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Chapitre 10 — Calcul intégral

Semestre 2

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Cours

Plan du chapitre. I. Intégrale sur un segment — II. Ordre et valeur moyenne — III. Techniques de calcul (primitives, intégration par parties, fractions rationnelles, linéarisation) — IV. Aires et volumes — Résumé.

I. Intégrale d’une fonction continue sur un segment

1. Définition

Définition 1 — intégrale

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ , $F$ une primitive de $f$ sur $I$ , et $a$ , $b$ deux éléments de $I$ . Le réel $F(b)-F(a)$ ne dépend pas de la primitive choisie : on l’appelle intégrale de $f$ de $a$ à $b$ et on note $\int_a^bf(x)\,dx=\Big[F(x)\Big]_a^b=F(b)-F(a).$

Remarque

La variable $x$ est « muette » : $\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=\int_a^bf(t)\,dt$ .
$\displaystyle\int_a^af(x)\,dx=0$ et $\displaystyle\int_b^af(x)\,dx=-\int_a^bf(x)\,dx$ .
La fonction $x\mapsto\displaystyle\int_a^xf(t)\,dt$ est la primitive de $f$ sur $I$ qui s’annule en $a$ .

2. Exemples

Exemple 1

$\displaystyle\int_0^2\left(3x^2-2x+1\right)dx=\Big[x^3-x^2+x\Big]_0^2=8-4+2=6$ .
$\displaystyle\int_1^e\frac{dx}x=\Big[\ln x\Big]_1^e=1$ ; $\quad\displaystyle\int_0^{\ln2}e^{2x}\,dx=\left[\frac12e^{2x}\right]_0^{\ln2}=\frac12(4-1)=\frac32$ .
$\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\cos x\,dx=\Big[\sin x\Big]_0^{\frac\pi2}=1$ .

Application 1

Calculer $I=\displaystyle\int_0^1\frac{2x}{x^2+1}\,dx$ , $J=\displaystyle\int_1^2\frac{(\ln x)^2}x\,dx$ et $K=\displaystyle\int_0^1xe^{-x^2}\,dx$ .

Voir la solution

$I=\Big[\ln\left(x^2+1\right)\Big]_0^1=\ln2$ (forme $\frac{u'}u$ avec $u>0$ ).

$J=\left[\dfrac{(\ln x)^3}3\right]_1^2=\dfrac{(\ln2)^3}3$ (forme $u'u^2$ avec $u=\ln x$ ).

$K=\left[-\dfrac12e^{-x^2}\right]_0^1=\dfrac12\left(1-\dfrac1e\right)$ (forme $-\frac12u'e^u$ avec $u=-x^2$ ).

II. Propriétés : ordre et valeur moyenne

1. Relation de Chasles et linéarité

Propriété 1

Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$ , $a$ , $b$ , $c$ des éléments de $I$ et $\alpha$ un réel.

Chasles : $\displaystyle\int_a^cf(x)\,dx=\int_a^bf(x)\,dx+\int_b^cf(x)\,dx$ .
Linéarité : $\displaystyle\int_a^b\left(f(x)+g(x)\right)dx=\int_a^bf(x)\,dx+\int_a^bg(x)\,dx$ et $\displaystyle\int_a^b\alpha f(x)\,dx=\alpha\int_a^bf(x)\,dx$ .

Application 2 — valeur absolue

Calculer $\displaystyle\int_0^3|x-1|\,dx$ .

Voir la solution

$|x-1|=1-x$ sur $[0;1]$ et $|x-1|=x-1$ sur $[1;3]$ . Par la relation de Chasles : $\displaystyle\int_0^3|x-1|\,dx=\int_0^1(1-x)\,dx+\int_1^3(x-1)\,dx=\left[x-\frac{x^2}2\right]_0^1+\left[\frac{x^2}2-x\right]_1^3=\frac12+2=\frac52$ .

2. Positivité et comparaison

Propriété 2

Soit $f$ et $g$ continues sur $[a;b]$ avec $a\le b$ .

Si $f\ge0$ sur $[a;b]$ , alors $\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx\ge0$ .
Si $f\le g$ sur $[a;b]$ , alors $\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx\le\int_a^bg(x)\,dx$ .
Si $m\le f(x)\le M$ sur $[a;b]$ , alors $m(b-a)\le\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx\le M(b-a)$ .

Attention

Ces propriétés exigent $a\le b$ : si $a>b$ , les inégalités entre intégrales sont inversées.

Application 3 — encadrement

Montrer que $\dfrac13\le\displaystyle\int_0^1\frac{x^2}{1+x^2}\,dx+\dfrac16\le\dfrac12$ , c’est-à-dire $\dfrac16\le\displaystyle\int_0^1\frac{x^2}{1+x^2}\,dx\le\dfrac13$ .

Voir la solution

Pour $x\in[0;1]$ : $1\le1+x^2\le2$ , donc $\dfrac{x^2}2\le\dfrac{x^2}{1+x^2}\le x^2$ . Par comparaison ( $0\le1$ ) : $\displaystyle\int_0^1\frac{x^2}2\,dx\le\int_0^1\frac{x^2}{1+x^2}\,dx\le\int_0^1x^2\,dx$ , soit $\dfrac16\le\displaystyle\int_0^1\frac{x^2}{1+x^2}\,dx\le\dfrac13$ .

3. Valeur moyenne

Définition 2

Soit $f$ continue sur $[a;b]$ avec $a<b$ . Le réel $\mu=\dfrac1{b-a}\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx$ est la valeur moyenne de $f$ sur $[a;b]$ . Il existe au moins un réel $c\in[a;b]$ tel que $f(c)=\mu$ .

Exemple 2

La valeur moyenne de $x\mapsto\sin x$ sur $[0;\pi]$ est $\dfrac1\pi\displaystyle\int_0^\pi\sin x\,dx=\dfrac1\pi\Big[-\cos x\Big]_0^\pi=\dfrac2\pi$ .

III. Techniques de calcul d’intégrales

1. Intégration par parties

Théorème 1

Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ , de dérivées $u'$ et $v'$ continues sur $I$ , et $a,b\in I$ . Alors $\int_a^bu(x)v'(x)\,dx=\Big[u(x)v(x)\Big]_a^b-\int_a^bu'(x)v(x)\,dx.$

Remarque — démonstration

$(uv)'=u'v+uv'$ est continue, donc $\displaystyle\int_a^b\left(u'v+uv'\right)=\Big[uv\Big]_a^b$ , puis on utilise la linéarité.

Méthode — choisir $u$ et $v'$

On choisit pour $u$ la fonction qui se « simplifie » en dérivant (un polynôme, $\ln x$ ) et pour $v'$ une fonction dont on connaît une primitive ( $e^{x}$ , $\cos x$ , $\sin x$ , $x^n$ ).

Application 4

Calculer $I=\displaystyle\int_0^1xe^x\,dx$ et $J=\displaystyle\int_1^ex\ln x\,dx$ .

Voir la solution

$I$ : $u(x)=x$ , $v'(x)=e^x$ , donc $u'(x)=1$ , $v(x)=e^x$ . $I=\Big[xe^x\Big]_0^1-\displaystyle\int_0^1e^x\,dx=e-(e-1)=1$ .

$J$ : $u(x)=\ln x$ , $v'(x)=x$ , donc $u'(x)=\frac1x$ , $v(x)=\frac{x^2}2$ . $J=\left[\dfrac{x^2}2\ln x\right]_1^e-\displaystyle\int_1^e\frac x2\,dx=\dfrac{e^2}2-\left[\dfrac{x^2}4\right]_1^e=\dfrac{e^2}2-\dfrac{e^2-1}4=\dfrac{e^2+1}4$ .

Application 5 — deux intégrations successives

Calculer $K=\displaystyle\int_0^{\pi}x^2\cos x\,dx$ .

Voir la solution

$u=x^2$ , $v'=\cos x$ : $K=\Big[x^2\sin x\Big]_0^\pi-\displaystyle\int_0^\pi2x\sin x\,dx=-2\int_0^\pi x\sin x\,dx$ .

Puis $u=x$ , $v'=\sin x$ : $\displaystyle\int_0^\pi x\sin x\,dx=\Big[-x\cos x\Big]_0^\pi+\int_0^\pi\cos x\,dx=\pi+0=\pi$ . Donc $K=-2\pi$ .

2. Décomposition de fractions rationnelles

Méthode — fractions rationnelles

Pour calculer $\displaystyle\int_a^b\dfrac{P(x)}{Q(x)}\,dx$ lorsque $P$ et $Q$ sont des polynômes, on décompose la fraction en somme de fractions plus simples (de la forme $\dfrac{A}{(x-\alpha)^k}$ ou $\dfrac{Ax+B}{(x^2+px+q)^k}$ ), puis on intègre terme à terme à l’aide des primitives usuelles.

Application 6 — fraction rationnelle

Soit $f$ définie par $f(x)=\dfrac{2x+5}{(x+1)^2}$ . Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $x\neq-1$ , $f(x)=\dfrac{a}{x+1}+\dfrac{b}{(x+1)^2}$ , puis calculer $\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx$ .

Voir la solution

$\dfrac{a}{x+1}+\dfrac{b}{(x+1)^2}=\dfrac{a(x+1)+b}{(x+1)^2}=\dfrac{ax+a+b}{(x+1)^2}$ . Par identification avec $2x+5$ : $a=2$ et $a+b=5$ , donc $b=3$ . Ainsi $f(x)=\dfrac2{x+1}+\dfrac3{(x+1)^2}$ .

Sur $[0;1]$ , $x+1>0$ : une primitive est $2\ln(x+1)-\dfrac3{x+1}$ . Donc $\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx=\left(2\ln2-\dfrac32\right)-\left(0-3\right)=2\ln2+\dfrac32$ .

3. Linéarisation trigonométrique

Méthode — linéarisation

Pour intégrer une puissance de $\sin$ ou $\cos$ , on la linéarise : on l’écrit comme combinaison linéaire de sinus ou cosinus d’angles multiples, à l’aide des formules d’addition (ou de Moivre). On intègre ensuite terme à terme.

Application 7 — linéarisation

Montrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}$ , $\cos^3x=\dfrac14\big(3\cos x+\cos(3x)\big)$ .
En déduire $\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\cos^3x\,dx$ .

Voir la solution

1. $\cos(3x)=\cos(2x+x)=\cos(2x)\cos x-\sin(2x)\sin x=\left(2\cos^2x-1\right)\cos x-2\sin x\cos x\sin x$ $=2\cos^3x-\cos x-2\cos x\left(1-\cos^2x\right)=4\cos^3x-3\cos x$ . Donc $\cos^3x=\dfrac14\big(3\cos x+\cos(3x)\big)$ .

2. $\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\cos^3x\,dx=\dfrac14\int_0^{\frac\pi2}\big(3\cos x+\cos(3x)\big)\,dx=\dfrac14\left[3\sin x+\dfrac{\sin(3x)}3\right]_0^{\frac\pi2}=\dfrac14\left(3+\dfrac{-1}3\right)=\dfrac14\times\dfrac83=\dfrac23$ .

IV. Calcul d’aires et de volumes

1. Aires

Propriété 3

Le plan est rapporté à un repère orthogonal $(O;\vec\imath,\vec\jmath)$ ; l’unité d’aire (u.a.) est l’aire du rectangle construit sur $\|\vec\imath\|$ et $\|\vec\jmath\|$ . Soit $f$ et $g$ continues sur $[a;b]$ ( $a<b$ ).

L’aire du domaine limité par $(C_f)$ , l’axe des abscisses et les droites d’équations $x=a$ et $x=b$ est $\mathcal A=\displaystyle\int_a^b|f(x)|\,dx$ u.a.
L’aire du domaine limité par $(C_f)$ , $(C_g)$ et les droites d’équations $x=a$ et $x=b$ est $\mathcal A=\displaystyle\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx$ u.a.

Application 8 — aire

Le plan est rapporté à un repère orthonormé d’unité $2$ cm. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-2x$ . Calculer, en cm², l’aire du domaine limité par $(C_f)$ , l’axe des abscisses et les droites d’équations $x=0$ et $x=3$ .

Voir la solution

$f(x)=x(x-2)$ est négatif sur $[0;2]$ et positif sur $[2;3]$ . Donc $\mathcal A=\displaystyle\int_0^2\left(2x-x^2\right)dx+\int_2^3\left(x^2-2x\right)dx=\left[x^2-\frac{x^3}3\right]_0^2+\left[\frac{x^3}3-x^2\right]_2^3=\frac43+\frac43=\frac83$ u.a.

Une unité d’aire vaut $2\times2=4$ cm², donc $\mathcal A=\dfrac{32}3$ cm² $\approx10{,}67$ cm².

2. Volumes

Propriété 4 — solide de révolution

L’espace est rapporté à un repère orthonormé ; l’unité de volume (u.v.) est le volume du cube construit sur les vecteurs unitaires. Soit $f$ continue sur $[a;b]$ ( $a<b$ ). Le volume du solide engendré par la rotation de la courbe $(C_f)$ (pour $x\in[a;b]$ ) autour de l’axe des abscisses est $V=\int_a^b\pi\left(f(x)\right)^2dx\ \text{ u.v.}$

Application 9 — volume

Calculer le volume du solide engendré par la rotation autour de l’axe des abscisses de la courbe de $f:x\mapsto\sqrt x\,e^{x}$ sur $[0;1]$ .

Voir la solution

$V=\pi\displaystyle\int_0^1xe^{2x}\,dx$ . Par parties ( $u=x$ , $v'=e^{2x}$ , $v=\frac12e^{2x}$ ) : $\displaystyle\int_0^1xe^{2x}\,dx=\left[\frac x2e^{2x}\right]_0^1-\frac12\int_0^1e^{2x}\,dx=\frac{e^2}2-\frac{e^2-1}4=\frac{e^2+1}4$ . Donc $V=\dfrac{\pi\left(e^2+1\right)}4$ u.v.

Résumé

À retenir

Notion	À retenir
Définition	$\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)$ , $F$ primitive de $f$
Propriétés	Chasles ; linéarité ; si $a\le b$ : $f\ge0\Rightarrow\int_a^bf\ge0$ et $f\le g\Rightarrow\int_a^bf\le\int_a^bg$
Valeur moyenne	$\mu=\frac1{b-a}\int_a^bf(x)\,dx$
Par parties	$\int_a^buv'=\big[uv\big]_a^b-\int_a^bu'v$
Fractions	décomposer $\frac PQ$ en fractions simples, puis intégrer
Linéarisation	écrire $\sin^n$ , $\cos^n$ comme somme de $\sin$ / $\cos$ d’angles multiples
Aire	$\int_a^b\vert f(x)\vert \,dx$ u.a. ; entre deux courbes $\int_a^b\vert f-g\vert$ u.a.
Volume	$\pi\int_a^bf(x)^2\,dx$ u.v.

Série d’exercices

Exercice 1 — Calcul d’intégrales à l’aide de primitives Facile ★★☆☆☆

Calculer les intégrales suivantes (chaque fonction intégrée est continue sur l’intervalle d’intégration) :

$I_1=\int_{-1}^{2}\left(x^3-3x^2+2\right)dx\ ;\quad I_2=\int_0^1\left(e^{-x}+3x^2\right)dx\ ;\quad I_3=\int_0^4\frac{dx}{\sqrt{2x+1}}\ ;\quad I_4=\int_0^{\sqrt\pi}x\sin\left(x^2\right)dx\ ;$ $I_5=\int_2^3\frac{x^2+2x}{(x+1)^2}\,dx\ ;\quad I_6=\int_0^1\frac{2x}{\left(x^2+3\right)^2}\,dx\ ;\quad I_7=\int_{-2}^{1}x\,|x|\,dx\ ;\quad I_8=\int_0^{\frac\pi3}\tan^2x\,dx\ ;$ $I_9=\int_{-1}^{0}(x+1)\left(x^2+2x\right)^2dx\ ;\quad I_{10}=\int_0^3x\sqrt{x+1}\,dx\ ;\quad I_{11}=\int_0^{\frac\pi2}\sin x\cos^4x\,dx\ ;\quad I_{12}=\int_0^2\frac{t}{\sqrt{t^2+5}}\,dt\ ;$ $I_{13}=\int_0^2|3t-2|\,dt\ ;\quad I_{14}=\int_1^2\frac1{x^2}\,e^{\frac1x}\,dx\ ;\quad I_{15}=\int_e^{e^2}\frac{dx}{x\ln x}\ ;\quad I_{16}=\int_{\frac\pi6}^{\frac\pi3}\tan x\,dx.$

Indication pour $I_{10}$ : écrire $x=(x+1)-1$ .

Voir la solution

$I_1=\left[\dfrac{x^4}4-x^3+2x\right]_{-1}^{2}=(4-8+4)-\left(\dfrac14+1-2\right)=0-\left(-\dfrac34\right)=\dfrac34$ .
$I_2=\Big[-e^{-x}+x^3\Big]_0^1=\left(-\dfrac1e+1\right)-(-1)=2-\dfrac1e$ .
Avec $u(x)=2x+1>0$ sur $[0;4]$ et $u'(x)=2$ : $\dfrac1{\sqrt{2x+1}}=\dfrac12\times\dfrac{u'}{\sqrt u}$ , de primitive $\sqrt{2x+1}$ . $I_3=\Big[\sqrt{2x+1}\Big]_0^4=3-1=2$ .
Avec $u(x)=x^2$ , $u'(x)=2x$ : $x\sin\left(x^2\right)=\dfrac12u'\sin u$ , de primitive $-\dfrac12\cos\left(x^2\right)$ . $I_4=\left[-\dfrac12\cos\left(x^2\right)\right]_0^{\sqrt\pi}=-\dfrac12\cos\pi+\dfrac12\cos0=\dfrac12+\dfrac12=1$ .
$x^2+2x=(x+1)^2-1$ , donc $\dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2}=1-\dfrac1{(x+1)^2}$ , de primitive $x+\dfrac1{x+1}$ sur $[2;3]$ . $I_5=\left(3+\dfrac14\right)-\left(2+\dfrac13\right)=1-\dfrac1{12}=\dfrac{11}{12}$ .
Avec $u(x)=x^2+3$ : $\dfrac{2x}{\left(x^2+3\right)^2}=\dfrac{u'}{u^2}$ , de primitive $-\dfrac1u$ . $I_6=\left[-\dfrac1{x^2+3}\right]_0^1=-\dfrac14+\dfrac13=\dfrac1{12}$ .
Pour $x\le0$ , $x|x|=-x^2$ ; pour $x\ge0$ , $x|x|=x^2$ . Par Chasles : $I_7=\displaystyle\int_{-2}^0-x^2\,dx+\int_0^1x^2\,dx=\left[-\frac{x^3}3\right]_{-2}^0+\left[\frac{x^3}3\right]_0^1=-\frac83+\frac13=-\frac73$ .
$\tan^2x=\left(1+\tan^2x\right)-1$ , de primitive $\tan x-x$ sur $\left[0;\frac\pi3\right]$ . $I_8=\tan\dfrac\pi3-\dfrac\pi3=\sqrt3-\dfrac\pi3$ .
Avec $u(x)=x^2+2x$ , $u'(x)=2(x+1)$ : $(x+1)\left(x^2+2x\right)^2=\dfrac12u'u^2$ , de primitive $\dfrac{u^3}6$ . $I_9=\left[\dfrac{\left(x^2+2x\right)^3}6\right]_{-1}^0=0-\dfrac{(-1)^3}6=\dfrac16$ .
$x\sqrt{x+1}=\big((x+1)-1\big)\sqrt{x+1}=(x+1)^{\frac32}-(x+1)^{\frac12}$ , de primitive $\dfrac25(x+1)^{\frac52}-\dfrac23(x+1)^{\frac32}$ . $I_{10}=\left(\dfrac25\times32-\dfrac23\times8\right)-\left(\dfrac25-\dfrac23\right)=\dfrac{62}5-\dfrac{14}3=\dfrac{116}{15}$ .
Avec $u(x)=\cos x$ , $u'(x)=-\sin x$ : $\sin x\cos^4x=-u'u^4$ , de primitive $-\dfrac{\cos^5x}5$ . $I_{11}=\left[-\dfrac{\cos^5x}5\right]_0^{\frac\pi2}=0+\dfrac15=\dfrac15$ .
$\left(\sqrt{t^2+5}\right)'=\dfrac{2t}{2\sqrt{t^2+5}}=\dfrac t{\sqrt{t^2+5}}$ . $I_{12}=\Big[\sqrt{t^2+5}\Big]_0^2=3-\sqrt5$ .
$3t-2\ge0\iff t\ge\frac23$ . Par Chasles : $I_{13}=\displaystyle\int_0^{\frac23}(2-3t)\,dt+\int_{\frac23}^2(3t-2)\,dt=\left[2t-\frac32t^2\right]_0^{\frac23}+\left[\frac32t^2-2t\right]_{\frac23}^2=\frac23+\frac83=\frac{10}3$ .
$\left(e^{\frac1x}\right)'=-\dfrac1{x^2}e^{\frac1x}$ , donc $\dfrac1{x^2}e^{\frac1x}$ a pour primitive $-e^{\frac1x}$ sur $[1;2]$ . $I_{14}=-e^{\frac12}+e^1=e-\sqrt e$ .
Avec $u(x)=\ln x>0$ sur $\left[e;e^2\right]$ et $u'(x)=\dfrac1x$ : $\dfrac1{x\ln x}=\dfrac{u'}u$ , de primitive $\ln(\ln x)$ . $I_{15}=\ln\left(\ln e^2\right)-\ln(\ln e)=\ln2-\ln1=\ln2$ .
$\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=-\dfrac{u'}u$ avec $u=\cos>0$ sur $\left[\frac\pi6;\frac\pi3\right]$ , de primitive $-\ln(\cos x)$ . $I_{16}=-\ln\dfrac12+\ln\dfrac{\sqrt3}2=\ln\sqrt3=\dfrac12\ln3$ .

Exercice 2 — Intégration par parties Moyen ★★★☆☆

À l’aide de la méthode d’intégration par parties, calculer les intégrales suivantes :

$I_1=\int_1^2\ln x\,dx\ ;\quad I_2=\int_1^e(2x+1)\ln x\,dx\ ;\quad I_3=\int_0^1xe^{-x}\,dx\ ;\quad I_4=\int_1^2\frac1{x^3}\,e^{\frac1x}\,dx\ ;$ $I_5=\int_1^ex^3\ln x\,dx\ ;\quad I_6=\int_0^{\frac12}xe^{2x}\,dx\ ;\quad I_7=\int_{-1}^{2}\frac{x}{\sqrt{x+2}}\,dx\ ;\quad I_8=\int_1^2\frac{\ln x}{x^2}\,dx\ ;$ $I_9=\int_0^{\frac\pi2}x\sin x\,dx\ ;\quad I_{10}=\int_0^{\pi}x^2\sin x\,dx\ ;\quad I_{11}=\int_0^{\frac\pi2}x\cos(2x)\,dx\ ;\quad I_{12}=\int_0^{\frac\pi2}x^2\cos x\,dx\ ;$ $I_{13}=\int_0^{\frac\pi2}e^x\sin x\,dx\ ;\quad I_{14}=\int_0^{\sqrt5}x^3\sqrt{x^2+4}\,dx.$

Voir la solution

Dans chaque cas, on indique le choix de $u$ et $v'$ , puis $u'$ et $v$ ; les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables à dérivées continues sur l’intervalle d’intégration.

$I_1$ : $u=\ln x$ , $v'=1$ ; $u'=\dfrac1x$ , $v=x$ . $I_1=\Big[x\ln x\Big]_1^2-\displaystyle\int_1^21\,dx=2\ln2-1$ .
$I_2$ : $u=\ln x$ , $v'=2x+1$ ; $u'=\dfrac1x$ , $v=x^2+x$ . $I_2=\Big[\left(x^2+x\right)\ln x\Big]_1^e-\displaystyle\int_1^e(x+1)\,dx=e^2+e-\left[\frac{x^2}2+x\right]_1^e=e^2+e-\left(\frac{e^2}2+e-\frac32\right)=\frac{e^2}2+\frac32$ .
$I_3$ : $u=x$ , $v'=e^{-x}$ ; $u'=1$ , $v=-e^{-x}$ . $I_3=\Big[-xe^{-x}\Big]_0^1+\displaystyle\int_0^1e^{-x}\,dx=-\frac1e+\Big[-e^{-x}\Big]_0^1=-\frac1e+1-\frac1e=1-\frac2e$ .
$I_4$ : on écrit $\dfrac1{x^3}e^{\frac1x}=\dfrac1x\times\dfrac1{x^2}e^{\frac1x}$ ; $u=\dfrac1x$ , $v'=\dfrac1{x^2}e^{\frac1x}$ ; $u'=-\dfrac1{x^2}$ , $v=-e^{\frac1x}$ . $I_4=\left[-\dfrac1xe^{\frac1x}\right]_1^2-\displaystyle\int_1^2\frac1{x^2}e^{\frac1x}\,dx=\left(-\frac{\sqrt e}2+e\right)-\left(e-\sqrt e\right)=\frac{\sqrt e}2$ (on a réutilisé $I_{14}$ de l’exercice 1).
$I_5$ : $u=\ln x$ , $v'=x^3$ ; $u'=\dfrac1x$ , $v=\dfrac{x^4}4$ . $I_5=\left[\dfrac{x^4}4\ln x\right]_1^e-\displaystyle\int_1^e\frac{x^3}4\,dx=\frac{e^4}4-\frac{e^4-1}{16}=\frac{3e^4+1}{16}$ .
$I_6$ : $u=x$ , $v'=e^{2x}$ ; $u'=1$ , $v=\dfrac12e^{2x}$ . $I_6=\left[\dfrac x2e^{2x}\right]_0^{\frac12}-\displaystyle\int_0^{\frac12}\frac12e^{2x}\,dx=\frac e4-\left[\frac14e^{2x}\right]_0^{\frac12}=\frac e4-\frac{e-1}4=\frac14$ .
$I_7$ : $u=x$ , $v'=\dfrac1{\sqrt{x+2}}$ ; $u'=1$ , $v=2\sqrt{x+2}$ . $I_7=\Big[2x\sqrt{x+2}\Big]_{-1}^2-\displaystyle\int_{-1}^22\sqrt{x+2}\,dx=(8+2)-\left[\frac43(x+2)^{\frac32}\right]_{-1}^2=10-\frac43(8-1)=\frac23$ .
$I_8$ : $u=\ln x$ , $v'=\dfrac1{x^2}$ ; $u'=\dfrac1x$ , $v=-\dfrac1x$ . $I_8=\left[-\dfrac{\ln x}x\right]_1^2+\displaystyle\int_1^2\frac{dx}{x^2}=-\frac{\ln2}2+\left[-\frac1x\right]_1^2=\frac12-\frac{\ln2}2$ .
$I_9$ : $u=x$ , $v'=\sin x$ ; $u'=1$ , $v=-\cos x$ . $I_9=\Big[-x\cos x\Big]_0^{\frac\pi2}+\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\cos x\,dx=0+\Big[\sin x\Big]_0^{\frac\pi2}=1$ .
$I_{10}$ : $u=x^2$ , $v'=\sin x$ ; $u'=2x$ , $v=-\cos x$ . $I_{10}=\Big[-x^2\cos x\Big]_0^\pi+2\displaystyle\int_0^\pi x\cos x\,dx=\pi^2+2A$ . Pour $A$ : $u=x$ , $v'=\cos x$ ; $u'=1$ , $v=\sin x$ : $A=\Big[x\sin x\Big]_0^\pi-\displaystyle\int_0^\pi\sin x\,dx=0-2=-2$ . Donc $I_{10}=\pi^2-4$ .
$I_{11}$ : $u=x$ , $v'=\cos(2x)$ ; $u'=1$ , $v=\dfrac12\sin(2x)$ . $I_{11}=\left[\dfrac x2\sin(2x)\right]_0^{\frac\pi2}-\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\frac12\sin(2x)\,dx=0-\left[-\frac14\cos(2x)\right]_0^{\frac\pi2}=-\left(\frac14+\frac14\right)=-\frac12$ .
$I_{12}$ : $u=x^2$ , $v'=\cos x$ ; $u'=2x$ , $v=\sin x$ . $I_{12}=\Big[x^2\sin x\Big]_0^{\frac\pi2}-2\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}x\sin x\,dx=\frac{\pi^2}4-2I_9=\frac{\pi^2}4-2$ .
$I_{13}$ : deux intégrations par parties. Avec $u=\sin x$ , $v'=e^x$ : $I_{13}=\Big[e^x\sin x\Big]_0^{\frac\pi2}-\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}e^x\cos x\,dx=e^{\frac\pi2}-B$ . Avec $u=\cos x$ , $v'=e^x$ : $B=\Big[e^x\cos x\Big]_0^{\frac\pi2}+\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}e^x\sin x\,dx=-1+I_{13}$ . Donc $I_{13}=e^{\frac\pi2}+1-I_{13}$ , soit $I_{13}=\dfrac{e^{\frac\pi2}+1}2$ .
$I_{14}$ : on écrit $x^3\sqrt{x^2+4}=x^2\times x\sqrt{x^2+4}$ ; $u=x^2$ , $v'=x\sqrt{x^2+4}$ ; $u'=2x$ , $v=\dfrac13\left(x^2+4\right)^{\frac32}$ (en effet $v'=\dfrac13\times\dfrac32\times2x\left(x^2+4\right)^{\frac12}$ ). $I_{14}=\left[\dfrac{x^2}3\left(x^2+4\right)^{\frac32}\right]_0^{\sqrt5}-\dfrac13\displaystyle\int_0^{\sqrt5}2x\left(x^2+4\right)^{\frac32}dx=\frac{5\times27}3-\frac13\left[\frac25\left(x^2+4\right)^{\frac52}\right]_0^{\sqrt5}=45-\frac2{15}(243-32)=45-\frac{422}{15}=\frac{253}{15}$ .

Exercice 3 — Intégrales trigonométriques Moyen ★★★☆☆

On considère les intégrales $I=\displaystyle\int_0^{\frac\pi3}\frac{dx}{\cos^2x}$ et $J=\displaystyle\int_0^{\frac\pi3}\frac{dx}{\cos^4x}$ .

Calculer $I$ .
Soit $f$ la fonction définie sur $\left[0;\frac\pi3\right]$ par $f(x)=\dfrac{\sin x}{\cos^3x}$ . a. Montrer que, pour tout $x\in\left[0;\frac\pi3\right]$ , $f'(x)=\dfrac3{\cos^4x}-\dfrac2{\cos^2x}$ . b. En déduire une relation entre $I$ et $J$ . c. En déduire la valeur de $J$ .

Voir la solution

1. $I=\Big[\tan x\Big]_0^{\frac\pi3}=\sqrt3$ .

2. a. $f(x)=\sin x\times\left(\cos x\right)^{-3}$ , donc pour tout $x\in\left[0;\frac\pi3\right]$ : $f'(x)=\cos x\left(\cos x\right)^{-3}+\sin x\times3\sin x\left(\cos x\right)^{-4}=\frac1{\cos^2x}+\frac{3\sin^2x}{\cos^4x}=\frac1{\cos^2x}+\frac{3\left(1-\cos^2x\right)}{\cos^4x}=\frac3{\cos^4x}-\frac2{\cos^2x}.$

2. b. $f'$ est continue sur $\left[0;\frac\pi3\right]$ , donc $\displaystyle\int_0^{\frac\pi3}f'(x)\,dx=f\left(\frac\pi3\right)-f(0)$ . Par linéarité : $3J-2I=\dfrac{\frac{\sqrt3}2}{\frac18}-0=4\sqrt3$ .

2. c. $3J=4\sqrt3+2I=4\sqrt3+2\sqrt3=6\sqrt3$ , donc $J=2\sqrt3$ .

Exercice 4 — Trois intégrales liées Difficile ★★★★☆

On considère les intégrales $I=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x^2+3}}\ ;\qquad J=\int_0^1\frac{x^2}{\sqrt{x^2+3}}\,dx\qquad\text{et}\qquad K=\int_0^1\sqrt{x^2+3}\,dx.$

Soit $f$ la fonction définie sur $[0;1]$ par $f(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^2+3}\right)$ . a. Montrer que, pour tout $x\in[0;1]$ , $f'(x)=\dfrac1{\sqrt{x^2+3}}$ . b. En déduire la valeur de $I$ .
a. Vérifier que $J+3I=K$ . b. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que $K=2-J$ . c. En déduire les valeurs de $J$ et de $K$ .

Voir la solution

1. a. Pour $x\in[0;1]$ , $u(x)=x+\sqrt{x^2+3}>0$ et $u'(x)=1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+3}}=\dfrac{\sqrt{x^2+3}+x}{\sqrt{x^2+3}}$ . Donc $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}=\dfrac1{\sqrt{x^2+3}}$ .

1. b. $f$ est une primitive de $x\mapsto\dfrac1{\sqrt{x^2+3}}$ sur $[0;1]$ : $I=f(1)-f(0)=\ln3-\ln\sqrt3=\dfrac12\ln3$ .

2. a. Par linéarité : $J+3I=\displaystyle\int_0^1\frac{x^2+3}{\sqrt{x^2+3}}\,dx=\int_0^1\sqrt{x^2+3}\,dx=K$ .

2. b. $u=\sqrt{x^2+3}$ , $v'=1$ ; $u'=\dfrac x{\sqrt{x^2+3}}$ , $v=x$ : $K=\Big[x\sqrt{x^2+3}\Big]_0^1-\displaystyle\int_0^1\frac{x^2}{\sqrt{x^2+3}}\,dx=2-J$ .

2. c. De $J+3I=2-J$ on tire $J=\dfrac{2-3I}2=1-\dfrac34\ln3$ , puis $K=2-J=1+\dfrac34\ln3$ .

Exercice 5 — Encadrement d’une intégrale Moyen ★★★☆☆

Soit $f$ la fonction définie sur $]-1;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{e^{2x}}{1+x}$ .

Étudier les variations de $f$ sur $]-1;+\infty[$ .
En déduire que, pour tout $x\in[0;1]$ , $1\le f(x)\le\dfrac{e^2}2$ .
a. Vérifier que, pour tout $x\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ , $1-x+\dfrac{x^2}{1+x}=\dfrac1{1+x}$ . b. En déduire que $\displaystyle\int_0^1(1-x)e^{2x}\,dx+\int_0^1x^2f(x)\,dx=\int_0^1\frac{e^{2x}}{1+x}\,dx$ .
Calculer $\displaystyle\int_0^1(1-x)e^{2x}\,dx$ .
Montrer que $\dfrac13\le\displaystyle\int_0^1x^2f(x)\,dx\le\dfrac{e^2}6$ .

Voir la solution

1. $f$ est dérivable sur $]-1;+\infty[$ et $f'(x)=\dfrac{2e^{2x}(1+x)-e^{2x}}{(1+x)^2}=\dfrac{(2x+1)e^{2x}}{(1+x)^2}$ , du signe de $2x+1$ . $f$ est donc strictement décroissante sur $\left]-1;-\frac12\right]$ et strictement croissante sur $\left[-\frac12;+\infty\right[$ , avec un minimum $f\left(-\frac12\right)=\dfrac{e^{-1}}{\frac12}=\dfrac2e$ . Limites : $\lim\limits_{x\to-1^+}f(x)=+\infty$ (numérateur $\to e^{-2}>0$ , dénominateur $\to0^+$ ) ; en $+\infty$ , $f(x)=\dfrac{e^{2x}}{2x}\times\dfrac{2x}{1+x}\to+\infty$ .

$x$	$-1$		$-\frac12$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$
$f$	$+\infty$	$\searrow$	$\frac2e$	$\nearrow$	$+\infty$

2. $[0;1]\subset\left[-\frac12;+\infty\right[$ où $f$ est croissante : pour $x\in[0;1]$ , $f(0)\le f(x)\le f(1)$ , soit $1\le f(x)\le\dfrac{e^2}2$ .

3. a. Pour $x\neq-1$ : $1-x+\dfrac{x^2}{1+x}=\dfrac{(1-x)(1+x)+x^2}{1+x}=\dfrac{1-x^2+x^2}{1+x}=\dfrac1{1+x}$ .

3. b. En multipliant par $e^{2x}$ : pour $x\in[0;1]$ , $(1-x)e^{2x}+x^2\dfrac{e^{2x}}{1+x}=\dfrac{e^{2x}}{1+x}$ , c’est-à-dire $(1-x)e^{2x}+x^2f(x)=\dfrac{e^{2x}}{1+x}$ . On intègre sur $[0;1]$ et on utilise la linéarité.

4. $u=1-x$ , $v'=e^{2x}$ ; $u'=-1$ , $v=\dfrac12e^{2x}$ : $\displaystyle\int_0^1(1-x)e^{2x}\,dx=\left[\frac{1-x}2e^{2x}\right]_0^1+\frac12\int_0^1e^{2x}\,dx=-\frac12+\frac{e^2-1}4=\frac{e^2-3}4$ .

5. Pour $x\in[0;1]$ , $x^2\ge0$ ; en multipliant l’encadrement de la question 2 : $x^2\le x^2f(x)\le\dfrac{e^2}2x^2$ . Comme $0\le1$ , on intègre : $\displaystyle\int_0^1x^2\,dx\le\int_0^1x^2f(x)\,dx\le\frac{e^2}2\int_0^1x^2\,dx$ , soit $\dfrac13\le\displaystyle\int_0^1x^2f(x)\,dx\le\dfrac{e^2}6$ .

Exercice 6 — Aire et limite Facile ★★☆☆☆

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(2x+3)e^{-x}$ , et $(C_f)$ sa courbe dans un repère orthonormé $(O;\vec\imath,\vec\jmath)$ d’unité $2\text{ cm}$ .

Soit $\lambda$ un réel strictement positif. Déterminer, en $\text{cm}^2$ , l’aire $S(\lambda)$ du domaine plan limité par $(C_f)$ , l’axe des abscisses et les droites d’équations $x=0$ et $x=\lambda$ .
Déterminer $\lim\limits_{\lambda\to+\infty}S(\lambda)$ .

Voir la solution

1. Pour $x\in[0;\lambda]$ , $2x+3>0$ et $e^{-x}>0$ , donc $f(x)>0$ . L’unité d’aire vaut $2\times2=4\text{ cm}^2$ , donc $S(\lambda)=4\displaystyle\int_0^\lambda(2x+3)e^{-x}\,dx$ . Par parties : $u=2x+3$ , $v'=e^{-x}$ ; $u'=2$ , $v=-e^{-x}$ : $\int_0^\lambda(2x+3)e^{-x}\,dx=\Big[-(2x+3)e^{-x}\Big]_0^\lambda+2\int_0^\lambda e^{-x}\,dx=-(2\lambda+3)e^{-\lambda}+3+2\left(1-e^{-\lambda}\right)=5-(2\lambda+5)e^{-\lambda}.$ Donc $S(\lambda)=20-4(2\lambda+5)e^{-\lambda}\ \text{cm}^2$ .

2. $\lim\limits_{\lambda\to+\infty}\lambda e^{-\lambda}=0$ et $\lim\limits_{\lambda\to+\infty}e^{-\lambda}=0$ , donc $\lim\limits_{\lambda\to+\infty}S(\lambda)=20\text{ cm}^2$ .

Exercice 7 — Aire entre une courbe et son asymptote Difficile ★★★★☆

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=x+1+\dfrac{2-\ln x}{\sqrt x}$ , et $(C_f)$ sa courbe dans un repère orthonormé $(O;\vec\imath,\vec\jmath)$ (unité : $1\text{ cm}$ ).

a. Montrer que la droite $(D)$ d’équation $y=x+1$ est une asymptote à $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$ . b. Étudier la position relative de $(C_f)$ et $(D)$ sur $]0;+\infty[$ .
Soit $\lambda$ un réel tel que $\lambda\ge e^2$ . Déterminer l’aire $S(\lambda)$ , en $\text{cm}^2$ , du domaine plan limité par $(C_f)$ , la droite $(D)$ et les droites d’équations $x=e^2$ et $x=\lambda$ .

Voir la solution

1. a. $f(x)-(x+1)=\dfrac{2-\ln x}{\sqrt x}=\dfrac2{\sqrt x}-\dfrac{\ln x}{\sqrt x}$ . Or $\dfrac{\ln x}{\sqrt x}=\dfrac{2\ln\sqrt x}{\sqrt x}\to0$ quand $x\to+\infty$ (on pose $X=\sqrt x\to+\infty$ et $\frac{\ln X}X\to0$ ). Donc $\lim\limits_{x\to+\infty}\big(f(x)-(x+1)\big)=0$ : $(D)$ est asymptote à $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$ .

1. b. $\sqrt x>0$ , donc $f(x)-(x+1)$ a le signe de $2-\ln x$ : positif si $x<e^2$ , nul si $x=e^2$ , négatif si $x>e^2$ . $(C_f)$ est au-dessus de $(D)$ sur $\left]0;e^2\right[$ , en dessous sur $\left]e^2;+\infty\right[$ , et elles se coupent au point $\left(e^2;e^2+1\right)$ .

2. Sur $\left[e^2;\lambda\right]$ , $(D)$ est au-dessus de $(C_f)$ et l’unité d’aire est $1\text{ cm}^2$ : $S(\lambda)=\displaystyle\int_{e^2}^\lambda\frac{\ln x-2}{\sqrt x}\,dx$ . Par parties pour $\displaystyle\int\frac{\ln x}{\sqrt x}$ : $u=\ln x$ , $v'=\dfrac1{\sqrt x}$ ; $u'=\dfrac1x$ , $v=2\sqrt x$ , d’où la primitive $2\sqrt x\ln x-\displaystyle\int\frac2{\sqrt x}=2\sqrt x\ln x-4\sqrt x$ . Une primitive de $\dfrac{\ln x-2}{\sqrt x}$ est donc $2\sqrt x\ln x-8\sqrt x$ , et $S(\lambda)=\left(2\sqrt\lambda\ln\lambda-8\sqrt\lambda\right)-\left(4e-8e\right)=2\sqrt\lambda\left(\ln\lambda-4\right)+4e\ \text{cm}^2.$ (Contrôle : $S\left(e^2\right)=2e(2-4)+4e=0$ .)

Exercice 8 — Décomposition d’une fraction rationnelle Facile ★★☆☆☆

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{3x-1}{(x+1)^3}$ .

Déterminer l’ensemble de définition $D_f$ de $f$ .
Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $x\in D_f$ , $f(x)=\dfrac{a}{(x+1)^2}+\dfrac{b}{(x+1)^3}$ .
Calculer $\displaystyle\int_0^2f(x)\,dx$ .

Voir la solution

1. $f(x)$ existe si et seulement si $x+1\neq0$ : $D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ .

2. $\dfrac a{(x+1)^2}+\dfrac b{(x+1)^3}=\dfrac{a(x+1)+b}{(x+1)^3}=\dfrac{ax+a+b}{(x+1)^3}$ . Par identification avec $3x-1$ : $a=3$ et $a+b=-1$ , d’où $a=3$ , $b=-4$ : $f(x)=\dfrac3{(x+1)^2}-\dfrac4{(x+1)^3}$ .

3. $[0;2]\subset]-1;+\infty[$ , où $f$ est continue. Une primitive est $-\dfrac3{x+1}+\dfrac2{(x+1)^2}$ (car $-4(x+1)^{-3}$ a pour primitive $-4\times\dfrac{(x+1)^{-2}}{-2}$ ). Donc $\displaystyle\int_0^2f(x)\,dx=\left(-1+\frac29\right)-(-3+2)=\frac29$ .

Exercice 9 — Intégrale dépendant d’un paramètre Moyen ★★★☆☆

Soit $a$ un réel tel que $a\ge1$ . On pose $I(a)=\displaystyle\int_1^a\frac{\ln x}{x^3}\,dx$ .

À l’aide d’une intégration par parties, montrer que $I(a)=\dfrac14-\dfrac{2\ln a+1}{4a^2}$ .
En déduire $\lim\limits_{a\to+\infty}I(a)$ .
On pose $J(a)=\displaystyle\int_1^a\frac{\ln x}{x^3+1}\,dx$ . Justifier l’existence de $J(a)$ et montrer que $J(a)\ge0$ .
Vérifier que, pour tout $x\in[1;+\infty[$ , $x^3\le x^3+1\le2x^3$ , puis montrer que $\dfrac12I(a)\le J(a)\le I(a)$ .

Voir la solution

1. $u=\ln x$ , $v'=\dfrac1{x^3}$ ; $u'=\dfrac1x$ , $v=-\dfrac1{2x^2}$ : $I(a)=\left[-\dfrac{\ln x}{2x^2}\right]_1^a+\displaystyle\int_1^a\frac{dx}{2x^3}=-\frac{\ln a}{2a^2}+\left[-\frac1{4x^2}\right]_1^a=-\frac{\ln a}{2a^2}-\frac1{4a^2}+\frac14=\frac14-\frac{2\ln a+1}{4a^2}$ .

2. $\dfrac{\ln a}{a^2}=\dfrac{\ln a}a\times\dfrac1a\to0$ et $\dfrac1{a^2}\to0$ , donc $\lim\limits_{a\to+\infty}I(a)=\dfrac14$ .

3. La fonction $x\mapsto\dfrac{\ln x}{x^3+1}$ est continue sur $[1;a]$ ( $x>0$ et $x^3+1>0$ ), donc $J(a)$ existe. Sur $[1;a]$ , $\ln x\ge0$ et $x^3+1>0$ , donc la fonction intégrée est positive ; comme $1\le a$ , $J(a)\ge0$ .

4. Pour $x\ge1$ : $x^3\ge1$ , donc $0<x^3\le x^3+1\le x^3+x^3=2x^3$ . La fonction inverse étant décroissante sur $]0;+\infty[$ : $\dfrac1{2x^3}\le\dfrac1{x^3+1}\le\dfrac1{x^3}$ . On multiplie par $\ln x\ge0$ : $\dfrac{\ln x}{2x^3}\le\dfrac{\ln x}{x^3+1}\le\dfrac{\ln x}{x^3}$ , puis on intègre de $1$ à $a$ ( $1\le a$ ) : $\dfrac12I(a)\le J(a)\le I(a)$ .

Exercice 10 — Décomposition, parties et linéarisation Difficile ★★★★☆

a. Vérifier que, pour tout $x\in\mathbb{R}$ , $\dfrac1{\left(e^x+2\right)^2}=\dfrac14\left(1-\dfrac{e^x}{e^x+2}-\dfrac{2e^x}{\left(e^x+2\right)^2}\right)$ . b. En déduire la valeur de $J=\displaystyle\int_0^{\ln2}\frac{dx}{\left(e^x+2\right)^2}$ .
À l’aide d’une intégration par parties, calculer l’intégrale $K=\displaystyle\int_0^{\ln2}\frac{xe^x}{\left(e^x+2\right)^3}\,dx$ .
a. Montrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}$ , $\sin^3x=\dfrac14\left(3\sin x-\sin(3x)\right)$ . b. Calculer l’intégrale $L=\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\sin^3x\,dx$ .

Voir la solution

1. a. Posons $t=e^x>0$ . $1-\dfrac t{t+2}=\dfrac2{t+2}$ , puis $\dfrac2{t+2}-\dfrac{2t}{(t+2)^2}=\dfrac{2(t+2)-2t}{(t+2)^2}=\dfrac4{(t+2)^2}$ . En multipliant par $\dfrac14$ on obtient $\dfrac1{(t+2)^2}$ : l’égalité est vraie pour tout $x\in\mathbb{R}$ .

1. b. Avec $u=e^x+2$ ( $u'=e^x$ ) : $\dfrac{e^x}{e^x+2}=\dfrac{u'}u$ a pour primitive $\ln\left(e^x+2\right)$ , et $\dfrac{2e^x}{\left(e^x+2\right)^2}=\dfrac{2u'}{u^2}$ a pour primitive $-\dfrac2{e^x+2}$ . Donc $J=\frac14\left[x-\ln\left(e^x+2\right)+\frac2{e^x+2}\right]_0^{\ln2}=\frac14\left[\left(\ln2-\ln4+\frac12\right)-\left(-\ln3+\frac23\right)\right]=\frac14\left(\ln\frac32-\frac16\right)=\frac14\ln\frac32-\frac1{24}.$

2. $u=x$ , $v'=\dfrac{e^x}{\left(e^x+2\right)^3}$ ; $u'=1$ , $v=-\dfrac1{2\left(e^x+2\right)^2}$ (forme $u'u^{-3}$ ). Donc $K=\left[-\frac x{2\left(e^x+2\right)^2}\right]_0^{\ln2}+\frac12\int_0^{\ln2}\frac{dx}{\left(e^x+2\right)^2}=-\frac{\ln2}{32}+\frac12J=-\frac{\ln2}{32}+\frac18\ln\frac32-\frac1{48}.$

3. a. $\sin(3x)=\sin(2x+x)=\sin(2x)\cos x+\cos(2x)\sin x=2\sin x\cos^2x+\left(1-2\sin^2x\right)\sin x$ $=2\sin x\left(1-\sin^2x\right)+\sin x-2\sin^3x=3\sin x-4\sin^3x$ . Donc $\sin^3x=\dfrac14\left(3\sin x-\sin(3x)\right)$ .

3. b. $L=\dfrac14\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\left(3\sin x-\sin(3x)\right)dx=\frac14\left[-3\cos x+\frac{\cos(3x)}3\right]_0^{\frac\pi2}=\frac14\left[0-\left(-3+\frac13\right)\right]=\frac14\times\frac83=\frac23$ .

Exercice 11 — Deux calculs directs Facile ★★☆☆☆

Calculer l’intégrale $\displaystyle\int_{\frac\pi6}^{\frac\pi4}\left(\frac1{\cos^2x}+2\sin(2x)\right)dx$ .
Montrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}$ , $\left(\dfrac{x}{x^2+3}\right)'=\dfrac{3-x^2}{\left(x^2+3\right)^2}$ , puis calculer $\displaystyle\int_0^1\frac{3-x^2}{\left(x^2+3\right)^2}\,dx$ .

Voir la solution

1. Une primitive de $\dfrac1{\cos^2x}+2\sin(2x)$ est $\tan x-\cos(2x)$ . L’intégrale vaut $\left(\tan\dfrac\pi4-\cos\dfrac\pi2\right)-\left(\tan\dfrac\pi6-\cos\dfrac\pi3\right)=1-\dfrac{\sqrt3}3+\dfrac12=\dfrac32-\dfrac{\sqrt3}3$ .

2. Pour tout $x\in\mathbb{R}$ ( $x^2+3>0$ ) : $\left(\dfrac x{x^2+3}\right)'=\dfrac{1\times\left(x^2+3\right)-x\times2x}{\left(x^2+3\right)^2}=\dfrac{3-x^2}{\left(x^2+3\right)^2}$ . Donc $\displaystyle\int_0^1\frac{3-x^2}{\left(x^2+3\right)^2}\,dx=\left[\frac x{x^2+3}\right]_0^1=\frac14$ .

Exercice 12 — Puissances de sinus et cosinus Facile ★★☆☆☆

Vérifier que, pour tout $x\in\mathbb{R}$ , $\cos^2x\sin^3x=\sin x\cos^2x-\sin x\cos^4x$ .
Calculer l’intégrale $I=\displaystyle\int_0^{\frac\pi3}\cos^2x\sin^3x\,dx$ .

Voir la solution

1. $\sin x\cos^2x-\sin x\cos^4x=\sin x\cos^2x\left(1-\cos^2x\right)=\sin x\cos^2x\sin^2x=\cos^2x\sin^3x$ .

2. Avec $u=\cos x$ ( $u'=-\sin x$ ) : $\sin x\cos^2x=-u'u^2\mapsto-\dfrac{\cos^3x}3$ et $\sin x\cos^4x=-u'u^4\mapsto-\dfrac{\cos^5x}5$ . Donc $I=\left[-\frac{\cos^3x}3+\frac{\cos^5x}5\right]_0^{\frac\pi3}=\left(-\frac1{24}+\frac1{160}\right)-\left(-\frac13+\frac15\right)=-\frac{17}{480}+\frac{64}{480}=\frac{47}{480}.$

Exercice 13 — Logarithme et intégration par parties Moyen ★★★☆☆

Vérifier que, pour tout $x\in[0;1]$ , $\dfrac{x^3+2x}{x+1}=x^2-x+3-\dfrac3{x+1}$ .
À l’aide d’une intégration par parties, calculer l’intégrale $I=\displaystyle\int_0^1\left(3x^2+2\right)\ln(x+1)\,dx$ .

Voir la solution

1. $(x+1)\left(x^2-x+3\right)-3=x^3-x^2+3x+x^2-x+3-3=x^3+2x$ . On divise par $x+1>0$ : pour tout $x\in[0;1]$ , $\dfrac{x^3+2x}{x+1}=x^2-x+3-\dfrac3{x+1}$ .

2. $u=\ln(x+1)$ , $v'=3x^2+2$ ; $u'=\dfrac1{x+1}$ , $v=x^3+2x$ : $I=\Big[\left(x^3+2x\right)\ln(x+1)\Big]_0^1-\int_0^1\frac{x^3+2x}{x+1}\,dx=3\ln2-\left[\frac{x^3}3-\frac{x^2}2+3x-3\ln(x+1)\right]_0^1$ $=3\ln2-\left(\frac13-\frac12+3-3\ln2\right)=6\ln2-\frac{17}6.$

Exercice 14 — Aire d’un domaine Facile ★★☆☆☆

Soit $f$ la fonction définie sur $\left]0;e^{-2}\right[\cup\left]e^{-2};+\infty\right[$ par $f(x)=\dfrac1{x\left(2+\ln x\right)}$ , et $(C_f)$ sa courbe dans un repère orthonormé $(O;\vec\imath,\vec\jmath)$ tel que $\|\vec\imath\|=\|\vec\jmath\|=2\text{ cm}$ .

Montrer que $\displaystyle\int_1^e\frac{dx}{x\left(2+\ln x\right)}=\ln\frac32$ . (Remarquer que $\dfrac1{x\left(2+\ln x\right)}=\dfrac{\frac1x}{2+\ln x}$ .)
Calculer, en $\text{cm}^2$ , l’aire du domaine plan limité par $(C_f)$ , l’axe des abscisses et les droites d’équations $x=1$ et $x=e$ .

Voir la solution

1. Sur $[1;e]$ , $u(x)=2+\ln x\ge2>0$ et $u'(x)=\dfrac1x$ : $\dfrac1{x(2+\ln x)}=\dfrac{u'}u$ a pour primitive $\ln(2+\ln x)$ . Donc $\displaystyle\int_1^e\frac{dx}{x(2+\ln x)}=\ln3-\ln2=\ln\frac32$ .

2. Sur $[1;e]$ , $f(x)>0$ et l’unité d’aire vaut $2\times2=4\text{ cm}^2$ . L’aire est $\mathcal A=4\ln\dfrac32\text{ cm}^2\approx1{,}62\text{ cm}^2$ .

Exercice 15 — Aire entre une courbe et une droite Moyen ★★★☆☆

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x+2-\left(x^2+2\right)e^x$ , et $(C_f)$ sa courbe dans un repère orthonormé $(O;\vec\imath,\vec\jmath)$ tel que $\|\vec\imath\|=2\text{ cm}$ .

Montrer que la fonction $H:x\mapsto(x-1)e^x$ est une primitive de la fonction $h:x\mapsto xe^x$ sur $\mathbb{R}$ , puis en déduire que $\displaystyle\int_{-2}^0xe^x\,dx=\frac3{e^2}-1$ .
À l’aide d’une intégration par parties, montrer que $\displaystyle\int_{-2}^0\left(x^2+2\right)e^x\,dx=4\left(1-\frac3{e^2}\right)$ .
Calculer, en $\text{cm}^2$ , l’aire du domaine plan limité par $(C_f)$ , la droite $(D)$ d’équation $y=x+2$ et les droites d’équations $x=-2$ et $x=0$ .

Voir la solution

1. $H$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $H'(x)=e^x+(x-1)e^x=xe^x=h(x)$ . Donc $\displaystyle\int_{-2}^0xe^x\,dx=H(0)-H(-2)=-1+3e^{-2}=\frac3{e^2}-1$ .

2. $u=x^2+2$ , $v'=e^x$ ; $u'=2x$ , $v=e^x$ : $\displaystyle\int_{-2}^0\left(x^2+2\right)e^x\,dx=\Big[\left(x^2+2\right)e^x\Big]_{-2}^0-2\int_{-2}^0xe^x\,dx=\left(2-\frac6{e^2}\right)-2\left(\frac3{e^2}-1\right)=4-\frac{12}{e^2}=4\left(1-\frac3{e^2}\right)$ .

3. $f(x)-(x+2)=-\left(x^2+2\right)e^x<0$ : $(C_f)$ est en dessous de $(D)$ . Le repère étant orthonormé, $\|\vec\jmath\|=\|\vec\imath\|=2\text{ cm}$ et l’unité d’aire vaut $4\text{ cm}^2$ : $\mathcal A=4\displaystyle\int_{-2}^0\big((x+2)-f(x)\big)\,dx=4\times4\left(1-\frac3{e^2}\right)=16\left(1-\frac3{e^2}\right)\text{ cm}^2\approx9{,}50\text{ cm}^2$ .

Exercice 16 — Suite définie par une intégrale Difficile ★★★★☆

On pose $I_0=\displaystyle\int_1^ex^2\,dx$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ , $I_n=\displaystyle\int_1^ex^2\left(\ln x\right)^ndx$ .

Calculer $I_0$ et $I_1$ .
a. Établir que, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ , $3I_{n+1}=e^3-(n+1)I_n$ . b. Calculer alors $I_2$ .
Montrer que la suite $(I_n)_{n\ge1}$ est décroissante.
a. En remarquant que $x^2\left(\ln x\right)^n=x^3\times\dfrac{\left(\ln x\right)^n}x$ , montrer que, pour tout $x\in[1;e]$ et tout $n\in\mathbb{N}^*$ : $\dfrac{\left(\ln x\right)^n}x\le x^2\left(\ln x\right)^n\le e^3\,\dfrac{\left(\ln x\right)^n}x$ . b. En déduire que, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ , $\dfrac1{n+1}\le I_n\le\dfrac{e^3}{n+1}$ , puis déterminer $\lim\limits_{n\to+\infty}I_n$ .

Voir la solution

1. $I_0=\left[\dfrac{x^3}3\right]_1^e=\dfrac{e^3-1}3$ . Pour $I_1$ : $u=\ln x$ , $v'=x^2$ ; $u'=\dfrac1x$ , $v=\dfrac{x^3}3$ : $I_1=\left[\dfrac{x^3}3\ln x\right]_1^e-\displaystyle\int_1^e\frac{x^2}3\,dx=\frac{e^3}3-\frac{e^3-1}9=\frac{2e^3+1}9$ .

2. a. Soit $n\in\mathbb{N}^*$ . $u=(\ln x)^{n+1}$ , $v'=x^2$ ; $u'=(n+1)\dfrac{(\ln x)^n}x$ , $v=\dfrac{x^3}3$ : $I_{n+1}=\left[\dfrac{x^3}3(\ln x)^{n+1}\right]_1^e-\dfrac{n+1}3\displaystyle\int_1^ex^2(\ln x)^n\,dx=\frac{e^3}3-\frac{n+1}3I_n$ , d’où $3I_{n+1}=e^3-(n+1)I_n$ .

2. b. Pour $n=1$ : $3I_2=e^3-2I_1=e^3-\dfrac{4e^3+2}9=\dfrac{5e^3-2}9$ , donc $I_2=\dfrac{5e^3-2}{27}$ .

3. Pour $x\in[1;e]$ : $0\le\ln x\le1$ , donc $(\ln x)^{n+1}=(\ln x)^n\times\ln x\le(\ln x)^n$ . En multipliant par $x^2\ge0$ et en intégrant ( $1\le e$ ) : $I_{n+1}\le I_n$ . La suite $(I_n)_{n\ge1}$ est décroissante.

4. a. Pour $x\in[1;e]$ : $1\le x^3\le e^3$ et $\dfrac{(\ln x)^n}x\ge0$ , donc $\dfrac{(\ln x)^n}x\le x^3\dfrac{(\ln x)^n}x\le e^3\dfrac{(\ln x)^n}x$ , c’est-à-dire $\dfrac{(\ln x)^n}x\le x^2(\ln x)^n\le e^3\dfrac{(\ln x)^n}x$ .

4. b. $\dfrac{(\ln x)^n}x=u'u^n$ avec $u=\ln x$ : $\displaystyle\int_1^e\frac{(\ln x)^n}x\,dx=\left[\frac{(\ln x)^{n+1}}{n+1}\right]_1^e=\frac1{n+1}$ . En intégrant l’encadrement ( $1\le e$ ) : $\dfrac1{n+1}\le I_n\le\dfrac{e^3}{n+1}$ . Comme $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac1{n+1}=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{e^3}{n+1}=0$ , le théorème des gendarmes donne $\lim\limits_{n\to+\infty}I_n=0$ .

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