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Chapitre 9 — Trigonométrie 1

Semestre 1

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Cours

Plan du chapitre. I. Le radian et le cercle trigonométrique — II. Angles orientés de deux vecteurs — III. Lignes trigonométriques d’un réel — IV. Relations trigonométriques.

Dans tout le chapitre, le plan est muni d’un repère orthonormé $(O;\vec\imath;\vec\jmath)$ ; $x$ et $y$ désignent des nombres réels.

I. Le radian et le cercle trigonométrique

1. Le radian

Définition 1

On considère un cercle de centre $O$ et de rayon $1$ . Le radian (rad) est la mesure d’un angle géométrique de sommet $O$ qui intercepte sur ce cercle un arc de longueur $1$ .

Propriété 1 : Conversions

Un angle plat mesure $180^\circ$ , $\pi$ rad et $200$ grades. Si un angle mesure $D$ degrés, $R$ radians et $G$ grades, alors $\frac{D}{180}=\frac R\pi=\frac G{200}.$

Exemple 1

Calculer la mesure en radians et en grades d’un angle de $60^\circ$ , puis la mesure en degrés et en grades d’un angle de $\dfrac{3\pi}4$ rad.

Voir la solution

$60^\circ=\dfrac\pi3$ rad $=\dfrac{200}3$ gr ; $\ \dfrac{3\pi}4$ rad $=135^\circ=150$ gr.

Remarque

Sur un cercle de rayon $r$ , un angle au centre de $\theta$ radians intercepte un arc de longueur $r\theta$ et délimite un secteur d’aire $\dfrac12r^2\theta$ .

2. Cercle trigonométrique

Définition 2

On note $I(1;0)$ et $J(0;1)$ . Le cercle trigonométrique est le cercle $(\mathcal C)$ de centre $O$ , de rayon $1$ , orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d’une montre), avec l’origine $I$ .

3. Abscisses curvilignes

Définition 3

On considère un point $M$ de $(\mathcal C)$ . Si $x$ est la longueur (comptée positivement dans le sens direct, négativement sinon) d’un arc allant de $I$ à $M$ , on dit que $x$ est une abscisse curviligne de $M$ .

Si $x$ est une abscisse curviligne de $M$ , les abscisses curvilignes de $M$ sont les réels $x+2k\pi$ , $k\in\mathbb{Z}$ .
Une seule appartient à l’intervalle $]-\pi;\pi]$ : c’est l’abscisse curviligne principale de $M$ .

Définition 4 : Congruence modulo $2\pi$

On dit que $x$ et $y$ sont congrus modulo $2\pi$ , et on note $x\equiv y\ [2\pi]$ , s’il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $x-y=2k\pi$ .

Exemple 2

Déterminer l’abscisse curviligne principale du point $M$ d’abscisse curviligne $\dfrac{29\pi}6$ .

Voir la solution

$\dfrac{29\pi}6=\dfrac{29\pi}6-4\pi+4\pi=\dfrac{5\pi}6+2\times2\pi$ , et $\dfrac{5\pi}6\in\,]-\pi;\pi]$ . L’abscisse curviligne principale est $\dfrac{5\pi}6$ .

Méthode

Pour trouver l’abscisse principale de $\dfrac{p\pi}q$ : on écrit $\dfrac pq$ sous la forme $2k+r$ avec $-1<r\le1$ (on enlève le plus proche multiple pair de $\pi$ ).

II. Angles orientés de deux vecteurs

1. Définition

Définition 5

On considère deux vecteurs non nuls $\vec u$ et $\vec v$ , et les points $M$ et $N$ de $(\mathcal C)$ tels que $\overrightarrow{OM}$ et $\overrightarrow{ON}$ soient de même sens que $\vec u$ et $\vec v$ . Si $x$ et $y$ sont des abscisses curvilignes de $M$ et $N$ , on dit que $y-x$ est une mesure de l’angle orienté $(\vec u;\vec v)$ .

Les mesures de $(\vec u;\vec v)$ sont les réels $y-x+2k\pi$ , $k\in\mathbb{Z}$ ; on note $(\widehat{\vec u;\vec v})\equiv y-x\ [2\pi]$ .
La mesure appartenant à $]-\pi;\pi]$ est la mesure principale de $(\vec u;\vec v)$ .

2. Propriétés

Propriété 2

Pour tous vecteurs non nuls $\vec u$ , $\vec v$ , $\vec w$ :

$(\widehat{\vec u;\vec u})\equiv0\ [2\pi]$ et $(\widehat{\vec u;-\vec u})\equiv\pi\ [2\pi]$ ;
$(\widehat{\vec v;\vec u})\equiv-(\widehat{\vec u;\vec v})\ [2\pi]$ ;
relation de Chasles : $(\widehat{\vec u;\vec v})+(\widehat{\vec v;\vec w})\equiv(\widehat{\vec u;\vec w})\ [2\pi]$ ;
$(\widehat{-\vec u;\vec v})\equiv(\widehat{\vec u;-\vec v})\equiv(\widehat{\vec u;\vec v})+\pi\ [2\pi]$ et $(\widehat{-\vec u;-\vec v})\equiv(\widehat{\vec u;\vec v})\ [2\pi]$ ;
pour tous réels $a$ , $b$ strictement positifs : $(\widehat{a\vec u;b\vec v})\equiv(\widehat{\vec u;\vec v})\ [2\pi]$ .

Application 1

On considère deux vecteurs non nuls $\vec u$ et $\vec v$ tels que $(\widehat{\vec u;\vec v})\equiv\dfrac{\pi}6\ [2\pi]$ . Déterminer la mesure principale de $(\widehat{\vec v;\vec u})$ , $(\widehat{3\vec u;-\vec v})$ et $(\widehat{-\vec v;-2\vec u})$ .

Voir la solution

$(\widehat{\vec v;\vec u})\equiv-\dfrac\pi6\ [2\pi]$ : mesure principale $-\dfrac\pi6$ .
$(\widehat{3\vec u;-\vec v})\equiv\dfrac\pi6+\pi=\dfrac{7\pi}6\equiv-\dfrac{5\pi}6\ [2\pi]$ : mesure principale $-\dfrac{5\pi}6$ .
$(\widehat{-\vec v;-2\vec u})\equiv(\widehat{\vec v;\vec u})\equiv-\dfrac\pi6\ [2\pi]$ .

III. Lignes trigonométriques d’un réel

1. Cosinus et sinus

Définition 6

On considère un réel $x$ et le point $M$ de $(\mathcal C)$ d’abscisse curviligne $x$ . Le cosinus et le sinus de $x$ sont respectivement l’abscisse et l’ordonnée de $M$ : $M(\cos x;\sin x).$

Propriété 3

Pour tout réel $x$ et tout entier relatif $k$ :

$-1\le\cos x\le1$ et $-1\le\sin x\le1$ ;
$\cos^2x+\sin^2x=1$ ;
$\cos(x+2k\pi)=\cos x$ et $\sin(x+2k\pi)=\sin x$ .

2. Tangente

Définition 7

Pour tout réel $x$ tel que $\cos x\neq0$ (c’est-à-dire $x\neq\dfrac\pi2+k\pi$ , $k\in\mathbb{Z}$ ), la tangente de $x$ est $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ .

Propriété 4

Pour tout réel $x$ tel que $\cos x\neq0$ : $\ 1+\tan^2x=\dfrac1{\cos^2x}$ et $\tan(x+k\pi)=\tan x$ pour tout $k\in\mathbb{Z}$ .

3. Valeurs remarquables

$x$	$0$	$\frac\pi6$	$\frac\pi4$	$\frac\pi3$	$\frac\pi2$
$\cos x$	$1$	$\frac{\sqrt3}2$	$\frac{\sqrt2}2$	$\frac12$	$0$
$\sin x$	$0$	$\frac12$	$\frac{\sqrt2}2$	$\frac{\sqrt3}2$	$1$
$\tan x$	$0$	$\frac{\sqrt3}3$	$1$	$\sqrt3$	non défini

IV. Relations trigonométriques

1. Angles associés

Propriété 5

Pour tout réel $x$ :

	$-x$	$\pi-x$	$\pi+x$	$\frac\pi2-x$	$\frac\pi2+x$
$\cos$	$\cos x$	$-\cos x$	$-\cos x$	$\sin x$	$-\sin x$
$\sin$	$-\sin x$	$\sin x$	$-\sin x$	$\cos x$	$\cos x$

Lorsque les tangentes sont définies : $\tan(-x)=-\tan x$ , $\tan(\pi-x)=-\tan x$ , $\tan(\pi+x)=\tan x$ et $\tan\left(\dfrac\pi2-x\right)=\dfrac1{\tan x}$ .

Exemple 3

Calculer $\cos\dfrac{5\pi}6$ , $\sin\left(-\dfrac{2\pi}3\right)$ et $\tan\dfrac{7\pi}4$ .

Voir la solution

$\cos\dfrac{5\pi}6=\cos\left(\pi-\dfrac\pi6\right)=-\cos\dfrac\pi6=-\dfrac{\sqrt3}2$ .
$\sin\left(-\dfrac{2\pi}3\right)=-\sin\left(\pi-\dfrac\pi3\right)=-\sin\dfrac\pi3=-\dfrac{\sqrt3}2$ .
$\tan\dfrac{7\pi}4=\tan\left(-\dfrac\pi4+2\pi\right)=\tan\left(-\dfrac\pi4\right)=-1$ .

2. Calculer une ligne à partir d’une autre

Application 2

On considère un réel $x$ de l’intervalle $\left]\dfrac\pi2;\pi\right[$ tel que $\sin x=\dfrac35$ . Calculer $\cos x$ et $\tan x$ .

Voir la solution

$\cos^2x=1-\sin^2x=1-\dfrac9{25}=\dfrac{16}{25}$ . Comme $x\in\left]\dfrac\pi2;\pi\right[$ , le point $M$ est dans le deuxième quadrant et $\cos x<0$ : $\cos x=-\dfrac45$ . Puis $\tan x=\dfrac{3/5}{-4/5}=-\dfrac34$ .

Application 3

Simplifier $A=\cos(\pi-x)+\sin\left(\dfrac\pi2+x\right)+\sin(3\pi+x)-\cos\left(\dfrac\pi2-x\right)$ .

Voir la solution

$\cos(\pi-x)=-\cos x$ ; $\sin\left(\frac\pi2+x\right)=\cos x$ ; $\sin(3\pi+x)=\sin(\pi+x)=-\sin x$ ; $\cos\left(\frac\pi2-x\right)=\sin x$ . Donc $A=-2\sin x$ .

À retenir — l’essentiel du chapitre

$\frac D{180}=\frac R\pi=\frac G{200}$ ; abscisse principale dans $]-\pi;\pi]$ ; $x\equiv y\ [2\pi]\iff x-y=2k\pi$ .
Chasles : $(\widehat{\vec u;\vec v})+(\widehat{\vec v;\vec w})\equiv(\widehat{\vec u;\vec w})\ [2\pi]$ .
$\cos^2x+\sin^2x=1$ ; $1+\tan^2x=\frac1{\cos^2x}$ ; angles associés : tableau du IV.

Série d’exercices

Exercice 1 — Cercle trigonométrique Facile ★☆☆☆☆

Placer sur le cercle trigonométrique les points dont les abscisses curvilignes sont : $\pi\ ;\ \frac{2\pi}3\ ;\ -\frac\pi4\ ;\ \frac{5\pi}6\ ;\ -\frac\pi2\ ;\ \frac{7\pi}6\ ;\ \frac{11\pi}3\ ;\ \frac{17\pi}4\ ;\ \frac{23\pi}6\ ;\ -\frac{15\pi}2.$

Voir la solution

On ramène chaque abscisse à sa valeur principale, puis on place le point :

$\pi$ ; $\ \frac{2\pi}3$ ; $\ -\frac\pi4$ ; $\ \frac{5\pi}6$ ; $\ -\frac\pi2$ (déjà principales) ;
$\frac{7\pi}6\equiv-\frac{5\pi}6$ ; $\ \frac{11\pi}3\equiv-\frac\pi3$ ; $\ \frac{17\pi}4\equiv\frac\pi4$ ; $\ \frac{23\pi}6\equiv-\frac\pi6$ ; $\ -\frac{15\pi}2\equiv\frac\pi2$ $\ [2\pi]$ .

Exercice 2 — Abscisse curviligne principale Facile ★☆☆☆☆

On considère un point $M$ du cercle trigonométrique d’abscisse curviligne $x$ . Déterminer l’abscisse curviligne principale de $M$ dans chacun des cas :

$x=\dfrac{37\pi}6$ .
$x=-\dfrac{125\pi}4$ .
$x=19\pi$ .
$x=\dfrac{103\pi}3$ .
$x=-\dfrac{47\pi}5$ .
$x=\dfrac{89\pi}7$ .

Voir la solution

$\frac{37\pi}6=\frac\pi6+6\pi$ : $\ \dfrac\pi6$ .
$-\frac{125\pi}4=\frac{3\pi}4-32\pi$ : $\ \dfrac{3\pi}4$ .
$19\pi=\pi+18\pi$ : $\ \pi$ .
$\frac{103\pi}3=\frac\pi3+34\pi$ : $\ \dfrac\pi3$ .
$-\frac{47\pi}5=\frac{3\pi}5-10\pi$ : $\ \dfrac{3\pi}5$ .
$\frac{89\pi}7=\frac{5\pi}7+12\pi$ : $\ \dfrac{5\pi}7$ .

Exercice 3 — Congruence modulo $2\pi$ Facile ★☆☆☆☆

Déterminer si $x\equiv y\ [2\pi]$ dans chacun des cas :

$x=\dfrac{53\pi}{12}$ et $y=-\dfrac{19\pi}{12}$ .
$x=-\dfrac{11\pi}8$ et $y=\dfrac{29\pi}8$ .

Voir la solution

$x-y=\dfrac{72\pi}{12}=6\pi=2\times3\pi$ : $x\equiv y\ [2\pi]$ .
$x-y=-\dfrac{40\pi}8=-5\pi$ , qui n’est pas un multiple pair de $\pi$ : $x\not\equiv y\ [2\pi]$ .

Exercice 4 — Unités d’angle Facile ★☆☆☆☆

Compléter le tableau suivant :

En degrés	$30$		$135$
En radians		$\frac{2\pi}5$			$\frac\pi{10}$
En grades				$180$		$250$

Voir la solution

On utilise $\dfrac D{180}=\dfrac R\pi=\dfrac G{200}$ .

En degrés	$30$	$72$	$135$	$162$	$18$	$225$
En radians	$\frac\pi6$	$\frac{2\pi}5$	$\frac{3\pi}4$	$\frac{9\pi}{10}$	$\frac\pi{10}$	$\frac{5\pi}4$
En grades	$\frac{100}3$	$80$	$150$	$180$	$20$	$250$

Exercice 5 — Angles orientés Facile ★★☆☆☆

On considère un carré $ABCD$ de centre $O$ tel que $(\widehat{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD}})\equiv\dfrac\pi2\ [2\pi]$ . Déterminer la mesure principale de chacun des angles orientés : $(\widehat{\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OC}})\ ;\quad(\widehat{\overrightarrow{DC};\overrightarrow{DA}})\ ;\quad(\widehat{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}})\ ;\quad(\widehat{\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BD}}).$

Voir la solution

$\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OA}$ : $(\widehat{\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OC}})\equiv\pi$ .
$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{AD}$ : $(\widehat{\overrightarrow{DC};\overrightarrow{DA}})\equiv\frac\pi2+\pi\equiv-\dfrac\pi2$ .
La diagonale $[AC]$ est bissectrice de l’angle droit $\widehat{BAD}$ : $(\widehat{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}})\equiv\dfrac\pi4$ .
$(\widehat{\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BD}})$ : la diagonale $[BD]$ est bissectrice de $\widehat{ABC}$ , et on tourne de $\overrightarrow{BA}$ vers $\overrightarrow{BD}$ dans le sens indirect : $-\dfrac\pi4$ .

Exercice 6 — Angles orientés Facile ★★☆☆☆

On considère un triangle équilatéral $ABC$ tel que $(\widehat{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}})\equiv\dfrac\pi3\ [2\pi]$ , et les milieux $I$ , $J$ , $K$ respectifs des segments $[BC]$ , $[AC]$ et $[AB]$ . Déterminer la mesure principale de chacun des angles orientés suivants :

$(\widehat{\overrightarrow{BC};\overrightarrow{CA}})$ .
$(\widehat{\overrightarrow{BC};\overrightarrow{JK}})$ .
$(\widehat{\overrightarrow{AI};\overrightarrow{CA}})$ .

Voir la solution

Dans un triangle équilatéral direct : $(\widehat{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}})\equiv(\widehat{\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BA}})\equiv(\widehat{\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CB}})\equiv\frac\pi3$ .

$(\widehat{\overrightarrow{BC};\overrightarrow{CA}})\equiv(\widehat{\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BA}})+(\widehat{\overrightarrow{BA};\overrightarrow{CA}})$ . Or $\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AC}$ , donc $(\widehat{\overrightarrow{BA};\overrightarrow{CA}})\equiv(\widehat{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}})\equiv\frac\pi3$ (les deux vecteurs sont changés en leurs opposés). Ainsi $(\widehat{\overrightarrow{BC};\overrightarrow{CA}})\equiv\dfrac{2\pi}3$ .
$(JK)\parallel(BC)$ (droite des milieux) avec $\overrightarrow{JK}=\frac12\overrightarrow{CB}=-\frac12\overrightarrow{BC}$ : $(\widehat{\overrightarrow{BC};\overrightarrow{JK}})\equiv\pi$ .
$(AI)$ est la bissectrice de $\widehat{BAC}$ : $(\widehat{\overrightarrow{AI};\overrightarrow{AC}})\equiv\frac\pi6$ . Puis $(\widehat{\overrightarrow{AI};\overrightarrow{CA}})\equiv\frac\pi6+\pi=\frac{7\pi}6\equiv-\dfrac{5\pi}6$ .

Exercice 7 — Propriétés des angles orientés Facile ★★☆☆☆

On considère deux vecteurs non nuls $\vec u$ et $\vec v$ tels que $(\widehat{\vec u;\vec v})\equiv\dfrac\pi3\ [2\pi]$ . Déterminer la mesure principale de chacun des angles orientés : $(\widehat{\vec v;\vec u})\ ;\ (\widehat{2\vec u;3\vec v})\ ;\ (\widehat{\vec u;-\vec v})\ ;\ (\widehat{-2\vec v;5\vec u})\ ;\ (\widehat{-\vec u;-\vec v})\ ;\ \left(\widehat{-3\vec v;-\tfrac12\vec u}\right).$

Voir la solution

$(\widehat{\vec v;\vec u})\equiv-\dfrac\pi3$ ; $\ (\widehat{2\vec u;3\vec v})\equiv\dfrac\pi3$ ; $\ (\widehat{\vec u;-\vec v})\equiv\frac\pi3+\pi\equiv-\dfrac{2\pi}3$ ;
$(\widehat{-2\vec v;5\vec u})\equiv-\frac\pi3+\pi=\dfrac{2\pi}3$ ; $\ (\widehat{-\vec u;-\vec v})\equiv\dfrac\pi3$ ; $\ \left(\widehat{-3\vec v;-\tfrac12\vec u}\right)\equiv-\dfrac\pi3$ .

Exercice 8 — Valeurs remarquables Moyen ★★★☆☆

On considère les points $M$ et $M'$ du cercle trigonométrique d’abscisses curvilignes $\dfrac\pi6$ et $-\dfrac\pi6$ . En étudiant le triangle $OMM'$ , montrer que $\sin\dfrac\pi6=\dfrac12$ , puis que $\cos\dfrac\pi6=\dfrac{\sqrt3}2$ .

Voir la solution

$OM=OM'=1$ et l’angle $\widehat{MOM'}$ mesure $\frac\pi6+\frac\pi6=\frac\pi3$ : le triangle isocèle $OMM'$ a un angle de $60^\circ$ , il est donc équilatéral et $MM'=1$ .

Par symétrie par rapport à l’axe des abscisses, $M\left(\cos\frac\pi6;\sin\frac\pi6\right)$ et $M'\left(\cos\frac\pi6;-\sin\frac\pi6\right)$ , donc $MM'=2\sin\frac\pi6$ (le sinus étant positif). Ainsi $\sin\dfrac\pi6=\dfrac12$ .

Enfin $\cos^2\frac\pi6=1-\frac14=\frac34$ et $\cos\frac\pi6>0$ , d’où $\cos\dfrac\pi6=\dfrac{\sqrt3}2$ .

Exercice 9 — Calculs Facile ★☆☆☆☆

Calculer $\cos\dfrac{25\pi}3$ , $\ \sin\left(-\dfrac{31\pi}4\right)$ et $\tan\dfrac{17\pi}6$ .

Voir la solution

$\cos\frac{25\pi}3=\cos\left(\frac\pi3+8\pi\right)=\dfrac12$ .
$\sin\left(-\frac{31\pi}4\right)=\sin\left(\frac\pi4-8\pi\right)=\dfrac{\sqrt2}2$ .
$\tan\frac{17\pi}6=\tan\left(-\frac\pi6+3\pi\right)=\tan\left(-\frac\pi6\right)=-\dfrac{\sqrt3}3$ .

Exercice 10 — Lignes trigonométriques Moyen ★★★☆☆

On considère un réel $x$ de l’intervalle $\left[0;\dfrac\pi2\right[$ tel que $\tan x=2-\sqrt3$ . Calculer $\cos x$ .
On considère un réel $y$ de l’intervalle $\left]-\pi;-\dfrac\pi2\right[$ tel que $\sin y=-\dfrac23$ . Calculer $\cos y$ et $\tan y$ .
Déterminer les réels $z$ de l’intervalle $\left]-\dfrac\pi2;\dfrac\pi2\right[$ tels que $\tan^2z-\big(1+\sqrt3\big)\tan z+\sqrt3=0$ .

Voir la solution

1) $\dfrac1{\cos^2x}=1+(2-\sqrt3)^2=8-4\sqrt3$ , donc $\cos^2x=\dfrac1{8-4\sqrt3}=\dfrac{8+4\sqrt3}{64-48}=\dfrac{2+\sqrt3}4$ . Comme $x\in\left[0;\frac\pi2\right[$ , $\cos x>0$ : $\cos x=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt3}}2$ .

2) $\cos^2y=1-\frac49=\frac59$ . Pour $y\in\left]-\pi;-\frac\pi2\right[$ , le point est dans le troisième quadrant : $\cos y<0$ , donc $\cos y=-\dfrac{\sqrt5}3$ . Puis $\tan y=\dfrac{-2/3}{-\sqrt5/3}=\dfrac2{\sqrt5}=\dfrac{2\sqrt5}5$ .

3) On pose $X=\tan z$ : $X^2-(1+\sqrt3)X+\sqrt3=(X-1)(X-\sqrt3)=0$ , donc $\tan z=1$ ou $\tan z=\sqrt3$ . Dans $\left]-\frac\pi2;\frac\pi2\right[$ : $z=\dfrac\pi4$ ou $z=\dfrac\pi3$ .

Exercice 11 — Relations Facile ★★☆☆☆

On considère un réel $x$ tel que $\cos x\neq0$ .

Montrer que $1+\tan^2x=\dfrac1{\cos^2x}$ .
On suppose de plus que $\sin x\neq0$ . Montrer que $\dfrac1{\sin^2x}=1+\dfrac1{\tan^2x}$ .

Voir la solution

1) $1+\tan^2x=1+\dfrac{\sin^2x}{\cos^2x}=\dfrac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\dfrac1{\cos^2x}$ .

2) $1+\dfrac1{\tan^2x}=1+\dfrac{\cos^2x}{\sin^2x}=\dfrac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin^2x}=\dfrac1{\sin^2x}$ .

Exercice 12 — Angles associés Facile ★★☆☆☆

On considère un réel $x$ . Montrer, par deux méthodes, que $\sin\left(\dfrac{3\pi}2+x\right)=-\cos x$ .

Voir la solution

Méthode 1. $\sin\left(\frac{3\pi}2+x\right)=\sin\left(\pi+\left(\frac\pi2+x\right)\right)=-\sin\left(\frac\pi2+x\right)=-\cos x$ .

Méthode 2. $\sin\left(\frac{3\pi}2+x\right)=\sin\left(x-\frac\pi2+2\pi\right)=\sin\left(-\left(\frac\pi2-x\right)\right)=-\sin\left(\frac\pi2-x\right)=-\cos x$ .

Exercice 13 — Calculs Facile ★★☆☆☆

Calculer $\cos\left(\dfrac\pi4+7\pi\right)$ , $\ \sin\left(\dfrac\pi6-51\pi\right)$ , $\ \cos\left(\dfrac{5\pi}2-2027\pi\right)$ et $\tan\left(\dfrac\pi3+2026\pi\right)$ .

Voir la solution

$\cos\left(\frac\pi4+7\pi\right)=\cos\left(\frac\pi4+\pi\right)=-\cos\frac\pi4=-\dfrac{\sqrt2}2$ .
$\sin\left(\frac\pi6-51\pi\right)=\sin\left(\frac\pi6+\pi-52\pi\right)=\sin\left(\pi+\frac\pi6\right)=-\dfrac12$ .
$\cos\left(\frac{5\pi}2-2027\pi\right)=\cos\left(\frac\pi2+\pi-2028\pi+2\pi\right)=\cos\left(\frac{3\pi}2\right)=0$ .
$\tan\left(\frac\pi3+2026\pi\right)=\tan\frac\pi3=\sqrt3$ .

Exercice 14 — Simplifications Moyen ★★★☆☆

On considère un réel $x$ .

Exprimer en fonction de $\cos x$ $cos x$ et de $\sin x$ $sin x$ :
- $A=\cos(\pi+x)+\sin(5\pi-x)-\cos(-x)+\sin(x+4\pi)$ ;
- $B=\sin\left(\dfrac\pi2-x\right)+\cos\left(\dfrac\pi2+x\right)+\sin(3\pi+x)$ ;
- $C=\cos\left(x-\dfrac{7\pi}2\right)+\sin\left(x+\dfrac{5\pi}2\right)$ .
Exprimer en fonction de $\tan x$ $tan x$ , pour les valeurs de $x$ $x$ où ces expressions sont définies :
- $E=\tan(9\pi-x)+\tan(5\pi+x)$ ;
- $F=\tan\left(\dfrac{7\pi}2-x\right)\times\tan(x-3\pi)$ .

Voir la solution

$A=-\cos x+\sin(\pi-x)-\cos x+\sin x=-\cos x+\sin x-\cos x+\sin x=2\sin x-2\cos x$ .
$B=\cos x-\sin x+\sin(\pi+x)=\cos x-2\sin x$ .
$\cos\left(x-\frac{7\pi}2\right)=\cos\left(x+\frac\pi2-4\pi\right)=-\sin x$ et $\sin\left(x+\frac{5\pi}2\right)=\sin\left(x+\frac\pi2\right)=\cos x$ : $C=\cos x-\sin x$ .

$\tan(9\pi-x)=\tan(-x)=-\tan x$ et $\tan(5\pi+x)=\tan x$ : $E=0$ .
$\tan\left(\frac{7\pi}2-x\right)=\tan\left(\frac\pi2-x+3\pi\right)=\dfrac1{\tan x}$ et $\tan(x-3\pi)=\tan x$ : $F=1$ .

Exercice 15 — Arcs et secteurs Moyen ★★★☆☆

On considère un cercle de centre $O$ et de rayon $3$ , et les sommets $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ (dans cet ordre) d’un hexagone régulier inscrit dans ce cercle.

Calculer la longueur du petit arc $\overset{\frown}{AB}$ .
Calculer la longueur du petit arc $\overset{\frown}{BF}$ .
Calculer l’aire du secteur angulaire de sommet $O$ limité par le petit arc $\overset{\frown}{AB}$ .

Voir la solution

Les six sommets partagent le cercle en six arcs égaux : chaque angle au centre $\widehat{AOB}$ , $\widehat{BOC}$ , … mesure $\dfrac{2\pi}6=\dfrac\pi3$ .

Longueur de $\overset{\frown}{AB}$ : $r\theta=3\times\dfrac\pi3=\pi$ .
$B$ et $F$ sont séparés par deux arcs ( $F$ , $A$ , $B$ ) : $\widehat{BOF}=\dfrac{2\pi}3$ , longueur $3\times\dfrac{2\pi}3=2\pi$ .
Aire du secteur : $\dfrac12r^2\theta=\dfrac12\times9\times\dfrac\pi3=\dfrac{3\pi}2$ .

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Chapitre 9 — Trigonométrie 1

Cours

I. Le radian et le cercle trigonométrique

1. Le radian

2. Cercle trigonométrique

3. Abscisses curvilignes

II. Angles orientés de deux vecteurs

1. Définition

2. Propriétés

III. Lignes trigonométriques d’un réel

1. Cosinus et sinus

2. Tangente

3. Valeurs remarquables

IV. Relations trigonométriques

1. Angles associés

2. Calculer une ligne à partir d’une autre

Série d’exercices

Exercice 1 — Cercle trigonométrique Facile ★☆☆☆☆

Exercice 2 — Abscisse curviligne principale Facile ★☆☆☆☆

Exercice 3 — Congruence modulo 2π2\pi2π Facile ★☆☆☆☆

Exercice 4 — Unités d’angle Facile ★☆☆☆☆

Exercice 5 — Angles orientés Facile ★★☆☆☆

Exercice 6 — Angles orientés Facile ★★☆☆☆

Exercice 7 — Propriétés des angles orientés Facile ★★☆☆☆

Exercice 8 — Valeurs remarquables Moyen ★★★☆☆

Exercice 9 — Calculs Facile ★☆☆☆☆

Exercice 10 — Lignes trigonométriques Moyen ★★★☆☆

Exercice 11 — Relations Facile ★★☆☆☆

Exercice 12 — Angles associés Facile ★★☆☆☆

Exercice 13 — Calculs Facile ★★☆☆☆

Exercice 14 — Simplifications Moyen ★★★☆☆

Exercice 15 — Arcs et secteurs Moyen ★★★☆☆

Quiz — testez-vous

Exercice 3 — Congruence modulo $2\pi$ Facile ★☆☆☆☆