Montrons par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n<5$.

Initialisation. Pour $n=0$ : $u_0=4<5$. La propriété est vraie au rang $0$.

Hérédité. Soit $n\in\mathbb{N}$. Supposons que $u_n<5$ et montrons que $u_{n+1}<5$.

De $u_n<5$ on déduit $\dfrac{2}{5}u_n<2$, puis $\dfrac{2}{5}u_n+3<2+3=5$, c’est-à-dire $u_{n+1}<5$.

Conclusion. D’après le principe du raisonnement par récurrence, pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $u_n<5$.

Soit $n\in\mathbb{N}$ : $u_{n+1}-u_n=\frac{2}{5}u_n+3-u_n=3-\frac{3}{5}u_n=\frac{3}{5}(5-u_n).$ D’après 1), $u_n<5$, donc $5-u_n>0$ et $\dfrac{3}{5}(5-u_n)>0$.

Ainsi $u_{n+1}-u_n>0$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ : la suite $(u_n)$ est (strictement) croissante.

La suite $(u_n)$ est croissante (question 2)) et majorée par $5$ (question 1)). Toute suite croissante et majorée est convergente : la suite $(u_n)$ est donc convergente.

Soit $n\in\mathbb{N}$ : $v_{n+1}=5-u_{n+1}=5-\frac{2}{5}u_n-3=2-\frac{2}{5}u_n=\frac{2}{5}(5-u_n)=\frac{2}{5}v_n.$ Donc $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=\dfrac{2}{5}$ et de premier terme $v_0=5-u_0=1$.

Par suite, pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $v_n=v_0\,q^n=\left(\dfrac{2}{5}\right)^n$.

Pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $u_n=5-v_n=5-\left(\dfrac{2}{5}\right)^n$.

Comme $-1<\dfrac{2}{5}<1$, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{2}{5}\right)^n=0$, donc $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=5$.

Pour tout point $M(x,y,z)$ : $x^2+y^2+z^2+2x-2z-7=(x+1)^2-1+y^2+(z-1)^2-1-7=(x+1)^2+y^2+(z-1)^2-9.$ Donc $M\in(S)\iff(x+1)^2+y^2+(z-1)^2=3^2\iff\Omega M=3$ avec $\Omega(-1,0,1)$.

$(S)$ est la sphère de centre $\Omega(-1,0,1)$ et de rayon $3$.

Un vecteur normal à $(P)$ est $\vec{n}(2;0;-1)$ : $d(\Omega,(P))=\frac{|2\times(-1)-1-2|}{\sqrt{2^2+0^2+(-1)^2}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}.$

Remarque : dans l’énoncé, la seconde phrase de cette question reprend mot pour mot la question 3) ; elle est traitée en 3).

$d(\Omega,(P))=\sqrt{5}<3$ (car $5<9$) : la distance du centre au plan est strictement inférieure au rayon, donc le plan $(P)$ coupe la sphère $(S)$ suivant un cercle $(\Gamma)$.

Rayon. Le rayon $r$ de $(\Gamma)$ vérifie $r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{9-5}=\sqrt{4}=2$.

Centre. $H$ est le projeté orthogonal de $\Omega$ sur $(P)$. La droite passant par $\Omega$ et de vecteur directeur $\vec{n}(2;0;-1)$ a pour représentation paramétrique $x=-1+2t$, $y=0$, $z=1-t$ ($t\in\mathbb{R}$). En remplaçant dans l’équation de $(P)$ : $2(-1+2t)-(1-t)-2=0\iff5t-5=0\iff t=1.$ Donc $H(1;0;0)$.

$\Delta=(-8)^2-4\times32=64-128=-64=(8i)^2<0$. L’équation admet deux solutions complexes conjuguées : $z_1=\frac{8+8i}{2}=4+4i,\qquad z_2=\frac{8-8i}{2}=4-4i.$ $S=\{4+4i\,;\,4-4i\}$.

$|a|=\sqrt{16+16}=4\sqrt{2}$, donc $a=4\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=4\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)$.

D’après la formule de Moivre : $a^{12}=\left(4\sqrt{2}\right)^{12}\left(\cos\frac{12\pi}{4}+i\sin\frac{12\pi}{4}\right)=\left(4\sqrt{2}\right)^{12}(\cos3\pi+i\sin3\pi)=-\left(4\sqrt{2}\right)^{12}.$ Comme $\left(4\sqrt{2}\right)^{12}=2^{30}>0$, $a^{12}=-2^{30}$ est un nombre réel négatif.

L’écriture complexe de la rotation de centre $C$ et d’angle $\dfrac{\pi}{2}$ est $z'-c=e^{i\frac{\pi}{2}}(z-c)$, avec $e^{i\frac{\pi}{2}}=i$ : $z'=i(z-3-4i)+3+4i=iz-3i+4+3+4i=iz+7+i.$

$d=ia+7+i=i(4+4i)+7+i=4i-4+7+i=3+5i$.

$|z-3-5i|=|z-4-4i|\iff|z-d|=|z-a|\iff MD=MA$ : l’ensemble cherché est la médiatrice $(\Delta)$ du segment $[AD]$ (on a bien $A\neq D$).

• $C$ est le centre de la rotation qui envoie $A$ sur $D$, donc $CA=CD$ et $C\in(\Delta)$.
• $|b-d|=|-1-2i|=\sqrt{5}$ et $|b-a|=|-2-i|=\sqrt{5}$, donc $BD=BA$ et $B\in(\Delta)$.

Comme $B\neq C$, la médiatrice de $[AD]$ est la droite $(BC)$.

Les tirages sont avec remise : $\operatorname{card}\Omega=5^3=125$.

$A$ : trois blancs ($2^3=8$ cas) ou trois verts ($2^3=8$ cas) ou trois rouges ($1^3=1$ cas). Donc $p(A)=\frac{8+8+1}{125}=\frac{17}{125}.$

$X$ prend les valeurs $0$, $1$, $2$ et $3$. À chaque tirage, la probabilité de tirer un jeton blanc est $p=\dfrac{2}{5}$ ; les trois tirages sont indépendants (avec remise). $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=3$ et $p=\dfrac{2}{5}$ : $p(X=k)=\binom{3}{k}\left(\frac{2}{5}\right)^k\left(\frac{3}{5}\right)^{3-k}.$

• $p(X=0)=\left(\dfrac{3}{5}\right)^3=\dfrac{27}{125}$
• $p(X=1)=3\times\dfrac{2}{5}\times\left(\dfrac{3}{5}\right)^2=\dfrac{54}{125}$
• $p(X=2)=3\times\left(\dfrac{2}{5}\right)^2\times\dfrac{3}{5}=\dfrac{36}{125}$
• $p(X=3)=\left(\dfrac{2}{5}\right)^3=\dfrac{8}{125}$

(On vérifie : $27+54+36+8=125$.)

$g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et, pour tout $x>0$ : $g'(x)=-1+1\times\ln x+x\times\frac{1}{x}=-1+\ln x+1=\ln x.$

• Pour $0<x\leq1$ : $\ln x\leq0$, donc $g'(x)\leq0$ : $g$ est décroissante sur $]0;1]$.
• Pour $x\geq1$ : $\ln x\geq0$, donc $g'(x)\geq0$ : $g$ est croissante sur $[1;+\infty[$.

$g(1)=1-1+1\times\ln1=0$.

D’après 1) b), $g$ admet en $1$ un minimum absolu sur $]0;+\infty[$, égal à $g(1)=0$. Donc $g(x)\geq0$ pour tout $x\in]0;+\infty[$.

Pour $x>0$ : $f(x)=\dfrac{3x^2}{x^2}-\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{2x\ln x}{x^2}=\dfrac{3x^2-1-2x\ln x}{x^2}$.

On sait que $\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\ln x=0$, donc $\displaystyle\lim_{x\to0^+}(3x^2-1-2x\ln x)=-1$. Comme $\displaystyle\lim_{x\to0^+}x^2=0^+$ : $\lim_{\substack{x\to0\\x>0}}f(x)=-\infty.$ Interprétation : la droite d’équation $x=0$ (l’axe des ordonnées) est asymptote verticale à $(C)$.

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^2}=0$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0$, donc $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=3-0-0=3$.

La droite d’équation $y=3$ est asymptote horizontale à $(C)$ au voisinage de $+\infty$.

$f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et, pour tout $x>0$ : $f'(x)=\frac{2}{x^3}-2\times\frac{\frac{1}{x}\times x-\ln x}{x^2}=\frac{2}{x^3}-\frac{2(1-\ln x)}{x^2}=\frac{2-2x+2x\ln x}{x^3}=\frac{2(1-x+x\ln x)}{x^3}=\frac{2g(x)}{x^3}.$

$f'(1)=\dfrac{2g(1)}{1}=0$ : la courbe $(C)$ admet au point d’abscisse $1$, c’est-à-dire au point $(1;f(1))=(1;2)$, une tangente horizontale d’équation $y=2$.

Pour tout $x>0$ : $g(x)\geq0$ (Partie I) et $x^3>0$, donc $f'(x)=\dfrac{2g(x)}{x^3}\geq0$ ($f'$ ne s’annule qu’en $1$). La fonction $f$ est donc croissante sur $]0;+\infty[$.

On place l’asymptote verticale $x=0$, l’asymptote horizontale $y=3$, le point $(1;2)$ à tangente horizontale (point d’inflexion) et le point $(0,3;0)$. La courbe $(C')$ de la question 6) b) est aussi représentée (partie $x<0$, en vert).

La fonction $x\mapsto\dfrac{2\ln x}{x}=2\ln'(x)\ln x$ a pour primitive $x\mapsto(\ln x)^2$ sur $[1,e]$. Donc $\int_1^e\frac{2\ln x}{x}\,dx=\Big[(\ln x)^2\Big]_1^e=1^2-0^2=1.$

$f$ est croissante et $f(1)=2$, donc $f(x)\geq2>0$ sur $[1,e]$. L’aire cherchée (unité $1\,\mathrm{cm}$) est : $\mathcal{A}=\int_1^e f(x)\,dx=\int_1^e\left(3-\frac{1}{x^2}\right)dx-\int_1^e\frac{2\ln x}{x}\,dx=\Big[3x+\frac{1}{x}\Big]_1^e-1.$ $\mathcal{A}=\left(3e+\frac{1}{e}\right)-(3+1)-1=3e-5+\frac{1}{e}\ \mathrm{cm}^2\approx3,52\ \mathrm{cm}^2.$

$\mathbb{R}^*$ est symétrique par rapport à $0$ et, pour tout $x\in\mathbb{R}^*$ : $(-x)^2=x^2$ et $|-x|=|x|$, donc $h(-x)=3-\frac{1}{x^2}-\frac{\ln(x^2)}{|x|}=h(x).$ $h$ est paire. Pour $x>0$ : $|x|=x$ et $\ln(x^2)=2\ln x$, donc $h(x)=3-\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{2\ln x}{x}=f(x)$.

Sur $]0;+\infty[$, $(C')$ coïncide avec $(C)$ ; $h$ étant paire, $(C')$ est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. On obtient $(C')$ en complétant $(C)$ par sa symétrique par rapport à $(Oy)$ (voir la figure de la question 4)).