.
Voir la solution
Pour tout n∈N, un+1−un=−4<0 : (un) est strictement décroissante.
Pour tout n∈N∗, vn=3−n2, donc vn+1−vn=n2−n+12=n(n+1)2>0 : (vn)n≥1 est strictement croissante.
Pour tout n∈N∗, wn>0 et wnwn+1=2nn+1. Or 2nn+1≤1⟺n+1≤2n⟺n≥1 : c’est vrai pour tout n∈N∗. Donc (wn)n≥1 est décroissante (elle n’est pas strictement décroissante car w1=w2=21).
Exemple 6
On considère la suite (vn) définie par v0=81 et, pour tout n∈N, vn+1=2vn2+21vn.
Calculer v1 et v2.
Montrer par récurrence que, pour tout n∈N, 0<vn<41.
Vérifier que, pour tout n∈N, vn+1−vn=2vn(vn−41).
P(0) : 0<81<41. Soit n∈N tel que 0<vn<41. On a vn+1=vn(2vn+21) avec vn>0 et 21<2vn+21<1. Donc vn+1>0 et vn+1<vn×1<41.
vn+1−vn=2vn2−21vn=2vn(vn−41).
D’après 2, vn>0 et vn−41<0 : vn+1−vn<0 pour tout n∈N. La suite (vn) est strictement décroissante.
Application 2
On considère la suite (an) définie sur N par an=n+1−n.
Montrer que, pour tout n∈N, an=n+1+n1.
En déduire que (an) est strictement décroissante et que, pour tout n∈N, 0<an≤1.
Voir la solution
an=n+1+n(n+1−n)(n+1+n)=n+1+n(n+1)−n.
La suite (n+1+n) est strictement croissante et à termes strictement positifs (somme de deux suites strictement croissantes, la racine carrée étant strictement croissante sur R+) ; son inverse (an) est donc strictement décroissante. Ainsi 0<an≤a0=1.
III. Suites arithmétiques
1. Définition
Définition 4
Une suite (un)n∈I est arithmétique s’il existe un réel r tel que : (∀n∈I)un+1−un=r, c’est-à-dire un+1=un+r. Le réel r est la raison de la suite.
Exemple 7
On considère la suite (un) définie sur N par un=7−3n. Montrer que (un) est arithmétique et préciser sa raison et son premier terme.
On considère la suite (sn) définie sur N par sn=n2. Montrer que (sn) n’est pas arithmétique.
Voir la solution
Pour tout n∈N, un+1−un=7−3(n+1)−7+3n=−3 : suite arithmétique de raison r=−3 et de premier terme u0=7.
s1−s0=1 et s2−s1=3 : la différence de deux termes consécutifs n’est pas constante.
2. Terme général
Propriété 2
Si (un)n∈I est arithmétique de raison r, alors pour tous n,p∈I : un=up+(n−p)r. En particulier un=u0+nr (n∈N) et un=u1+(n−1)r (n∈N∗).
Remarque — démonstration
Pour n≥p : un−up=∑k=pn−1(uk+1−uk)=(n−p)r. Pour n<p, on échange les rôles de n et p.
Exemple 8
On considère une suite arithmétique (un) telle que u3=10 et u8=25. Déterminer sa raison r, son premier terme u0 et l’expression de un en fonction de n∈N.
Voir la solution
u8=u3+5r, donc 5r=15 et r=3. Puis u0=u3−3r=1 et, pour tout n∈N, un=1+3n.
3. Somme de termes consécutifs
Propriété 3
Si (un)n∈I est arithmétique et p∈I, alors pour tout n≥p :
∑k=pnuk=up+up+1+⋯+un=(n−p+1)×2up+un,
c’est-à-dire (nombre de termes) ×2premier terme+dernier terme. En particulier 1+2+⋯+n=2n(n+1).
Remarque — démonstration (méthode de Gauss)
On note S la somme et on l’écrit dans les deux sens : 2S=∑k=pn(uk+un+p−k). Or uk+un+p−k=up+(k−p)r+up+(n−k)r=up+un : chacun des n−p+1 termes vaut up+un.
Exemple 9
On reprend la suite (un) définie sur N par un=7−3n. Calculer k=0∑9uk.
Voir la solution
Il y a 10 termes, u0=7 et u9=−20 : k=0∑9uk=10×27−20=−65.
Exemple 10 : suite homographique et suite arithmétique auxiliaire
On considère la suite (un) définie par u0=3 et, pour tout n∈N, un+1=un−13un−4.
Montrer par récurrence que, pour tout n∈N, un>2 (donc un=1 et un+1 est défini). Calculer u1 et u2.
On considère la suite (vn) définie sur N par vn=un−21.
a. Montrer que (vn) est arithmétique et préciser sa raison.
b. Exprimer vn, puis un, en fonction de n.
c. Exprimer en fonction de n la somme Sn=k=0∑nvk.
Voir la solution
u0=3>2. Si un>2, alors un−1>0 et un+1−2=un−13un−4−2un+2=un−1un−2>0. Donc un>2 pour tout n∈N. Puis u1=25 et u2=3/27/2=37.
a. vn+1=un+1−21=un−2un−1=un−2(un−2)+1=1+vn : (vn) est arithmétique de raison 1, et v0=3−21=1.
b. vn=1+n ; de un−2=vn1 on tire un=2+n+11=n+12n+3.
c. Sn=(n+1)×2v0+vn=2(n+1)(n+2).
4. Propriété caractéristique
Propriété 4
Soit (un)n∈I une suite numérique. (un)n∈I est arithmétique ⟺(∀n∈I)2un+1=un+un+2.
En particulier, trois réels a, b, c sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs d’une suite arithmétique si et seulement si 2b=a+c.
Remarque — démonstration
2un+1=un+un+2⟺un+2−un+1=un+1−un. Si cette égalité est vraie pour tout n, la différence un+1−un est constante (égale à up+1−up) ; la réciproque est immédiate.
Exemple 11
Soit (un) une suite arithmétique telle que u2+u3+u4=27. Calculer u3.
Déterminer trois réels a, b, c, termes consécutifs (dans cet ordre) d’une suite arithmétique, tels que a+b+c=12 et abc=28.
Voir la solution
u2+u4=2u3, donc 3u3=27 et u3=9.
a+c=2b donne 3b=12, b=4. On note r la raison : a=4−r, c=4+r et abc=4(16−r2)=28⟺r2=9⟺r∈{−3;3}. Solutions : (a;b;c)=(1;4;7) ou (7;4;1).
IV. Suites géométriques
1. Définition
Définition 5
Une suite (un)n∈I est géométrique s’il existe un réel q tel que : (∀n∈I)un+1=qun. Le réel q est la raison de la suite.
Exemple 12
On considère la suite (un) définie sur N par un=2n3n+1. Montrer que (un) est géométrique.
On considère la suite (tn) définie sur N par tn=n2n. Montrer que (tn) n’est pas géométrique.
Voir la solution
Pour tout n∈N : un+1=2n+13n+2=23×2n3n+1=23un : raison q=23, premier terme u0=3.
t0=0, t1=2 : si (tn) était géométrique de raison q, on aurait t1=qt0=0, ce qui est faux.
2. Terme général
Propriété 5
Si (un)n∈I est géométrique de raison q, alors pour tous n,p∈I avec n≥p : un=up×qn−p. En particulier un=u0qn (n∈N) et un=u1qn−1 (n∈N∗).
Exemple 13
On considère une suite géométrique (vn) telle que v2=12 et v5=−96. Déterminer sa raison q, son premier terme v0 et l’expression de vn en fonction de n∈N.
Voir la solution
v5=v2q3, donc q3=−8 et q=−2 (un réel a une unique racine cubique). Puis v2=v0q2=4v0 donne v0=3 ; pour tout n∈N, vn=3(−2)n.
3. Somme de termes consécutifs
Propriété 6
Si (un)n∈I est géométrique de raison q=1 et p∈I, alors pour tout n≥p :
∑k=pnuk=up×1−q1−qn−p+1,
c’est-à-dire (premier terme) ×1−q1−qnombre de termes. Si q=1, la somme vaut (n−p+1)up.
Remarque — démonstration
Pour q=1 et m∈N : (1−q)(1+q+⋯+qm)=1−qm+1 (les termes se compensent). Il suffit de factoriser up : ∑k=pnuk=up∑j=0n−pqj.
Exemple 14
On considère les suites (un) et (vn) définies par u0=2, un+1=32un+1 et vn=un−3 pour tout n∈N.
Calculer u1, u2, v0 et v1.
Montrer que (vn) est géométrique de raison 32.
Exprimer vn, puis un, en fonction de n.
Montrer que k=0∑10vk=−3(1−(32)11) et que k=0∑10uk=30+3(32)11.
Voir la solution
u1=34+1=37, u2=914+1=923, v0=−1, v1=−32.
vn+1=32un+1−3=32(un−3)=32vn.
vn=−(32)n et un=3−(32)n.
∑k=010vk=v0×1−2/31−(2/3)11=−3(1−(32)11). Puis ∑k=010uk=∑k=010(vk+3)=−3+3(32)11+33=30+3(32)11.
4. Propriété caractéristique
Propriété 7
Soit (un)n∈I une suite à termes non nuls. (un)n∈I est géométrique ⟺(∀n∈I)un+12=unun+2. En particulier, trois réels non nuls a, b, c sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs d’une suite géométrique si et seulement si b2=ac.
Remarque — démonstration
Les termes étant non nuls, un+12=unun+2⟺un+1un+2=unun+1 : le quotient de deux termes consécutifs est constant.
Exemple 15
Déterminer trois réels a, b, c, termes consécutifs (dans cet ordre) d’une suite géométrique, tels que a+b+c=21 et abc=216.
Voir la solution
b2=ac donne b3=abc=216, donc b=6. Avec la raison q=0 : a=q6, c=6q, et q6+6+6q=21⟺6q2−15q+6=0⟺2q2−5q+2=0⟺q∈{2;21}. Solutions : (3;6;12) ou (12;6;3).
V. Exercices de synthèse
Exercice d’application 1
On considère la suite (un) définie par u0=3 et, pour tout n∈N, un+1=un+23un+2.
Montrer que, pour tout n∈N, un>2.
a. Montrer que, pour tout n∈N, un+1−un=un+2(2−un)(un+1).
b. En déduire la monotonie de (un).
On considère la suite (vn) définie sur N par vn=un+1un−2.
a. Montrer que (vn) est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.
b. Exprimer vn, puis un, en fonction de n.
c. Soit n∈N∗. Exprimer en fonction de n la somme Sn=k=0∑n−1vk.
d. En déduire l’expression, en fonction de n, de Tn=k=0∑n−1uk+13.
Voir la solution
u0=3>2 ; si un>2, alors un+2>0 et un+1−2=un+2un−2>0. Par récurrence, un>2 pour tout n∈N.
a. un+1−un=un+23un+2−un2−2un=un+2−un2+un+2=un+2(2−un)(un+1).
b. 2−un<0, un+1>0, un+2>0 : un+1−un<0. La suite est strictement décroissante.
a. un+1+1=un+24un+4, donc vn+1=un+2un−2×4(un+1)un+2=41vn : raison 41, premier terme v0=41.
b. vn=(41)n+1. De vn(un+1)=un−2 : un(1−vn)=2+vn, et vn=1, donc un=1−vn2+vn=4n+1−12×4n+1+1.
c. Sn=41×1−1/41−(1/4)n=31(1−4n1).
d. 1−vk=uk+1(uk+1)−(uk−2)=uk+13, donc Tn=∑k=0n−1(1−vk)=n−Sn=n−31(1−4n1).
Exercice d’application 2
On considère la suite (un) définie par u0=25 et, pour tout n∈N, un+1=5−un6.
Montrer que, pour tout n∈N, 2<un<3.
Étudier la monotonie de (un).
On considère la suite (vn) définie sur N par vn=un−3un−2.
a. Montrer que (vn) est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.
b. Exprimer vn, puis un, en fonction de n.
c. Calculer la somme T=k=1∑10uk−31.
Voir la solution
2<25<3. Si 2<un<3, alors 5−un>0, un+1−2=5−un2(un−2)>0 et un+1−3=5−un3(un−3)<0. Par récurrence, 2<un<3 pour tout n.
un+1−un=5−un6−5un+un2=5−un(un−2)(un−3)<0 : (un) est strictement décroissante.
a. vn+1=5−un2(un−2)×3(un−3)5−un=32vn ; v0=−1/21/2=−1.
b. vn=−(32)n ; de vn(un−3)=un−2 : un=vn−13vn−2=1+(2/3)n2+3(2/3)n.
c. vk=1+uk−31, donc uk−31=vk−1 et T=∑k=110vk−10=−32×1/31−(2/3)10−10=−12+2(32)10.
Exercice d’application 3
On considère les suites (an) et (bn) définies sur N par an=k=0∑2n+1k+1(−1)k et bn=k=0∑2nk+1(−1)k.
Montrer que la suite (an) est croissante.
Montrer que la suite (bn) est décroissante.
Montrer que, pour tout n∈N, an<bn.
En déduire que (an) est majorée et que (bn) est minorée.
an<bn≤b0=1 : (an) est majorée par 1. bn>an≥a0=1−21=21 : (bn) est minorée par 21.
Exercice d’application 4
On considère la suite (un)n≥1 définie sur N∗ par un=k=n∑2nk1.
Vérifier que, pour tout k∈{n;…;2n}, 2n1≤k1≤n1, et en déduire que, pour tout n∈N∗, 2nn+1≤un≤nn+1.
Montrer que, pour tout n∈N∗, un+1−un=−n(2n+1)(2n+2)3n+2, et en déduire que (un)n≥1 est décroissante.
Voir la solution
Pour n≤k≤2n : 2n1≤k1≤n1. La somme comporte 2n−n+1=n+1 termes : (n+1)2n1≤un≤(n+1)n1.
un+1=∑k=n+12n+2k1, donc un+1−un=2n+11+2n+21−n1=n(2n+1)(2n+2)n(2n+2)+n(2n+1)−(2n+1)(2n+2)=n(2n+1)(2n+2)−3n−2<0.
Exercice d’application 5
On considère la suite (un)n≥1 définie par u1=1, u2=2 et, pour tout n∈N∗, un+2=4un+1−3un. On admet que un>0 pour tout n∈N∗ et on pose vn=unun+1.
Calculer u3, u4 et v1.
Vérifier que, pour tout n∈N∗, vn+1=4−vn3.
Montrer par récurrence que, pour tout n∈N∗, 1<vn<3.
Montrer que la suite (vn)n≥1 est croissante.
On considère la suite (tn)n≥1 définie sur N∗ par tn=vn−1vn−3.
a. Montrer que (tn)n≥1 est géométrique de raison 31.
b. Montrer que, pour tout n∈N∗, vn=3n−1+13n+1.
Montrer par récurrence que, pour tout n∈N∗, un=21+3n−1.
1<v1=2<3. Si 1<vn<3 : vn+1−1=vn3(vn−1)>0 et vn+1−3=vnvn−3<0.
vn+1−vn=vn4vn−3−vn2=vn(vn−1)(3−vn)>0.
a. vn+1−3=vnvn−3 et vn+1−1=vn3(vn−1), donc tn+1=31tn. b. t1=2−12−3=−1, tn=−(31)n−1 ; de tn(vn−1)=vn−3 : vn=1−tn3−tn=1+31−n3+31−n=3n−1+13n+1.
u1=21+1=1. Si un=21+3n−1, alors un+1=vnun=3n−1+13n+1×21+3n−1=21+3n.
Résumé : suites numériques
Notion
Définition
Méthode / formule
Suite majorée par M
(∀n∈I)un≤M
signe de M−un, récurrence
Suite minorée par m
(∀n∈I)un≥m
signe de un−m, récurrence
Suite bornée
majorée et minorée
(∃K≥0)(∀n)∣un∣≤K
Croissante
(∀n)un+1≥un
signe de un+1−un ; unun+1≥1 si un>0
Décroissante
(∀n)un+1≤un
signe de un+1−un ; unun+1≤1 si un>0
Arithmétique de raison r
un+1−un=r
un=up+(n−p)r ; ∑k=pnuk=(n−p+1)2up+un
Géométrique de raison q
un+1=qun
un=upqn−p ; ∑k=pnuk=up1−q1−qn−p+1 (q=1)
Trois termes consécutifs a,b,c
arithmétique : 2b=a+c
géométrique (non nuls) : b2=ac
Série d’exercices
Remarque — méthodes utilisées
Récurrence pour les encadrements de suites récurrentes ; on factorise un+1−a pour faire apparaître un−a.
Monotonie : signe de un+1−un (forme factorisée) ou comparaison de unun+1 à 1.
Suites auxiliaires : on calcule vn+1 en fonction de un, puis on reconnaît vn+r ou qvn ; on « inverse » la relation vn=g(un) pour exprimer un.
Tous les calculs ont été contrôlés avec Python/sympy (build/verif_lot4.py).
Cadre. Toute réponse doit être justifiée ; le symbole ⟺ n’est employé que si chaque étape est réversible. Lorsqu’une suite est définie par récurrence, on vérifiera que chaque terme est bien défini. Difficulté : de ★ à ★★★★★.
Exercice 1 — Suite homographique — suite arithmétique auxiliaire Facile★★☆☆☆
On considère la suite (un) définie par u0=3 et, pour tout n∈N, un+1=un+15un−4.
Calculer u1 et u2.
Montrer par récurrence que, pour tout n∈N, un>2.
a. Montrer que, pour tout n∈N, un+1−un=−un+1(un−2)2.
b. En déduire le sens de variation de la suite (un).
c. En déduire que (un) est majorée par 3.
On considère la suite (vn) définie sur N par vn=un−21.
a. Calculer v0 et v1.
b. Montrer que (vn) est arithmétique ; préciser sa raison et son premier terme.
c. Exprimer vn, puis un, en fonction de n.
d. Montrer que, pour tout n∈N, k=0∑nvk=6(n+1)(n+6).
Voir la solution
1.u1=415−4=411 ; u2=15/455/4−4=1539=513.
2.P(n) : « un>2 ». Initialisation : u0=3>2. Hérédité : soit n∈N tel que un>2. Alors un+1>0 (donc un+1 est défini) et
un+1−2=un+15un−4−2un−2=un+13(un−2)>0.Conclusion : pour tout n∈N, un>2.
3. a. Pour tout n∈N : un+1−un=un+15un−4−un2−un=un+1−(un2−4un+4)=−un+1(un−2)2.
3. b.(un−2)2>0 (car un=2) et un+1>0 : un+1−un<0. La suite (un) est strictement décroissante.
3. c. Une suite décroissante est majorée par son premier terme : (∀n∈N)un≤u0=3. Avec 2 : (∀n∈N)2<un≤3.
4. a.v0=3−21=1 ; v1=11/4−21=34.
4. b. Pour tout n∈N (un=2) : un+1−2=un+13(un−2), donc
vn+1=3(un−2)un+1=3(un−2)(un−2)+3=31+un−21=vn+31.(vn) est arithmétique de raison r=31 et de premier terme v0=1.
4. c.vn=1+3n=3n+3. Comme un−2=vn1 : un=2+n+33=n+32n+9. (Contrôle : u1=411.)
4. d. Somme de n+1 termes consécutifs d’une suite arithmétique : k=0∑nvk=(n+1)2v0+vn=(n+1)21+3n+3=6(n+1)(n+6).
Exercice 2 — Suite homographique — suite géométrique auxiliaire Moyen★★★☆☆
On considère la suite (un) définie par u0=3 et, pour tout n∈N, un+1=un+16un−4.
Calculer u1 et u2.
Montrer par récurrence que, pour tout n∈N, 1<un<4.
a. Montrer que, pour tout n∈N, un+1−un=−un+1(un−1)(un−4).
b. En déduire le sens de variation de la suite (un).
On considère la suite (vn) définie sur N par vn=un−1un−4.
a. Montrer que (vn) est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.
b. Exprimer vn, puis un, en fonction de n.
c. Montrer que, pour tout entier n≥2, k=2∑nvk=−152(1−(52)n−1).
Voir la solution
1.u1=418−4=27 ; u2=9/221−4=934.
2.1<3<4. Soit n∈N tel que 1<un<4 ; alors un+1>0 et
un+1−1=un+15(un−1)>0,un+1−4=un+16un−4−4un−4=un+12(un−4)<0.
Par récurrence : (∀n∈N)1<un<4.
3. b.un−1>0, un−4<0, un+1>0 : un+1−un>0. La suite est strictement croissante.
4. a. D’après 2 (un=1) : vn+1=un+1−1un+1−4=un+12(un−4)×5(un−1)un+1=52vn. (vn) est géométrique de raison q=52, de premier terme v0=3−13−4=−21.
4. b.vn=−21(52)n. De vn(un−1)=un−4 : un(vn−1)=vn−4 ; or vn<0, donc vn=1 et
un=1−vn4−vn=2+(2/5)n8+(2/5)n=2×5n+2n8×5n+2n.
4. c. Pour n≥2, la somme comporte n−1 termes, le premier étant v2=−21×254=−252 :
∑k=2nvk=−252×1−2/51−(2/5)n−1=−252×35(1−(52)n−1)=−152(1−(52)n−1).
Exercice 3 — Point fixe double — somme à partir d’un rang Facile★★☆☆☆
On considère la suite (un) définie par u0=1 et, pour tout n∈N, un+1=un+5un−4.
Montrer que u1=−21 et u2=−1.
Montrer par récurrence que, pour tout n∈N, un>−2.
a. Montrer que, pour tout n∈N, un+1−un=−un+5(un+2)2.
b. En déduire le sens de variation de la suite (un).
On considère la suite (vn) définie sur N par vn=un+21.
a. Calculer v0, puis montrer que (vn) est arithmétique de raison 31.
b. Exprimer vn, puis un, en fonction de n.
c. Montrer que, pour tout entier n≥3, k=3∑nvk=6(n−2)(n+5).
3. b.(un+2)2>0 et un+5>0 : (un) est strictement décroissante.
4. a.v0=1+21=31. Pour tout n∈N : vn+1=3(un+2)un+5=3(un+2)(un+2)+3=31+vn. (vn) est arithmétique de raison 31.
4. b.vn=31+3n=3n+1, puis un=vn1−2=n+13−2=n+11−2n. (Contrôle : u2=−1.)
4. c. Pour n≥3, il y a n−2 termes, de v3=34 à vn=3n+1 : k=3∑nvk=(n−2)234+3n+1=6(n−2)(n+5).
Exercice 4 — Suite à termes négatifs Moyen★★★☆☆
On considère la suite (un) définie par u0=−1 et, pour tout n∈N, un+1=4−3unun.
Montrer que, pour tout n∈N, un<0.
Étudier le sens de variation de la suite (un).
On considère la suite (vn) définie sur N par vn=un−1un.
a. Montrer que (vn) est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.
b. Exprimer vn, puis un, en fonction de n.
c. Calculer, en fonction de n, la somme Sn=i=0∑nvi.
Voir la solution
1.u0=−1<0. Si un<0, alors 4−3un>4>0 (un+1 est défini) et un+1=4−3unun<0. Par récurrence, (∀n∈N)un<0.
2.un+1−un=4−3unun−4un+3un2=4−3un3un(un−1). Or un<0, un−1<0 et 4−3un>0 : un+1−un>0. La suite (un) est strictement croissante.
3. a.un−1<0, donc vn est défini. un+1−1=4−3unun−4+3un=4−3un4(un−1), d’où
vn+1=4−3unun×4(un−1)4−3un=41vn.(vn) est géométrique de raison 41 et de premier terme v0=−2−1=21.
3. b.vn=21(41)n=2×4n1. De vn(un−1)=un : un(vn−1)=vn, et vn=1, donc un=vn−1vn=1−2×4n1. (Contrôle : u0=−1, u1=−71.)
3. c.Sn=21×1−1/41−(1/4)n+1=32(1−(41)n+1).
Exercice 5 — Suites arithmétiques — calculs de termes Facile★☆☆☆☆
On considère une suite arithmétique (un) de raison r.
On suppose que u0=7 et r=−3. Calculer u10 et u15, puis déterminer l’entier n tel que un=−98.
On suppose que u2=4 et u14=10. Calculer r, puis u0.
On suppose que u30=52 et r=23. Calculer u0, puis exprimer un en fonction de n et calculer k=0∑30uk.
Voir la solution
1.un=u0+nr=7−3n : u10=−23 et u15=−38. Puis 7−3n=−98⟺3n=105⟺n=35.
2.u14=u2+12r, donc 12r=6 et r=21 ; u0=u2−2r=3.
3.u0=u30−30r=52−45=7 ; pour tout n∈N, un=7+23n. Enfin k=0∑30uk=31×27+52=21829.
Exercice 6 — Suites géométriques — calculs de termes Facile★☆☆☆☆
On considère une suite géométrique (vn) de raison q.
On suppose que v0=81 et q=31. Calculer v4 et v6.
On suppose que v4=18 et v7=32. Calculer q, puis v0.
On suppose que v3=−161 et q=2. Calculer v0, puis exprimer vn en fonction de n.
Voir la solution
1.vn=81(31)n : v4=1 et v6=91.
2.v7=v4q3, donc q3=182/3=271 et q=31 (unique racine cubique réelle). Puis v0=q4v4=18×81=1458.
3.v3=v0q3=8v0, donc v0=−1281 et, pour tout n∈N, vn=−1282n=−2n−7.
Exercice 7 — Trois termes d’une suite géométrique Facile★★☆☆☆
Les réels a, b et c sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs d’une suite géométrique et vérifient a+b+c=19 et abc=216. Déterminer a, b et c.
Voir la solution
Le réel b est non nul (sinon abc=0), donc a, b, c sont non nuls et, en notant q la raison, a=qb et c=bq. Alors abc=b3=216, d’où b=6. Puis
q6+6+6q=19⟺6q2−13q+6=0⟺q∈{23;32}
(on a multiplié par q=0 ; discriminant 169−144=25). Pour q=23 : (a;b;c)=(4;6;9) ; pour q=32 : (a;b;c)=(9;6;4). Réciproquement, ces deux triplets conviennent.
Exercice 8 — Trois termes d’une suite arithmétique Facile★★☆☆☆
Les réels a, b et c sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison r et vérifient
a+b+c=24eta−2b+3c=28.
Déterminer a, b, c et r.
Voir la solution
a+c=2b, donc 3b=24 et b=8 ; puis a=8−r, c=8+r. La seconde condition s’écrit (8−r)−16+3(8+r)=28⟺16+2r=28⟺r=6. Ainsi a=2, b=8, c=14 et r=6 (vérification : 2−16+42=28).
Exercice 9 — Rang d’un terme et somme Facile★★☆☆☆
On considère une suite arithmétique (un)n≥2 de raison r=−3 telle que u4=5 et up=−40, où p est un entier, p≥2.
Déterminer l’entier p.
Calculer k=4∑puk.
Voir la solution
1.up=u4+(p−4)r=5−3(p−4). Donc up=−40⟺3(p−4)=45⟺p=19.
2. La somme comporte 19−4+1=16 termes : k=4∑19uk=16×25+(−40)=−280.
Exercice 10 — Suite géométrique — rang et somme Facile★★☆☆☆
On considère une suite géométrique (un) de raison 2 telle que u3=5 et up=160, où p∈N. Déterminer l’entier p, puis calculer, pour tout entier n≥3, la somme k=3∑nuk en fonction de n.
Voir la solution
Pour tout n∈N, un=u02n et u3=8u0=5, donc u0=85 et un=5×2n−3. Ainsi up=160⟺2p−3=32=25⟺p=8. Pour n≥3, la somme comporte n−2 termes :
∑k=3nuk=5×1−21−2n−2=5(2n−2−1).
Exercice 11 — Somme géométrique sans récurrence Facile★★☆☆☆
On considère, pour n∈N, la somme Sn=k=0∑n(−2)k. Montrer, sans utiliser de raisonnement par récurrence (on pourra calculer Sn−(−2)Sn en décalant les indices), que : (∀n∈N)Sn=31−(−2)n+1.
Voir la solution
On a −2Sn=k=0∑n(−2)k+1=j=1∑n+1(−2)j. Par différence, tous les termes d’indice 1 à n se compensent :
Sn−(−2)Sn=(−2)0−(−2)n+1,soit3Sn=1−(−2)n+1,
d’où Sn=31−(−2)n+1 pour tout n∈N.
Exercice 12 — Calcul de sommes Facile★★☆☆☆
Calculer les sommes suivantes :
S1=11+18+25+⋯+704 ;
S2=41+1+47+25+⋯+431.
Voir la solution
1. Les termes forment une suite arithmétique de premier terme 11 et de raison 7 ; 704=11+7k⟺k=99 : il y a 100 termes. S1=100×211+704=35750.
2. Suite arithmétique de premier terme 41 et de raison 43 ; 431=41+43k⟺k=10 : 11 termes. S2=11×241+431=11×4=44.
Exercice 13 — Suite homographique — seuil Difficile★★★★☆
On considère la suite (un) définie par u0=0 et, pour tout n∈N, un+1=un+43un+2.
Montrer par récurrence que, pour tout n∈N, 0≤un≤1.
Étudier le sens de variation de la suite (un).
On considère la suite (vn) définie sur N par vn=un+2un−1.
a. Montrer que (vn) est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.
b. Exprimer vn, puis un, en fonction de n.
Déterminer un entier naturel N tel que, pour tout entier n>N, un>0,99.
Voir la solution
1.u0=0∈[0;1]. Si 0≤un≤1, alors un+4>0, un+1=un+43un+2≥0 et un+1−1=un+42(un−1)≤0. Par récurrence : (∀n∈N)0≤un≤1.
2.un+1−un=un+43un+2−un2−4un=un+4−(un2+un−2)=un+4(1−un)(un+2)≥0 : (un) est croissante.
3. a.un+1+2=un+45(un+2), donc vn+1=un+42(un−1)×5(un+2)un+4=52vn : raison 52, premier terme v0=−21.
3. b.vn=−21(52)n. De vn(un+2)=un−1 : un=1−vn1+2vn (vn=1), soit un=2×5n+2n2×5n−2×2n.
4.1−un=1−vn−3vn=1+21(52)n23(52)n. Pour n=5 : 1−u5=2×55+253×25=628296>1001 ; pour n=6 : 1−u6=2×56+263×26=31314192<1001. La suite (un) étant croissante, pour tout n≥6, un≥u6>0,99. On peut donc prendre N=5 (et N=5 est le plus petit entier convenable, puisque u5<0,99).
Exercice 14 — Encadrement d’une somme Moyen★★★☆☆
On considère la suite (un)n≥1 définie sur N∗ par un=k=1∑nn2+k1.
Calculer u1 et u2.
Montrer que la suite (un)n≥1 est majorée par 1 et minorée par 22.
Voir la solution
1.u1=21=22 ; u2=51+61.
2. Soient n∈N∗ et k∈{1;…;n} : n2+1≤n2+k≤n2+n, et la fonction racine carrée est croissante sur R+, donc n2+n1≤n2+k1≤n2+11. En sommant les n inégalités :
n2+nn≤un≤n2+1n.
D’une part n2+1n<n2n=1. D’autre part n2+nn=n+1n et n+1n≥21⟺2n≥n+1⟺n≥1. Ainsi (∀n∈N∗)22≤un<1.
Soit (un) une suite arithmétique définie sur N. Montrer que, pour tous entiers naturels n et p tels que p≤n : un−p+un+p=2un.
Soit (vn) une suite géométrique définie sur N, à termes strictement positifs. Montrer que, pour tous entiers naturels n et p tels que p≤n : vn−p×vn+p=vn2.
Voir la solution
1. Notons r la raison. un−p=u0+(n−p)r et un+p=u0+(n+p)r, donc un−p+un+p=2u0+2nr=2un. (Pour p=1, on retrouve la propriété caractéristique.)
2. Notons q>0 la raison (q=v0v1>0). vn−pvn+p=v0qn−p×v0qn+p=v02q2n=(v0qn)2=vn2.
Exercice 16 — Problème — suite de Pell et nombre d’argent Difficile★★★★★
On considère la suite (Pn)n≥1 définie par P1=1, P2=2 et, pour tout n∈N∗, Pn+2=2Pn+1+Pn (suite de Pell). On admet que Pn>0 pour tout n∈N∗.
Calculer P10.
Montrer que l’équation x2−2x−1=0 admet une unique solution positive, notée ω (le « nombre d’argent »).
Montrer les égalités : ω2=2ω+1, ω=2+ω1, ω1=2−1 et 1+ω2ω=42.
Soient α et β deux réels. Pour tout n∈N∗, on pose Vn=αωn+β(−ω1)n.
a. Vérifier que, pour tout n∈N∗, Vn+2=2Vn+1+Vn.
b. Déterminer α et β de sorte que V1=1 et V2=2. On admet alors que Vn=Pn pour tout n∈N∗.
c. Vérifier que 1−2=−ω1. En déduire que, pour tout n∈N∗, Pn=22(1+2)n−(1−2)n.
d. Calculer (1+2)3, puis (1+2)6, et retrouver P6 sans calculatrice.
On considère la suite (Wn)n≥1 définie sur N∗ par Wn=PnPn+1.
a. Vérifier que, pour tout n∈N∗, Wn=1−(−1)nω−2nω−(−1)n+1ω−(2n+1).
b. En déduire que, pour tout n∈N∗, Wn−ω=ω2n−(−1)n(−1)n22, puis comparer Wn et ω selon la parité de n.
2.x2−2x−1=0⟺(x−1)2=2⟺x∈{1−2;1+2}. Seule 1+2 est positive : ω=1+2.
3.ω est solution, donc ω2=2ω+1 ; en divisant par ω=0 : ω=2+ω1, d’où ω1=ω−2=2−1. Enfin 1+ω2=2+2ω=2(1+ω) et 1+ω2ω=2(2+2)1+2=22(2+1)1+2=221=42.
4. a. On pose ω′=−ω1=1−2 : c’est l’autre solution de x2=2x+1. Donc ωn+2=2ωn+1+ωn et ω′n+2=2ω′n+1+ω′n ; en multipliant par α et β puis en additionnant : Vn+2=2Vn+1+Vn.
4. b. Avec ω2=3+22 et ω′2=3−22, les conditions V1=1 et V2=2 s’écrivent
{α(1+2)+β(1−2)=1α(3+22)+β(3−22)=2
Comme ω2=2ω+1 et ω′2=2ω′+1, la seconde ligne moins deux fois la première donne α+β=0. Puis α((1+2)−(1−2))=1 : α=221 et β=−221 (on vérifie que ce couple convient). Les suites (Vn) et (Pn) ont les deux mêmes premiers termes et la même relation de récurrence : une récurrence (à deux termes) donne Vn=Pn pour tout n∈N∗.
4. c.−ω1=−(2−1)=1−2. Donc Pn=221(ωn−ω′n)=22(1+2)n−(1−2)n.
4. d.(1+2)2=3+22 et (1+2)3=(3+22)(1+2)=7+52, puis (1+2)6=(7+52)2=99+702. De même (1−2)6=99−702. Donc P6=221402=70.
5. a.Wn=ωn−ω′nωn+1−ω′n+1 avec ω′=−ω−1. En divisant numérateur et dénominateur par ωn=0 : ω′n+1/ωn=(−1)n+1ω−(2n+1) et ω′n/ωn=(−1)nω−2n, d’où la formule.
5. b. On note D=1−(−1)nω−2n (D>0 car ω−2n<1). Alors
Wn−ω=Dω−(−1)n+1ω−2n−1−ω+(−1)nω1−2n=D(−1)nω−2n(ω+ω1)=ω2n−(−1)n(−1)n(ω+ω1),
et ω+ω1=(1+2)+(2−1)=22. Comme ω2n−(−1)n>0 : si n est pair, Wn>ω ; si n est impair, Wn<ω. (Exemples : W1=2<ω≈2,414<W2=25.)
